2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题38 锐角三角函数及其应用【二十个题型】（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31812" 【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】 PAGEREF _Tc31812 \h 3
\l "_Tc2378" 【题型2 求角的三角函数值】 PAGEREF _Tc2378 \h 5
\l "_Tc32729" 【题型3 由三角函数值求边长】 PAGEREF _Tc32729 \h 11
\l "_Tc4537" 【题型4 求特殊角的三角函数值】 PAGEREF _Tc4537 \h 19
\l "_Tc20514" 【题型5 由特殊角的三角函数值求角的度数】 PAGEREF _Tc20514 \h 20
\l "_Tc31423" 【题型6 含特殊角的三角函数值的混合运算】 PAGEREF _Tc31423 \h 25
\l "_Tc17293" 【题型7 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 PAGEREF _Tc17293 \h 27
\l "_Tc24739" 【题型8 已知角度比较三角函数值大小】 PAGEREF _Tc24739 \h 28
\l "_Tc28307" 【题型9 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 PAGEREF _Tc28307 \h 31
\l "_Tc29213" 【题型10 利用同角三角函数关系求解】 PAGEREF _Tc29213 \h 33
\l "_Tc2213" 【题型11 互余两角三角函数关系】 PAGEREF _Tc2213 \h 36
\l "_Tc9737" 【题型12 构造直角三角形解直角三角形】 PAGEREF _Tc9737 \h 39
\l "_Tc7575" 【题型14 在坐标系中解直角三角形】 PAGEREF _Tc7575 \h 52
\l "_Tc12209" 【题型15 解直角三角形的相关计算】 PAGEREF _Tc12209 \h 58
\l "_Tc5957" 【题型16 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 PAGEREF _Tc5957 \h 64
\l "_Tc11857" 【题型17 解直角三角形的应用之仰角、俯角问题】 PAGEREF _Tc11857 \h 68
\l "_Tc18825" 【题型18 解直角三角形的应用之方位角问题】 PAGEREF _Tc18825 \h 75
\l "_Tc14781" 【题型19 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】 PAGEREF _Tc14781 \h 81
\l "_Tc15035" 【题型20 解直角三角形的应用之实际生活模型】 PAGEREF _Tc15035 \h 86
【知识点 锐角三角函数】
知识点1：锐角三角函数的概念
1．锐角三角函数：
①定义：都是在直角三角形中定义的，正弦，余弦，正切，余切．
②特殊角的三角函数值：
③同角三角函数关系：，，．
④互余角三角函数关系：若，则，．
2．钝角三角函数：
互补角三角函数：若，则，，．
知识点2：解直角三角形
1．解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2．直角三角形的边角关系
（1）三边之间的关系：．（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：
（3）边角之间的关系：，，．
3．解直角三角形的四种基本类型
4．解一般三角形
（1）利用三角函数值构造直角三角形，然后解直角三角形．
（2）把角度进行转移，利用常见的倒角模型和平行线进行角度转移．
知识点3：解直角三角形的应用
1．相关概念
（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图1．
（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡．如图2．
（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图3．

图1 图2 图3
2．解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：
（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；
（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；
（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；
（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．
【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】
【例1】（2023·安徽·模拟预测）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是（ ）

