2025年中考数学一轮复习精品讲义第22讲 多边形与平行四边形（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc156807534" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc156807535" 考点一 多边形的相关概念
\l "_Tc156807536" 题型01 多边形的概念及分类
\l "_Tc156807537" 题型02 计算网格中不规则多边形面积
\l "_Tc156807538" 题型03 计算多边形对角线条数
\l "_Tc156807539" 题型04 对角线分三角形个数问题
\l "_Tc156807540" 题型05 多边形内角和问题
\l "_Tc156807541" 题型06 已知多边形内角和求边数
\l "_Tc156807542" 题型07 多边形的割角问题
\l "_Tc156807543" 题型08 多边形的外角问题
\l "_Tc156807544" 题型09 多边形内角和、外角和与平行线的合运用
\l "_Tc156807545" 题型10 多边形内角和、外角和与角平分线的综合运用
\l "_Tc156807546" 题型11 多边形内角和与外角和的综合应用
\l "_Tc156807547" 题型12 多边形外角和的实际应用
\l "_Tc156807548" 题型13 平面镶嵌
\l "_Tc156807549" 考点二 平行四边形的性质与判定
\l "_Tc156807550" 题型01 利用平行四边形的性质求解
\l "_Tc156807551" 题型02 利用平行四边形的性质证明
\l "_Tc156807552" 题型03 判断已知条件能否构成平行四边形
\l "_Tc156807553" 题型04 添加一个条件使四边形成为平行四边形
\l "_Tc156807554" 题型05 数平行四边形个数
\l "_Tc156807555" 题型06 求与已知三点组成平行四边形的点的个数
\l "_Tc156807556" 题型07 证明四边形是平行四边形
\l "_Tc156807557" 题型08 与平行四边形有关的新定义问题
\l "_Tc156807558" 题型09 利用平行四边形的性质与判定求解
\l "_Tc156807559" 题型10 利用平行四边形的性质与判定证明
\l "_Tc156807560" 题型11 平行四边形性质与判定的应用
\l "_Tc156807561" 考点三 三角形中位线
\l "_Tc156807562" 题型01 三角形中位线有关的计算
\l "_Tc156807563" 题型02 三角形中位线与三角形面积计算问题
\l "_Tc156807564" 题型03 与三角形中位线有关的证明
\l "_Tc156807565" 题型04 三角形中位线的实际应用
\l "_Tc156807566" 题型05 与三角形中位线有关的规律探究
\l "_Tc156807567" 题型06 与三角形中位线有关的格点作图
\l "_Tc156807568" 题型07 构造三角形中位线的常用方法
\l "_Tc156807569" 类型一 连接两点构造三角形中位线
\l "_Tc156807570" 类型二 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线
\l "_Tc156807571" 类型三 利用角平分线垂直构造三角形的中位线
考点一 多边形的相关概念
多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)
个三角形，n边形的对角线条数为n(n-3)2
多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）.
【解题技巧】
1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°.
2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍.
3）利用多边形内角和定理可解决三类问题：①已知多边形的边数求内角和；
②已知多边形的内角和求边数；
③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数．
多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关.
正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形.
【解题技巧】
1）正n边形的每个内角为（n-2）×180°n，每一个外角为360°n．
2）正n边形有n条对称轴．
3）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误：
①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）.
②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角线计算了两次，因此n边形共有n(n-3)2 条对角线.
③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2.
④n边形的外角和是360°.
⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°.
⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形．
题型01 多边形的概念及分类
【例1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）在等边三角形、正五边形、正六边形、正七边形中，既是轴对称又是中心对称的图形是（ ）
A．等边三角形B．正五边形C．正六边形D．正七边形
【变式1-1】（2023·江苏徐州·统考二模）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（ ）
A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，2
【变式1-2】（2022·辽宁盘锦·校考一模）下列命题正确的是（ ）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线
D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分
题型02 计算网格中不规则多边形面积
【例2】（2022·北京海淀·统考二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ．
【变式2-1】（2021·北京昌平·统考二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ADB的面积大小关系为：S△ABC SΔADB（填“＞”“＝”或“＜”），
【变式2-2】（2021·湖南娄底·统考一模）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S=a+12b-1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S= ．
【变式2-3】（2021·山西临汾·统考三模）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
你知道“皮克定理”吗？
“皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即S=a+12b-1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”．
任务：
（1）如图2，是6×6的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是_______．
（2）已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数b是内部点数a的3倍，则a+b=______．
（3）请你在图3中设计一个格点多边形．要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图形．
题型03 计算多边形对角线条数
【例3】（2023·浙江丽水·统考一模）已知一个多边形内角和为1080°，则这个多边形可连对角线的条数是（ ）
A．10B．16C．20D．40
【变式3-1】（2022·河北保定·统考一模）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）
A．3B．6C．9D．18
【变式3-2】（2021·云南普洱·统考一模）如图，从一个四边形的同一个顶点出发可以引出1条对角线，从五边形的同一个顶点出发，可以引出2条对角线，从六边形的同一个顶点出发，可以引出3条对角线，……，依此规律，从n边形的同一个顶点出发，可以引出的对角线数量为（ ）
A．nB．n-2C．n-3D．2n-3
【变式3-3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）一个正多边形的中心角是72°，则过它的一个顶点有 条对角线．
【变式3-4】（2022·陕西西安·校考三模）一个正多边形的每个外角为45°，则这个正多边形的对角线共有 条．
题型04 对角线分三角形个数问题
【例4】（2019·广东深圳·校联考一模）如图，从多边形一个顶点出发作多边形的对角线，试根据下面几种多边形的顶点数、线段数及三角形个数统计结果，推断f,e,v三个量之间的数量关系是:
多边形：
顶点个数f1: 4 5 6 …
线段条数e: 5 7 9 …
三角形个数v1: 2 3 4 …
题型05 多边形内角和问题
【例5】（2021·河南周口·统考二模）如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E相互外离，它们的半径都是2，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）
A．6πB．5πC．4πD．3π
【变式5-1】（2022·江苏盐城·统考一模）下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2022·河北石家庄·统考一模）如图，四边形ABCD中，∠1=93°，∠2=107°，∠3=110°，则∠D的度数为（ ）
A．125°B．130°C．135°D．140°
【变式5-3】（2020·辽宁葫芦岛·统考三模）如图，多边形ABCDEFG中， ∠E=∠F=∠G=108° ,∠C=∠D=72°，则∠A+∠B的值为（ ）
A．108°B．72°C．54°D．36°
【变式5-4】（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上，则∠PAE= °．
【变式5-5】（2021·陕西·三模）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于 度．
题型06 已知多边形内角和求边数
【例6】（2022·湖南怀化·统考模拟预测）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形
【变式6-1】（2022·北京房山·统考一模）下列多边形中，内角和为720°的是（ ）
A．B．C．D．
题型07 多边形的割角问题
【例7】（2020·浙江杭州·模拟预测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是 ．
【变式7-1】（2018·山东聊城·统考模拟预测）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是 ．
【变式7-2】（2021·河北唐山·统考一模）如图，一张内角和为1800°的多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到的新多边形的边数为 ．

