2025年中考数学一轮复习题型分类练习第29讲 尺规作图与定义、命题、定理（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc158208370" 题型01 尺规作图-作线段
\l "_Tc158208371" 题型02 尺规作图-作一个角等于已知角
\l "_Tc158208372" 题型03 尺规作图-尺规作角的和、差
\l "_Tc158208373" 题型04 尺规作图-过直线外一点作这条线的平行
\l "_Tc158208374" 题型05 尺规作图-作三角形（含特殊三角形）
\l "_Tc158208375" 题型06 尺规作图-作角平分线
\l "_Tc158208376" 题型07 尺规作图-作垂直平分线
\l "_Tc158208377" 题型08 尺规作图-作三角形的中线与高
\l "_Tc158208378" 题型09 尺规作图- 画圆
\l "_Tc158208379" 题型10 尺规作图-过圆外一点作圆的切线
\l "_Tc158208380" 题型11 尺规作图-找圆心
\l "_Tc158208381" 题型12 尺规作图-作外接圆
\l "_Tc158208382" 题型13 尺规作图-作内切圆
\l "_Tc158208383" 题型14 尺规作图-作圆内接正多边形
\l "_Tc158208384" 题型15 尺规作图-格点作图
\l "_Tc158208385" 题型16 判断是否命题
\l "_Tc158208386" 题型17 判断命题真假
\l "_Tc158208387" 题型18 举反例说明命题为假命题
\l "_Tc158208388" 题型19 写出命题的逆命题
\l "_Tc158208389" 题型20 反证法证明中的假设
\l "_Tc158208390" 题型21 用反证法证明命题
题型01 尺规作图-作线段
1．（2023·山东青岛·模拟预测）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．
2．（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考一模）已知：∠α，线段a．
求作：矩形ABCD，使对角线的长为a，夹角为∠α．
3．（2022·山东青岛·统考二模）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）
如图，已知线段MN=a，AR⊥AK，垂足为A．
求作：⊙O，使⊙O分别与AK、AR相切，圆心O与点A的距离等于a．
4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．
已知：如图1，线段a，b，及∠MAN=90°．
求作：矩形ABCD，使AB=a，AD=b．
作法：如图2，
①在射线AM，AN上分别截取AB=a，AD=b；
②以B为圆心，b长为半径作弧，再以D为圆心，a长为半径作弧，两弧在∠MAN内部交于点C；
③连接BC，DC．
∴四边形ABCD就是所求作的矩形．
根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图2(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵AB=DC=a，AD= =b，
∴四边形ABCD是平行四边形( )(填推理的依据)．
∵∠MAN=90°，
∴四边形ABCD是矩形( )(填推理的依据)．
题型02 尺规作图-作一个角等于已知角
5．（2019·河北·模拟预测）“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下：
已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C．
求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．
作法：如图（2），
（1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；
（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；
（3）作射线CC．
所以∠CCA就是所求作的角
此作图的依据中不含有（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行同位角相等D．两点确定一条直线
6．（2022·山东菏泽·校联考模拟预测）已知：∠O及其一边上的两点A，B．
求作：Rt△ABC，使∠C=90°，且点C在∠O内部，∠BAC=∠O．
7．（2022·陕西宝鸡·统考二模）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
题型03 尺规作图-尺规作角的和、差
8．（2022下·山东青岛·七年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）已知∠α、∠β，求作∠AOB，使∠AOB=∠α-∠β．
9．（2023下·山西晋中·七年级统考期中）如图，已知∠α，∠β，求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β．（要求：在指定作图区域用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

10．（2020下·六年级校考单元测试）已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母）
11．（2023下·广东佛山·七年级佛山六中校考阶段练习）如图，已知∠ABC及AB上一点A，
(1)利用三角板，过点A作BC的垂线，垂足为点E，此时线段AE的长为点A到直线BC的距离．
(2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在BC下方以点B为顶点作∠CBD，使得∠CBD=2∠ABC．
题型04 尺规作图-过直线外一点作这条线的平行
12．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）下面四个图是小明用尺规过点C作AB边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·甘肃天水·统考一模）如图，已知线段MN=a,AR⊥AK，垂足为a．
（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK,AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD//AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB,CD的中点，求证：直线AD,BC,PQ相交于同一点．
14．（2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模）已知：如图，直线l，和直线外一点P．
