2024-2025学年上海市黄埔新区高一上学期9月月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市黄埔新区高一上学期9月月考数学检测试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了 若集合，，则____等内容，欢迎下载使用。
1. 方程组的解集为_________.
2. 已知全集，集合，，则________
3. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围是________
4. 若集合，且中只有一个元素，则________；
5. 用反证法证明“自然数a，b，c中至多有一个偶数”时，假设应为_______．
6. 若集合，，则____.
7. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是________.
8. 设集合且，则实数的取值范围是______.
9. 若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则________.
10. 设集合，，则、之间的关系为_________．
11. 设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为________．
12. 对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是___________.
①具有性质；
②若集合具有性质，则；
③集合具有性质，若，则.
二. 选择题
13 数集，，，若，，则（ ）
A. B. C. D. A，，都有可能
14. 若A、B是全集I的真子集，则下列四个命题：①；②；③；④；⑤是的必要不充分条件．其中与命题等价的有（ ）
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
15. 已知，，，，，均为非零实数，不等式和的解集分别为集合M和N，且，．那么“”是“”的（ ）．
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
16. 当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题：
①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；
③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.
其中假命题的个数是（ ）.
A 0B. 1C. 2D. 3
三. 解答题
17. 用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.
（1）不等式的解集；
（2）二元二次方程组的解集；
（3）由大于且小于9的偶数组成的集合.
18. 已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数.
（1）若A是空集，求a的范围；
（2）若A是单元素集合，求a的范围：
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
19. 下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件.
（1），；
（2）是直角三角形，是等腰三角形；
（3）四边形的对角线互相平分，四边形是矩形；
（4），；
（5），关于x的方程有实根.
20. 设集合；
（1）若，求实数值；
（2）若集合中有两个元素，求；
（3）若，求实数的取值范围；
附加题：
21. 集合有10个元素，设M所有非空子集为每一个中所有元素乘积为，则___________.
22. 设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （ ）
A. ①②都是真命题B. ①是真命题②是假命题
C. ①是假命题②是真命题D. ①②都是假命题
2024-2025学年上海市黄埔新区高一上学期9月月考数学检测试卷
一. 填空题
1. 方程组的解集为_________.
【正确答案】
【分析】通过解方程组求得正确答案.
详解】依题意，，
则，
解得或，
所以方程组的解为或，
所以方程组的解集为.
故
2. 已知全集，集合，，则________
【正确答案】
【分析】根据补集和并集的概念得到集合.
【详解】或，
或.
故
3. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围是________
【正确答案】
【分析】由,画出数轴,表示出集合,即可求解
【详解】因为,则画出数轴,并表示出集合,如下:
可得,
故答案为:
本题考查已知交集结果求参数范围,属于基础题
4. 若集合，且中只有一个元素，则________；
【正确答案】或
【分析】分和两种情况讨论，当时求出的值.
【详解】因为，表示关于的方程的解集，
当时，由，解得，所以，符合题意；
当时，要使中只有一个元素，则，解得，
此时方程，解得，所以，符合题意；
综上可得或.
故或
5. 用反证法证明“自然数a，b，c中至多有一个偶数”时，假设应为_______．
【正确答案】a，b，c中至少有两个偶数
【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键.
【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.
因为“自然数a，b，c中至多有一个偶数”的否定是：“a，b，c中至少有两个偶数”，
所以用反证法证明“自然数a，b，c中至多有一个偶数”时，假设应为“a，b，c中至少有两个偶数”，
故a，b，c中至少有两个偶数.
6. 若集合，，则____.
【正确答案】
【分析】集合A表示直线去掉一个点，集合B表示二次函数上的点，联立方程判断根即得交集.
【详解】依题意，集合B表示上的点，集合A表示直线上的点，
故集合中元素表示直线与二次函数的交点，联立得(舍)，
故直线与二次函数有1个交点，故集合中有1个元素,.
故答案.
7. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是________.
【正确答案】
【分析】根据题意，分与讨论，结合必要不充分条件即可得到结果.
【详解】由题意可得，可以推出，则不符合题意，
比如当时，不符合题意；
当时，则是的充要条件，不符合题意；
当时，等价于，则，
所以，即实数的取值范围是.
故
8. 设集合且，则实数的取值范围是______.
【正确答案】
【分析】由题意可得，分、、、分别求解即可.
【详解】解：因为，
所以，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，实数的取值范围是.
故
9. 若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则________.
【正确答案】
【分析】
先得或，根据判别式，以及集合中元素个数，确定方程有两个根，方程有一个根；求出，以及三个元素，再由三个元素恰为直角三角形的三边，求出，得出，即可得出结果.