一个n变形剪去一个角后，若剪去的一个角只经过一个顶点和一边，则剩下的形状是n边形，若剪去的一个角经过两条邻边，则剩下的形状是（n＋1）边形，若剪去的一个角经过两个相邻点，则剩下的形状是（n－1）边形．所以遇到相关题目时，要分类讨论．
题型08 多边形的外角问题
【例8】（2022·湖南长沙·模拟预测）若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10B．9C．8D．6
【变式8-1】（2020·江苏扬州·统考模拟预测）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A．100米B．80米C．60米D．40米
【变式8-2】（2020·山东济宁·济宁学院附属中学校考二模）正十边形的外角和为（ ）
A．180°B．360°C．720°D．1440°
题型09 多边形内角和、外角和与平行线的综合运用
【例9】（2022·河南·统考模拟预测）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=19°，则∠2的度数为（ ）
A．41°B．51°C．42°D．49°
【变式9-1】（2019·四川宜宾·校联考一模）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（ ）
A．149°B．149.5°C．150°D．150.5°
【变式9-2】（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考模拟预测）如图，五边形ABCDE中， AB∥CD，∠1、∠2、∠3是外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．100°B．180°C．210°D．270°
【变式9-3】（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，一束太阳光平行照射在正n边形A1A2A3……An上，若∠1-∠2=60°，则n= ．