求作：过点P作直线PC，使得PC∥l．
作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点；
②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；
③作直线PC．
直线PC即为所求作．
根据尺规作图，完成下面的证明：
证明：连接BP．
∵BC=AP，
∴BC=________，
∴∠ABP=∠BPC（________________________）（填推理依据），
∴直线PC∥直线l（________________________）（填推理依据）．
15．（2022·北京大兴·统考二模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上任取两点A，B；
②以点P为圆心，AB长为半径画弧，以点B为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l上方相交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵PA=QB,AB=PQ，
∴四边形PABQ是平行四边形（___________）（填写推理的依据）．
∴PQ∥AB（______________）（填写推理的依据）．
即PQ∥l
题型05 尺规作图-作三角形（含特殊三角形）
16．（2023·浙江台州·统考一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是（ ）．
A．B．C．D．
17．（2021·安徽·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，根据作图痕迹，可知∠CBD=（ ）
A．80°B．60°C．45°D．50°
18．（2020·山东东营·统考模拟预测）如图是作ΔABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A．已知两边及夹角B．已知三边C．已知两角及夹边D．已知两边及一边对角
19．（2019·甘肃兰州·统考一模）已知： ∠α，直线l及l上两点 A， B．
求作： Rt△ABC ，使点 C 在直线l的上方，且∠ABC=90°， ∠BAC=∠α．
20．（2021·吉林·统考一模）图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上；
（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角△ABC，点B在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以AC为腰的等腰△ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8.
题型06 尺规作图-作角平分线
21．（2021·山东青岛·统考一模）已知∠α，线段a，求作：等腰△ABC，使得顶角∠A=∠α，BC上的高为a．
22．（2023·吉林长春·校联考一模）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A．B．C．D．
23．（2023·江苏常州·常州实验初中校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（ ）
A．BD=BCB．AD=BDC．∠ADB=108°D．CD=12AD
24．（2023·陕西·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：AD＝AE．
25．（2023·甘肃酒泉·统考一模）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB=BC，AD⊥DC于点D．
(1)用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．
题型07 尺规作图-作垂直平分线
26．（2023·山东泰安·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE=13AE=1，则CD＝ ．
27．（2023·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐八一中学校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为 ．
28．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于12AD的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．
(1)由作图可知，直线MN是线段AD的______．
(2)求证：四边形AEDF是菱形．
题型08 尺规作图-作三角形的中线与高
29．（2021·江西·校联考模拟预测）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中，作△ABC的高AM；
（2）在图2中，作△ABC的高AN．（提示：三角形的三条高所在的直线交于一点）
30．（2022·浙江舟山·校考一模）在平面直角坐标系中，画出点A0,2，点B4,0，点C与点A关于x轴对称．
（1）连结AB、AC、BC，并画出△ABC的BC边上的中线AE．
（2）求出△ABE的面积．
31．（2022·陕西西安·统考一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且CD=2BD，请用尺规作图法，在边AC上找一点P，使得△PAD的面积等于△BAD的面积（保留作图痕迹，不写作法）．
题型09 尺规作图- 画圆
32．（2022·福建·一模）如图，在Rt△ABC中∠C=90°，∠Ab，那么a>b”的逆命题是 ．
64．（2023·安徽宿州·统考一模）命题“如果3a+3b=0，那么a+b=0”的逆命题为 ．
题型20 反证法证明中的假设
65．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考二模）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设（ ）
A．a∥bB．c∥bC．a与b相交D．a与c相交
66．（2020·浙江杭州·模拟预测）用反证法证明“若a⊥b，b⊥c，则a//b”时，应先假设（ ）
A．a与b不平行B．a⊥bC．a，b都不垂直于cD．a不垂直于c
67．（2018·江苏泰州·统考一模）用反证法证明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．证明该命题的第一个步骤是（ ）
A．假设CD∥EFB．假设AB∥EFC．假设CD和EF不平行D．假设AB和EF不平行
题型21 用反证法证明命题
68．（2019·河北唐山·校联考一模）已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B