A．sinα的值越大，梯子越陡
B．csα的值越大，梯子越陡
C．tanα的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠α的函数值无关
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值和正切值随着角的增大而增大，余弦值随着角增大而减小，逐一判断即可．
【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sinα的值越大，梯子越陡，故A符合题意；
csα的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；
tanα的值越大，梯子越陡，故C不符合题意；
陡缓程度与∠α的函数值有关，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题的关键．
【变式1-1】（2023·安徽·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sinA的值（ ）
A．放大5倍B．缩小5倍C．不能确定D．不变
【答案】D
【分析】直接利用锐角的正弦的定义——“锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA”求解．
【详解】解：∵∠C=90°，
∴sinA=∠A的对边与斜边的比，
∵△ABC的三边都扩大5倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，
∴sinA的值不变．
故选：D．
【变式1-2】（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（ ）
A．5cs31°B．5sin31°C．5sin31°D．5tan31°
【答案】B
【分析】铁球上滚的距离，铁球距地面的高度，可看作直角三角形的斜边与已知角的对边，可利用正弦函数求解．
【详解】∵铁球上滚的距离× sin31° =铁球距地面的高度，
∴铁球距地面的高度= 5sin31°．
故选：B．
【点睛】本题考查了一个角的正弦等于这个角的对边比斜边，熟知三角形的正弦函数是解题的关键．
【变式1-3】（2023·河北石家庄·校联考一模）如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，∠C=α，箱高AB=1米，当BC=2米时，点A离地面CE的距离是（ ）米．
A．1csα+2sinαB．1csα+12sinα
C．csα+2sinαD．2csα+sinα
【答案】C
【分析】过B作BH⊥AD于点H，然后可以用α的三角函数表示AH，HD，再根据AD=AH+HD可以得到解答．
【详解】解：如图，过B作BH⊥AD于点H，
由题意可得：∠HAB=∠C=α，
∴AH=AB•csα=csα，DH=BE=BC•sinα=2sinα，
∴AD=AH+HD=csα+2sinα，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握正弦函数和余弦函数的定义是解题关键．
【题型2 求角的三角函数值】
【例2】（2023·广东东莞·校联考一模）如图，在正方形ABCD中，BC=5，点G，H分别在BC，CD上，且BG=CH=2，AG与BH交于点O，N为AD的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN的值为 ．
【答案】58
【分析】此题主要考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，求出BM是解本题的关键．
根据正方形性质，证明△ABG≌△BCH，得出∠BAG=∠CBH，进而求出∠AOB =90°，再判断出△AOB∽△ABG，求出OAOB=ABBG =52，再判断出△OBM∽△OAN，求出BM=1，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=5,∠ABC=∠BCD=90°
∵BG=CH=2,
∴△ABG≌△BCH(SAS),
∴∠BAG=∠CBH,
∴∠BAG+∠ABO=∠CBH+∠ABO=∠ABG=90°,
∴∠AOB=90°，
∵∠OAB=∠BAG,∠AOB=∠ABG,
∴△AOB∽△ABG,
∴OAAB=OBBG,
∴OAOB=ABBG=52,
∵OM⊥ON,
∴∠MON=90°=∠AOB,
∴∠BOM=∠AON,
∵∠BAG+∠DAG=90°，∠ABO+∠CBH=90°，∠BAG=∠CBH,
∴∠OBM=∠OAN
∴△OBM∽△OAN,
∴OBOA=BMAN,
∵点N是AD的中点，
∴AN=12AD=52,
∴25=BM52,
∴BM=1,
∴AM=AB-BM=4,
在Rt△MAN中，tan∠AMN=ANAM=524=58，
故答案为：58．
【变式2-1】（2023·上海杨浦·统考一模）在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BD⊥AC，垂足为点D，如果AB=5，BD=2，那么csC= ．
【答案】25/0.4
【分析】本题考查了根据余弦及同角的余角相等，由BD⊥AC，得到∠ADB=90°，则∠A+∠ABD=90°，通过同角的余角相等得出∠ABD=∠C即可求解，掌握三角函数的定义是解题的关键．
【详解】如图，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
∵AB=5,BD=2，
∴csC=cs∠ABD=BDAB=25，
故答案为：25．
【变式2-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，△ABC是⊙O内接三角形，AC是⊙O的直径，点E是弦DB上一点，连接CE，CD．
(1)若∠DCA=∠ECB，求证：CE⊥DB；
(2)在(1)的条件下，若AB=6，DE=5，求sin∠DBC．
【答案】(1)见解析
(2)sin∠DBC= 56
【分析】
（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADC=90°，求得∠BEC=90°，根据垂直的定义得到CE⊥BD；
（2）根据圆周角定理得到∠ABC=90°，根据垂直的定义得到∠CED=90°，得到∠CED=∠ABC，根据相似三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接AD，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠DCA=∠ECB，∠CAD=∠CBD，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠BEC=90°，
∴CE⊥BD；
（2）解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠ABC，
∵∠D=∠A，
∴△ABC∽△DEC，
∴ DEAB=CEBC，
∵AB=6，DE=5，
∴sin∠DBC=CEBC=DEAB=56．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【变式2-3】（2023·浙江·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，E为CD上一点tan∠EAD=13，以E为圆心，EA为半径的弧交AB于F，交BC于G，若F为弧AG的中点，则AF= ，tan∠GEC= ．

【答案】 5 913
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了矩形的性质和解直角三角形．过E点作EH⊥AF于H点，连接AG、FG，如图，在Rt△ADE中利用正切的定义得到tan∠EAD=DEAD=13，则设DE=x，AD=3x，根据垂径定理得到AH=FH=DE=x，利用圆心角、弧、弦的关系得到FG=FA=2x，再证明∠FAG=∠EAD，则tan∠BAG=BGAB=13，于是可计算出BG=3，在RtΔBFG中利用勾股定理得到9-2x2+32=2x2，解方程求出x，则AF=5，DE=52，AD=152，所以CG=92，CE=132，然后在Rt△CGE中利用正切的定义得到tan∠GEC的值．
【详解】解：过E点作EH⊥AF于H点，连接AG、FG，如图，

∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠C=∠D=∠BAD=90°，
在Rt△ADE中，∵tan∠EAD=DEAD=13，
∴设DE=x，AD=3x，
∵∠AHE=∠HAD=∠D=90°，
∴四边形ADEH为矩形，
∴AH=DE=x，AD∥AE，
∴∠DAE=∠HEA，
∵EH⊥AF，
∴AH=FH=x，∠HEA=∠HEF，
∵F为弧AG的中点，
∴FG=FA=2x，∠AEF=∠GEF，
∵∠FAG=12∠GEF=12∠AEF，
∴∠FAG=∠EAD，
在Rt△ABG中，∵tan∠BAG=BGAB=13，
∴BG=13AB=13×9=3，
在Rt△BFG中，∵BF=9-2x，FG=2x，BG=3，
∴9-2x2+32=2x2，
解得x=52，
∴AF=5，DE=52，AD=152，
∴CG=BC-BG=92，CE=CD-DE=132，
在Rt△CGE中，tan∠GEC=CGCE=913．
故答案为：5，913．
【题型3 由三角函数值求边长】
【例3】（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，BD平分∠ABF，∠C=90°且tanA=12，BC=8，CF∥AB，则DF= ．

【答案】823
【分析】过点F作FG⊥AC于点G，根据角平分线的性质得：∠FBD=∠ABD，利用平行线的性质及三角函数正切值得BC=CD=AD，进而得∠CBD=∠CDB=45°，在Rt△CBE中，根据tan∠EBC=CEBC=12，得CE=4，利用勾股定理得，BE=45，利用相似三角形的判定及性质得EF=453，再利用相似三角形的判定及性质可得EF=453 FG=83，GE=43，进而得DG=83，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点F作FG⊥AC于点G，如图：

∵BD平分∠ABF，
∴∠FBD=∠ABD，
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴GF∥BC，
∵tanA=BCAC=12，D是AC中点，
∴BC=CD=AD，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
∴∠ABD+∠A=45°，∠FBD+∠FBC=45°，
∵∠ABD=∠FBD，
∴∠FBC=∠A，
∴tan∠EBC=tan∠A=12，
在Rt△CBE中，tan∠EBC=CEBC=12，
∴CE8=12，
∴CE=4，
∴AE=AC-CE=2BC-CE=12，
根据勾股定理，得BE=CB2+CE2=82+42=45，
∵CF∥AB，
∴△ABE∽△CFE，
∴EFBE=CEAE，即：EF45=412，
∴EF=453，
∵GF∥BC，
∴FGBC=EFBE=GEEC=14，
∴FG8=13=GE4，
∴FG=83，GE=43，
∴DG=DE-EG=4-43=83，
在Rt△FGD中，根据勾股定理得：DF=DG2+FG2=(83)2+(83)2=823，
故答案为：823．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、勾股定理及锐角三角形函数正切值，熟练掌握相似三角形的判定及性质及勾股定理是解题的关键．
【变式3-1】（2023·江苏南京·校考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，∠ABD=∠CBE，D、C、E三点共线．

(1)求证：BE∥AD．
(2)若AD=6,csE=13，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）由∠ABD=∠CBE得∠ABC=∠DBE，根据等边对等角得∠ABC=∠ACB，则∠ACB=∠DBE，由圆周角定理得到∠ACB=∠ADB，则∠DBE=∠ADB，即可得到结论；
（2）连接AO、BO、CO，延长AO交BC于点H，证明△ABD∽△CBE，得到ABCB=ADCE，∠E=∠ADB，则∠E=∠ADB=∠ACB，证明AH是BC的垂直平分线，则BH=CH=12BC，AH⊥BC，由csE=cs∠ACB=13=CHAC，可设CH=BH=x，则AC=3x，得到AB=AC=3x,BC=2x，代入比例式得到3x2x=6CE，即可得到CE的长．
【详解】（1）解：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠CBD=∠CBE+∠CBD，
∴∠ABC=∠DBE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠DBE，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠DBE=∠ADB，
∴BE∥AD；
（2）连接AO、BO、CO，延长AO交BC于点H，

∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠BCE=∠BAD，
∵∠ABD=∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴ABCB=ADCE，∠E=∠ADB，
∴∠E=∠ADB=∠ACB，
∵AB=AC，OB=OC，
∴AH是BC的垂直平分线，
∴BH=CH=12BC，AH⊥BC，
∵csE=cs∠ACB=13=CHAC，
设CH=BH=x，则AC=3x，
∴AB=AC=3x,BC=2x，
∴3x2x=6CE，
∴CE=4．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质等知识，证明△ABD∽△CBE是解题的关键．
【变式3-2】（2023·安徽·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=8，点D是AB边上一点，BD=5，sin∠DCB=35，则AC= ．
【答案】6或23411
【分析】此题主要考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点D作DE⊥BC于E，根据sin∠DCB=35，可得出DECD=35，设DE=3k,CD=5k，则CE=4k,BE=8-4k，在Rt△BDE中，由勾股定理得构造关于k的方程并解出k，进而可求出DE,BE，然后证△BDE和△BAC相似，最后利用相似三角形的性质可求出AC的长．
【详解】解：过点D作DE⊥BC于E，如图所示：
∵sin∠DCB=35，
在Rt△CDE中，sin∠DCB=DECD，
∴DECD=35，
设DE=3k,CD=5k，
由勾股定理得：CE=CD2-DE2=4k，
∵BC=8，
∴BE=BC-CE=8-4k，
在Rt△BDE中，BE=8-4k,DE=3k,BD=5，
由勾股定理得：BE2+DE2=BD2，
即8-4k2+3k2=52，
整理得：25k2-64k+39=0，
解得：k=1，或k=3925，
当k=1时，DE=3k=3，BE=8-4k=4，
∵∠ACB=90°,DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴DEAC=BEBC，即3AC=48，
∴AC=6，
当k=3925时，DE=3k=11725,BE=8-4k=4425，
同理：DEAC=BEBC，即11725AC=44258，
∴AC=23411．
综上所述：AC=6或23411，
故答案为：6或23411．
【变式3-3】（2023·安徽亳州·统考二模）如图1，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACP的平分线相交于点D，AE平分∠BAC并交BD于点E．

(1)求证：∠BAC=2∠D；
(2)若BC=AC，且cs∠BAC=35，求BEDE，
(3)如图2，过点D作DF⊥BC，垂足为F,BFDF=3，其中BEDE=12，连接AD、EC，求ABBC．
【答案】(1)证明见解析
(2)BEDE的值为35
(3)ABBC=7+265
【分析】（1）利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求证；
（2）构造相似三角形得到△BEG∽△DEC即可求解；
（3）取DE的中点O，过点O分别作OH⊥BF，OI⊥AB，连接OA、OC，构造四点共圆，利用相似三角形的判定、性质和直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）∵△ABC的内角∠ABC和外角∠ACP的平分线相交于点D，
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCP=12∠ACP，
又∵∠DCP、∠ACP分别是△BCD、△ABC的一个外角，
∴∠D=∠DCP-∠DBC=12∠ACP-12∠ABC=12∠BAC ，
∴∠BAC=2∠D ．
（2）连接CE并延长交AB于点G，则CG平分∠ACB

又∵BC=AC，
∴CG⊥AB，∠ABC=∠BAC，
又∵∠DCP=12∠ACP=∠ABC，
∴AB∥CD，
∴CG⊥CD，∠D=∠ABD=∠DBC
∴△BEG∽△DEC ，CD=BC
∴BEDE=BGCD=BGBC=AGAC=cs∠BAC=35，
答：BEDE的值为35．
（3）如图，取DE的中点O，过点O分别作OH⊥BF于H，OI⊥AB于I，连接OA、OC，
∵BFDF=3，
可设DF=x，则BF=3x，
∵DF⊥BC，
∴BD=DF2+BF2=x2+3x2=10x，
又∵BEDE=12，点O是DE的中点，
∴OBBD=23
∵OH⊥BF，DF⊥BC，
∴OH∥DF，
∴△BOH~△BDF，
∴BHBF=BOBD=OHDF=23，
∴BH=2x，OH=23x，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴OH=OI=23x，
∴BI=BH=2x．