【变式9-4】（2022·湖北武汉·统考模拟预测）如图，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，∠DCE=150°.
(1)求∠BAD的度数：
(2)若∠F=40°，求∠E的度数.
题型10 多边形内角和、外角和与角平分线的综合运用
【例10】（2022·贵州黔东南·模拟预测）如图，AB∥CD，∠BED=100°，BF、DF分别为∠ABE、∠CDE的角平分线，则∠BFD=（ ）
A．100°B．120°C．130°D．135°
【变式10-1】（2022·江苏泰州·统考一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝150°，∠C＝60°，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O，则∠BOD的度数为（ ）
A．120°B．125°C．130°D．135°
【变式10-2】（2022·山东济南·统考一模）如图，正五边形ABCDE中，内角∠EAB的角平分线与其内角∠ABC的角平分线相交于点P，则∠APB＝ 度．
【变式10-3】（2021·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=210°，则∠P= ．
【变式10-4】（2020·河北·模拟预测）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP=60°，则∠APB= 度．
题型11 多边形内角和与外角和的综合应用
【例11】（2022·河北唐山·统考一模）如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数应是（ ）
A．72°B．84°C．82°D．94°
【变式11-1】（2022·广西梧州·统考一模）一个正多边形的内角和是1260°，则这个正多边形的一个外角等于（ ）
A．60°B．45°C．72°D．40°
【变式11-2】（2022·安徽合肥·统考一模）如图，五边形ABCDE是正五边形，AF∥DG，若∠2=20°，则∠1=（ ）
A．60°B．56°C．52°D．40°
【变式11-3】（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3B．1：2C．2：1D．3：1
【变式11-4】．（2023·山西大同·大同一中校联考模拟预测）等边三角形、正方形及正五边形各一个，按下图放在同一平面内，则∠1+∠2+∠3=（ ）

A．102°B．104°C．106°D．108°
【变式11-5】（2019·河北秦皇岛·统考一模）发现：如图1，在有一个“凹角∠A1A2A3”n边形 A1A2A3A4…An中（n为大于3的整数），∠A1A2A3=∠A1+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+……+∠An-(n-4)×180°．
验证：
（1）如图2，在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD中，证明：∠ABC=∠A+∠C+∠D．
（2）如图3，有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF中，证明；∠ABC=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F-360°．
延伸：
（3）如图4，在有两个连续“凹角A1A2A3和∠A2A3A4”的四边形 A1A2A3A4……An中（n为大于4的整数），∠A1A2A3+∠A2A3A4=∠A1+∠A4+∠A5+∠A6…..+∠An-(n- _)×180°．
【变式11-6】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）定义：由n条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做n边形．相邻两边组成的角叫做它的内角，一边和它邻边的延长线组成的角叫做它的外角．为了探究n边形的外角和与内角和的度数，小华做了以下实验：取若干张纸片，分别在纸片上画出三角形、四边形、五边形等，顺次延长各边得到各个外角，然后沿着多边形的边和延长线将它剪开，将外角拼在一起，观察图形，并进行推理．
（1）实验操作．