【详解】由得或，
方程的判别式为，
方程的判别式为，
显然，
又集合中有且只有3个元素，
所以方程和共三个根，
且只能方程有两个根，方程有一个根；
即，即；
所以方程可化为，解得或，
方程可化为，解得，
则，
又这三个元素恰为直角三角形的三边，所以，
解得，
则，因此.
故答案为.
本题主要考查由集合中元素个数求参数的问题，属于常考题型.
10. 设集合，，则、之间的关系为_________．
【正确答案】
【分析】表示的奇数倍，而表示的整数倍，故得解.
【详解】因为，
所以集合中的元素是的奇数倍，
又因为集合中的元素是的整数倍，
所以N.
故.
11. 设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为________．
【正确答案】7
【分析】根据集合的子集和并集的概念求解.
【详解】集合M的任一非空子集共有个，
其中最小值为1的子集可视为的子集与集合的并集，
共有个，
同上可知，最小值为2的子集共有个，最小值为3的子集共有个，
最小值为4的子集共有个，最小值为5的子集共有个，
最小值为6的子集共有个，
同上可知，最大值为6的子集共有个，最大值为5的子集共有个，
最大值为4的子集共有个，最大值为3的子集共有个，
最大值为2的子集共有个，最大值为1的子集共有个，
所以的所有非空子集中最小值之和为
，
最大值之和为，
所以
，
故答案为:7.
12. 对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是___________.
①具有性质；
②若集合具有性质，则；
③集合具有性质，若，则.
【正确答案】①②③
【分析】根据已知条件及集合具有性质的定义，结合反证法即可求解.
【详解】因为，所以
，
根据集合具有性质的定义，对于任意，
若，则或，或，
若，取，则；
若，取，则；
若，取，则；
若有一个为负数，则或，
若，则取，则；
若，则取，则；
故①正确；
对于任意，存在，使得
取，存在使得，所以，
不妨设，所以若集合具有性质，则，故②正确；
③假设，令，则存在使得，
同②得中必有一个数为，
若，则，于是，矛盾，
若，则，于是，也矛盾，
所以，又由②得，所以，所以，故③正确，
故真命题是①②③正确.
故①②③.
解决此题的关键是抓住集合具有性质的定义，结合反证法即可.
二. 选择题
13. 数集，，，若，，则（ ）
A. B. C. D. A，，都有可能
【正确答案】A
【分析】根据可知：集合A为奇数集，结合B为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断.
【详解】由题意可知：集合A为奇数集，集合B为偶数集，
即a为奇数，b为偶数，则为奇数，
所以BD错误，A正确；
例如，令，即，
解得，所以，故C错误；
故选：A.
14. 若A、B是全集I的真子集，则下列四个命题：①；②；③；④；⑤是的必要不充分条件．其中与命题等价的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【正确答案】B
【分析】根据韦恩图和集合的交、并、补运算的定义逐一判断可得选项．
【详解】解：由得韦恩图：

对于①等价于，故①正确；
对于②等价于，故②不正确；
对于③等价于，故③正确；
对于④与A、B是全集I的真子集相矛盾，故④不正确；
对于⑤是的必要不充分条件等价于AB，故⑤不正确，
所以与命题等价的有①③，共2个，
故选：B.
15. 已知，，，，，均为非零实数，不等式和的解集分别为集合M和N，且，．那么“”是“”的（ ）．
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【正确答案】B
【分析】利用充分条件和必要条件定义判断.
【详解】解：因为，，
所以，
当时，等价于，
所以不成立，故不充分；
当时，，故必要，
故选：B．
16. 当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题：
①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；
③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.
其中假命题的个数是（ ）.
A. 0B. 1C. 2D. 3
【正确答案】B
【分析】根据任意相同元素之差是0，可判断①；根据当时，，利用定义依次推导，可判断②，举反例判断③，根据有理数的运算结果判断④.
【详解】对于①，根据当，则，即，所以0是任何数域的元素，故①正确；
对于②，根据当时，，则，即，进而，，，，故②正确；
对于③，对，，但，不满足题意，所以集合不是一个数域，故③不正确；
对于④，若，是有理数，则，，，都是有理数，故有理数集是一个数域，所以④正确;
所以其中假命题的个数是1个.
故选：B.
三. 解答题
17. 用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.
（1）不等式的解集；
（2）二元二次方程组的解集；
（3）由大于且小于9的偶数组成的集合.