（2）归纳猜想．
（3）理解应用．
一个多边形的内角和是外角和的1008倍，它是多少边形？
题型12 多边形外角和的实际应用
【例12】（2023·江苏徐州·统考一模）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ）
A．α-β=0B．α-β0D．无法比较α与β的大小
【变式12-1】（2022·北京顺义·统考一模）如图，小明从A点出发，沿直线前进20米后左转30°，再沿直线前进20米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）
A．120米B．200米C．160米D．240米
【变式12-2】（2023·河北保定·统考一模）如图，琪琪沿着一个四边形公园小路跑步锻炼，从A处出发，当她跑完一圈时，她身体转过的角度之和为 ．
题型13 平面镶嵌
【例13】（2022·山西太原·一模）如图，若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【变式13-1】（2023·北京平谷·统考二模）如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则∠BAD的度数为（ ）
A．50°B．60°C．100°D．120°
【变式13-2】（2023·吉林长春·长春市第八十七中学校考三模）如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内角为 度．

【变式13-3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为 ．
【变式13-4】（2021·浙江金华·统考一模）如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作2a．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值：
（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间： ．（填①或②）
（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是 ．（用含a的代数式表示）

解决几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
考点二 平行四边形的性质与判定
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
平行四边形的性质：1)对边平行且相等； 2)对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分；
4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心.
【解题技巧】
1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．
2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．
3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．
4）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．
5）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE．
6）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．
平行四边形的判定定理：
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【解题技巧】
一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路：
1）当已知条件中有关于所证四边形的角时，可用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明；
2）当已知条件中有关于所证四边形的边时，可选择“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”或“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明；
3）当已知条件中有关于所证四边形的对角线时，可选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．
题型01 利用平行四边形的性质求解
【例1】（2022·福建·统考模拟预测）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A'B'C'，点A'对应直尺的刻度为0，则四边形ACC'A'的面积是（ ）
A．96B．963C．192D．1603
【变式1-1】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（ ）
A．100°B．80°C．70°D．60°
【变式1-2】（2023·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式1-3】（2022·甘肃平凉·模拟预测）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1=∠2=36°，∠B为（ ）
A．36°B．144°C．108°D．126°
【变式1-4】（2023·吉林松原·校联考一模）如图，在▱ABCD中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为
【变式1-5】（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数y=kxx>0的图象经过第一象限点A，且平行四边形ABCD的面积为6，则k= ．
【变式1-6】（2023·湖南衡阳·校考一模）如图，平行四边形ABCD中，AB=5,BC=10,BC边上的高AM=4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．
(1)求证：△ABM∽△EBF；
(2)当点E为BC的中点时，求DE的长；
(3)设BE=x,△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
题型02 利用平行四边形的性质证明
【例2】（2022·山东济南·统考一模）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF．
【变式2-1】（2023·广西贵港·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E,点F在CD边上，CF=AE,连接AF,BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AF平分∠DAB, CF=3,DF=5,求四边形BFDE的面积．
【变式2-2】（2021·河南驻马店·统考一模）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y=kxx>0的图象经过点A3,4和点M．

（1）求k的值和点M的坐标；
（2）求▱OABC的周长．
【变式2-3】（2022·重庆·重庆八中校考二模）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交对角线BD于点E．
(1)用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的平分线，交对角线BD于点F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：BE=DF．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，①__________，
∴∠ABE=∠CDF
∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB
∴∠BAE=12∠BAD，②___________，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴③_______________
∴∠BAE=∠DCF
在△ABE与△CDF中
∠ABE=∠CDF——————∠BAE=∠DCF
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴BE=DF
【变式2-4】（2022·山西临汾·统考一模）如图，在▱ABCD中，AB>AD．
（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论．
题型03 判断已知条件能否构成平行四边形
【例3】（2022·河南郑州·一模）如图1，▱ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
A．甲、乙、丙都是B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是D．只有乙、丙才是
【变式3-1】（2023·湖南娄底·统考二模）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．对角线互相平分B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行D．一组对边平行，另一组对边相等
【变式3-2】（2023·湖南娄底·娄底市第三中学统考二模）在下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行另一组对边相等B．一组对边平行且相等
C．两组对角相等D．对角线互相平分
题型04 添加一个条件使四边形成为平行四边形
【例4】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，添加下列条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A．AB=CDB．AD∥BC
C．AD=BCD．∠C+∠D=180°
【变式4-1】（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图是嘉淇不完整的推理过程．

小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列正确的是( )
A．∠B+∠C=180°B．AB=CD
C．∠A=∠BD．AD=BC
【变式4-2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）如图，点E、F在▱ABCD的对角线AC上，连接BE、DE、DF、BF，请添加一个条件使四边形BEDF是平行四边形，那么需要添加的条件是 ．（只填一个即可）
题型05 数平行四边形个数
【例5】（2020·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（ ）
A．6个B．7个C．9个D．11个
【变式5-1】（2019·湖北黄石·校联考一模）如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过O点且平行于AB，则图中平行四边形共有( )
A．15个B．16个C．17个D．18个
题型06 求与已知三点组成平行四边形的点的个数
【例6】（2021·河南商丘·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A1,0，B-1,3，C-2,-1，找一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（ ）
A．2,4B．-4,2C．0,-4D．-3,2
【变式6-1】（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为(3,3),(6,4),(4,6)．
（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）在△ABC中，求出AB边上的高．
题型07 证明四边形是平行四边形
【例7】（2022·福建莆田·统考一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=DF，∠ABD=∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式7-1】（2023·山东青岛·模拟预测）如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB=DF,AC=DE,EB=CF．连接AE,CD．
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若AE=AC，求证：AB=DB．
【变式7-2】（2023·山东枣庄·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED=BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若AC平分∠FAE，AC=8，tan∠DAC=34，求四边形AFCE的面积．
【变式7-3】（2020·山东潍坊·统考一模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.
(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；
(2)如图2，若α=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.

【变式7-4】（2022·广东广州·统考一模）如图，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴上．反比例函数数y =kx（x > 0）的图象经过矩形OABC对角线的交点D（4，2），且与边AB，BC分别交干点E，F，直线EF交x轴于点G．
(1)求点F的坐标；
(2)求证:四边形AEGC是平行四边形．
【变式7-5】（2023·河南·河南省实验中学校考三模）如图，已知反比例函数y=kxx>0的图像经过点A4,2，过A作AC⊥y轴于点C．点B为该反比例函数图像上的一点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．

(1)求反比例函数表达式；
(2)若BD=2OC，判断四边形ACED的形状，并说明理由．
题型08 与平行四边形有关的新定义问题
【例8】（2023·江西抚州·金溪一中校联考二模）定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．
【概念理解】
(1)如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边．
①△BCG是________三角形．
②若AD=4，则BD=________．
【问题探究】
(2)如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点F，AD=4，AB=k，是否存在实数k，使得四边形ABEC是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
【应用拓展】
(3)如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边，AB=4，AD=k，请求出k的值．
【变式8-1】（2021·浙江宁波·统考二模）定义：有一个角为45°的平行四边形称为半矩形．
(1)如图1，若▱ABCD的一组邻边AB＝4，AD＝7，且它的面积为142．求证：▱ABCD为半矩形．
(2)如图2，半矩形ABCD中，△ABD的外心O（外心O在△ABD内）到AB的距离为1，⊙O的半径＝5，求AD的长．
(3)如图3，半矩形ABCD中，∠A＝45°，AD=BD=4
①求证：CD是△ABD外接圆的切线；
②求出图中阴影部分的面积．
【变式8-2】（2021·浙江台州·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学统考二模）定义：如图1，四边形EFGH的四个顶点分别在□ABCD四条边上（不与□ABCD的顶点重合），我们称四边形EFGH为□ABCD的内接四边形．
（1）如图1，若▱ABCD的内接四边形EFGH是平行四边形，求证：AE＝CG
（2）若▱ABCD的内接四边形EFGH是矩形．
①请用无刻度的直尺与圆规，在图2中作出一个符合要求的矩形EFGH．（不必说明作图过程，但要保留作图痕迹）
②如图3，已知sinA=45，AB＝10，H是AD的中点，HG＝2HE，求AD的长．
（3）已知，▱ABCD的内接四边形EFGH是平行四边形，且S▱EFGH=12S▱ABCD，求证：点E，F，G，H中至少存在两个点是□ABCD边的中点．
题型09 利用平行四边形的性质与判定求解
【例9】（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是（ ）
A．28B．14C．10D．7
【变式9-1】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，直线y=x+1、y=x-1与双曲线y=kxk>0分别相交于点A、B、C、D．若四边形ABCD的面积为4，则k的值是（ ）