【正确答案】（1），无限集
（2），有限集
（3），有限集
【分析】（1）直接解不等式即可，解集为无限，用描述法表示；
（2）解方程组，解集为有限，用列举法表示；
（3）元素有限个，所以用列举法表示.
【小问1详解】
因为，所以解集为，为无限集；
【小问2详解】
二元二次方程组，所以，解得或，
所以解集为，为有限集；
【小问3详解】
大于且小于9的偶数有，
所以解集为，为有限集.
18. 已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数.
（1）若A是空集，求a的范围；
（2）若A是单元素集合，求a的范围：
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
【正确答案】（1）；
（2）或；
（3）或.
【分析】（1）讨论，根据可得结果；
（2）讨论，根据可得结果；
（3）转化为方程至多有一个解，由（1）（2）可得结果.
【小问1详解】
若A是空集，则方程无解，
当时，方程有解，不符合题意；
当时，，得.
综上所述.
【小问2详解】
若A是单元素集合，则方程有唯一实根，
当时，方程有唯一解，符合题意；
当时，，得.
综上所述：或.
【小问3详解】
若A中至多有一个元素，则方程至多有一个解，
当方程无解时，由（1）知，；
方程有唯一实根时，由（2）知，或.
综上所述：或.
19. 下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件.
（1），；
（2）是直角三角形，是等腰三角形；
（3）四边形的对角线互相平分，四边形是矩形；
（4），；
（5），关于x的方程有实根.
【正确答案】（1）必要不充分；
（2）既不充分也不必要；
（3）必要不充分； （4）充分不必要；
（5）充分不必要
【分析】根据充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件的定义逐一判断即可.
【小问1详解】
解：由可得或，
即由推不出，但由可以推出，
所以条件p是条件q的必要不充分条件；
【小问2详解】
解：由是直角三角形推不出是等腰三角形，
由是等腰三角形推不出是直角三角形，
所以条件p是条件q的既不充分也不必要条件；
【小问3详解】
解：由四边形的对角线互相平分推不出四边形是矩形(如菱形的对角线互相平分，但菱形不是矩形)，
由四边形是矩形可以推出四边形的对角线互相平分，
所以条件p是条件q的必要不充分条件；
【小问4详解】
解：由可得，即有，
但由只能得，
即由可以推出，但由不可以推出，
所以条件p是条件q的充分不必要不条件；
【小问5详解】
解：由，可得，
从而得方程有实根，
但由方程有实根，可得，
即，
即由可以推出，但由不可以推出，
所以条件p是条件q的充分不必要不条件.
20. 设集合；
（1）若，求实数的值；
（2）若集合中有两个元素，求；
（3）若，求实数的取值范围；
【正确答案】（1）或
（2）
（3）
【分析】（1）由，代入后解方程并检验是否满足题意；
（2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可；
（3）根据集合B元素情况分类求解即可.
【小问1详解】
由题意得，因为，所以，
所以即，
化简得，即，解得或，
检验：当时，，满足，
当时，，满足，所以或.
【小问2详解】
因为集合中有两个元素，所以方程有两个根，
所以且，，
所以.
小问3详解】
因为，且，
当时，，解得，符合题意；
当时，则，无解；
当时，则，所以；
当时，则，无解；
综上，.
附加题：
21. 集合有10个元素，设M的所有非空子集为每一个中所有元素乘积为，则___________.
【正确答案】-1
【分析】分析可得M的所有非空子集为可分为4类，分别分析4类子集中，所有元素乘积，综合即可得答案.
【详解】集合M的所有非空子集为可以分成以下几种情况
①含元素0的子集共有个，这些子集中所有元素乘积；
②不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有个
③不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有个
其中②③中元素是一一对应的，且为相反数，则的和为0，
④只含元素-1的子集1个，满足，
综上：所有子集中元素乘积.
故-1
22. 设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （ ）
A. ①②都是真命题B. ①是真命题②是假命题
C. ①是假命题②是真命题D. ①②都是假命题
【正确答案】A
分析】对于①，分类讨论、、、和五种情况分别求解即可判断；
对于②，分类讨论为整数和不为整数时原式是否成立，对于不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可.
【详解】对于①：
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，则，不符合题意；
当时，，则，不符合题意；
当时，；
则符合题意，不符合题意；
综上，是单元素集，故①正确.
对于②：
当为整数时，成立；
当不为整数时，设（为整数，），
当时，，，
此时，成立；
当时，，则，，
此时，成立；
当时，，，
此时，成立；
综上，对于任意，成立，故②正确.
故选：A
方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.