A．34B．22C．45D．1
【变式9-2】（2023上·山东临沂·九年级沂水县实验中学校考期末）已知如图，A1,1、B4,2．CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD=1，当AC+CD+DB的最小值为 .

【变式9-3】（2022·山东滨州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=10．若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为 ．
【变式9-4】（2021·山西·统考中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明；
独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A'，使A'B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A'M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB=5，BC=25，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
题型10 利用平行四边形的性质与判定证明
【例10】（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC=60°，BC=2AB．下列结论：①AB⊥AC；②AD=4OE；③四边形AECF是菱形；④S△BOE=14S△ABC．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式10-1】（2023·安徽·统考中考真题）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P,F分别是CD,AB的中点．若AB=4，则下列结论错误的是（ ）

A．PA+PB的最小值为33B．PE+PF的最小值为23
C．△CDE周长的最小值为6D．四边形ABCD面积的最小值为33
【变式10-2】（2020·广东广州·统考中考真题）如图，点A的坐标为1,3，点B在x轴上，把ΔOAB沿x轴向右平移到ΔECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为 ．

【变式10-3】（2022·四川自贡·统考中考真题）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB=AB．我们还可以得到FC＝ ， EF＝ ；
(2)进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；
(3)已知BC=30cm,DC=80cm，若BE 恰好经过原矩形DC边的中点H ，求EF与BC之间的距离．
【变式10-4】（2020·浙江舟山·统考中考真题）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．
活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．
活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）．
【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．
题型11 平行四边形性质与判定的应用
【例11】（2022·浙江舟山·校联考三模）如图，△ABC、△DBE和△FGC均为正三角形，以点D，E，F，G 在△ABC的各边上，DE和FG相交于点H，若S四边形ADHF=S△HGE，BC=a，BD=b，CF=c，则a，b，c 满足的关系式为（ ）
A．a+c=2bB．b2+c2=a2C．b+c=aD．a=2bc
【变式11-1】（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．

（1）如图1，在BC上找出一点M，使点M是BC的中点；
（2）如图2，在BD上找出一点N，使点N是BD的一个三等分点．
【变式11-2】（2021·天津南开·统考二模）如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy内，已知A(3,0),B(0,4)．
（1）点C的坐标是（___，__）；
（2）若将平行四边形OABC绕点O逆时针旋转90°得OFDE，DF交OC于点P，交y轴于点F，求△OPF的面积；
（3）在（2）的情形下，若再将平行四边形OFDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为d，当平移后的平行四边形O'F'D'E'与平行四边形OABC重叠部分为五边形时，设其面积为S，试求出S关于d的函数关系式，并直接写出d的取值范围．
【变式11-3】（2023·上海青浦·校考一模）如图，已知∠AOB=90°，∠AOB的内部有一点P，且OA=OB=OP=10，过点B作BC∥AP交AO于点C，OP与BC交于点D．
(1)如果tan∠AOP=34，求OC的长；
(2)设AP=x，BC=y，求y与x的函数关系式，并写出定义域；
(3)如果BD=AP，求△PBD的面积．
【变式11-4】（2023·北京·校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
(1)求证：CE=AD．
(2)当AC=BC，且D为中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由．
(3)求AD∶DB=3∶2，CE=CA=3时，求EF的长．
考点三 三角形中位线
三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行.
数量关系：可以证明线段的倍分关系.
常用结论：任意一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半.
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形.
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分.
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等.
题型01 三角形中位线有关的计算
【例1】（2023·湖南株洲·统考一模）如图，在△ABC中，BC=4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE=（ ）
A．14B．12C．1D．2
【变式1-1】（2023·河南许昌·统考二模）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是（ ）
A．28B．14C．10D．7
【变式1-2】（2023·湖北黄冈·统考二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为 ．
【变式1-3】（2023·江苏扬州·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO,AB的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是 ．
题型02 三角形中位线与三角形面积计算问题
【例2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（ ）
A．12cm2B．9cm2C．6cm2D．3cm2
【变式2-1】（2023·福建莆田·校考模拟预测）如图，在△ABC中，D，E分别是AB、AC的中点，若SΔADE=2，则S△ABC＝（ ）

A．4B．8C．2D．16
【变式2-2】（2023·内蒙古呼和浩特·校考一模）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于N，那么NM:MC= ，S△DMN:S四边形ANME= ．
题型03 与三角形中位线有关的证明
【例3】（2023·新疆和田·和田市第三中学校考二模）如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，延长DE至点F，使得CF∥AB，连接DC，AF．

(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)求证：四边形BDFC是平行四边形
【变式3-1】（2023·北京东城·统考一模）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【变式3-2】（2023·江苏淮安·统考二模）我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢？
(1)【方法回顾】证明：三角形中位线定理．
已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE∥BC，DE=12BC．

证明三角形中位线性质定理的方法很多，但多数都需要通过添加辅助线构图去完成，下面是其中一种证法的添加辅助线方法，阅读并完成填空：
添加辅助线，如图1，在△ABC中，过点C作CF∥AB，与DE的延长线交于点F．可证△ADE≌______，根据全等三角形对应边相等可得DE=EF，然后判断出四边形BCFD是______，根据图形性质可证得DE∥BC，DE=12BC．

(2)【方法迁移】如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=3，DF=4，∠GEF=90°，求GF的长．

(3)【定理应用】如图3，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，CGBG=KK>1，延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F，直接写出ABAF的值（用含K的式子表示）．

【变式3-3】（2023·北京·统考一模）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
题型04 三角形中位线的实际应用
【例4】（2023·广州市模拟）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的一侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝16m，则线段AB的长度是（ ）
A．12mB．10mC．9mD．8m
【变式4-1】（2023·福建福州·统考模拟预测）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是 m．
题型05 与三角形中位线有关的规律探究
【例5】（2022·山东聊城·校联考一模）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边的中点E，作ED∥AB交AC于点D，EF∥AC交AB于点F，得到四边形EDAF，它的面积记作S1取BE边的中点E1，作E1D1FB交EF于D1，E1F1∥EF交BF于点F1，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2，…照此规律作下去，则S2022的值为 ．
【变式5-1】（2023·山东青岛·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，点D、点E、点F分别是AC，AB，BC边的中点，连接DE、EF，得到△AED，它的面积记作S；点D1、点E1、点F1分别是EF，EB，FB边的中点，连接D1E1、E1F1，得到△EE1D1，它的面积记作S1，照此规律作下去，则S2023= ．
【变式5-2】（2021·黑龙江·校联考三模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=4，分别连接AB，AC，BC的中点，得到第1个等腰直角三角形A1B1C1；分别连接A1B，A1C1，BC1的中点，得到第2个等腰直角三角形A2B2C2……以此规律作下去，得到等腰直角三角形A2020B2020C2020，则B1B2020的长为 ．
题型06 与三角形中位线有关的格点作图
【例6】（2023·浙江嘉兴·统考二模）在5×5的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求作图：

(1)在图中找一个格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形；
(2)在图中作△ABC中平行于BC边的中位线EF．（保留画图痕迹，不写画法）
【变式6-1】（2023·上海杨浦·统考三模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是6×6的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与△ABC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【变式6-2】（2023·吉林长春·统考一模）如图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点均在格点，点D为AC上一格点，点E为AB上任一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中画△ABC的中位线DF，使点F在边AB上．
(2)在图②中画以AC为对角线的▱ABCG．
(3)在图③中作射线ED，在其上找到一点H，使DH=DE．
【变式6-3】（2022·浙江温州·统考模拟预测）如图，是8×8的方格纸，线段AB的两个端点分别落在格点上，请按照要求画图：
(1)在图1中画一个格点四边形APBQ，且AB与PQ互相平分．
(2)在图2中画一个以AB为中位线的格点△DEF．
题型07 构造三角形中位线的常用方法
类型一 连接两点构造三角形中位线
【例7】（2021·山东枣庄·统考一模）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝（ ）
A．112B．132C．6D．152
【变式7-1】（2020·山东泰安·统考二模）如图，抛物线y=14x2-4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ.则线段OQ的最大值是（ ）
A．3B．412C．72D．4
【变式7-2】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A．62B．32
C．2-3D．6-22
【变式7-3】（2021·河南·统考模拟预测）如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD=3，AB=CF=2，则CG的长为 ．
【变式7-4】（2023·四川内江·统考二模）如图，点A，B的坐标分别为A(6，0)，B(0，6)，C为坐标平面内一点，BC=22，M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为 ．
类型二 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线
【例8】（2023·陕西商洛·统考一模）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O，E为OB中点，F为AD中点，连接EF，则EF的长为 ．
【变式8-1】（2022·广东深圳·统考一模）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M交AB于E， D是AB的中点，则DM长度的最小值是( )
A．3B．2C．1D．6-2
【变式8-2】（2023·湖北孝感·校考一模）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF=45°，则AF:FC的值是（ ）
A．3B．5+1C．22+1D．2+3
【变式8-3】（2024·福建福州·校考一模）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF,DE．

(1)如图1，求证：DE=BF；
(2)如图2，若AD=2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．
类型三 利用角平分线垂直构造三角形的中位线
【例9】（2023·广东广州·统考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E，G分别在AD，BC边上，且AE=3DE，BG=CG，连接BE、CE，EF平分∠BEC，过点C作CF⊥EF于点F，连接GF，若正方形的边长为4，则GF的长度是（ ）
A．5-32B．5-152C．5-172D．17-32
【变式9-1】（2022·湖北咸宁·校考模拟预测）如图，△ABC中，AB=10，AC=6，AD平分∠BAC，CD⊥AD，E为BC的中点，则DE的长为（ ）

A．2B．3C．1.5D．2.5
【变式9-2】（2023·安徽滁州·统考二模）如图，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB=90°，则下列结论中不正确的是（ ）
A．BF平分∠ABCB．∠CAF=∠BAC-∠DFA
C．S△ADE=14S四边形DBCED．EF=12BC-AB
【变式9-3】（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，cs∠B=34，AE平分∠BAC，且AE⊥CE于点E，点D为BC的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．2B．4-7C．27D．2-72考点要求
新课标要求
命题预测
多边形的相关概念
了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线.
探索并掌握多边形内角和与外角和公式.
本考点内容是考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有关计算的可能性比较大．中考数学中，对平行四边形的单独考察难度一般不大，一般和三角形全等、解直角三角形综合应用的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用．
平行四边形的性质与判定
探索并证明平行四边形的性质定理.
探索并证明平行四边形的判定定理.
三角形中位线
探索并证明三角形中位线定理.
多边形
三角形
四边形
五边形
…
n边形
外角和
___________
___________
___________
…
___________
内角和
___________
___________
___________
…
___________
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．
求证：DE∥BC，且DE=12BC．
方法一
证明：如图，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
方法二
证明：如图，延长DE到点F，使得EF=DE，连接FC，DC，AF．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点．求证：DE∥BC，且DE=12BC．
方法一：
证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF．
方法二：
证明：如图，取BC中点G，连接GE并延长到点F，使EF=GE，连接AF．