由（1）（2）知CE平分∠ACB，CD平分∠ACF．
∴∠ECD=∠ECA+∠ACD=12∠BCA+∠ACF=90°,
∵∠BAC=2∠BDC(小题1中已证),
∴∠EAC=∠BDC,
∴点A、E、C、D四点共圆，
∵∠ECD=90°，O为ED中点，
∴ED为圆的直径，
∴∠DCE=∠DAE=90°，
∴OA=OC=12DE=103x，
∴AI=CH=OC2-OH2=103x2-23x2=63x
∴AB=AI+IB=2+63x，
∴BC=2-63x，
∴ABBC=2+632-63=7+265．
【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质定理、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定与圆的基本性质等知识，解题关键是作辅助线构造相似三角形，本题综合性较强，需要学生具有较强的图形分析能力，且对相应知识点理解到位并熟练运用．
【题型4 求特殊角的三角函数值】
【例4】（2023·福建泉州·一模）如图，这是一块三角尺ABC，其中∠B=30°，∠C=90°，则2csA的结果为（ ）
A．1B．2C．3D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查特殊角的函数值，熟练掌握特殊角的函数值即可得到答案．根据三角形内角和定理求出∠A=60°，即可得到答案．
【详解】解：∵Rt△ABC，∠B=30°，∠C=90°，
∴∠A=60°，
故2csA=2cs60°=2×12=1，
故选A．
【变式4-1】（2023·广东河源·二模）(tan60°)2+(cs45°)-1= ．
【答案】3+2/2+3
【分析】运用特殊角度的三角函数值计算．
【详解】解：原式=(3)2+(22)-1=3+2．
故答案为：3+2．
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的运算法则．熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
【变式4-2】（2023·湖北十堰·二模）若反比例函数y=kx的图象过点-2，sin30°，则k的值为 ．
【答案】-1
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求特殊角三角函数值，先求出sin30°=12，再把点-2，12代入反比例函数解析式中求解即可．
【详解】解：∵sin30°=12，
∴反比例函数y=kx的图象过点-2，12，
∴12=k-2，
∴k=-1，
故答案为：-1．
【变式4-3】（2023·安徽宿州·模拟预测）若锐角α满足sinα=32，则csα2= ．
【答案】32
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值进而得出答案．
【详解】解：∵sinα=32，
∴锐角α=60°．
∴ csα2=cs30°=32．
故答案为：32．
【题型5 由特殊角的三角函数值求角的度数】
【例5】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，点P为矩形ABCD的外接圆上的动点，连接PB、PD、PO，AB=1，AD=3，当PO平分∠BPD时，∠PBA的度数为（ ）

A．15°B．30∘C．15°或105°D．30°或105°
【答案】C
【分析】连接BD，推出BD是⊙O的直径，利用三角函数的定义求得∠ABD=60°，再分类讨论，当点P在BD上方和点P在BD下方时，据此求解即可．
【详解】解：连接BD，
∵点P为矩形ABCD的外接圆上的动点，
∴∠A=∠C=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BPD=90°，
∵AB=1，AD=3，
∴tan∠ABD=ADAB=3，
∴∠ABD=60°，
当点P在BD上方时，
∵PO平分∠BPD，

∴∠BPO=12∠BPD=45°，
∵OP=OB，
∴∠BPO=∠PBO=45°，
∴∠PBA=∠ABD-∠PBD=15°；
当点P在BD下方时，

同理可得∠BPO=∠PBO=45°，
∴∠PBA=∠ABD+∠PBD=105°；
综上，∠PBA的度数为15°或105°
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，根据矩形的性质证明BD是⊙O的直径是解题的关键．
【变式5-1】（2023·山东济宁·统考二模）如图，四边形ABCD中，csB=22，直线EF分别交AB，BC于点E，F．则∠AEF+∠EFC的值等于（ ）

A．135°B．225°C．265°D．280°
【答案】B
【分析】先根据csB=22，得到∠B=45°，则∠BEF+∠BFE=180°-∠B=135°，再根据平角的定义求出∠AEF+∠EFC的度数即可．
【详解】解：∵csB=22，
∴∠B=45°，
∴∠BEF+∠BFE=180°-∠B=135°，
∵∠AEF=180°-∠BEF，∠EFC=180°-∠BFE，
∴∠AEF+∠EFC=180°-∠BEF+180°-∠BFE
=360°-∠BEF+∠BFE
=360°-135°
=225°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了锐角三角形函数，三角形内角和定理，求出∠B=45°是解题的关键．
【变式5-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）等腰三角形一边上的高等于底边的一半，则这个等腰三角形顶角的度数为 °．
【答案】120°或90°
【分析】分两种情形①BD是腰上的高，②AD是底边上的高，分别求解即可．
【详解】①如图，

∵AB=AC，BD⊥AC，
BD=12BC，
∴sinC=BDBC=12，∠ACB=∠C，
∴∠C=30°，则∠BAC=180°-2∠C=120°；
②如图中，

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°
∵AD=12BC，
∴AD=DB=DC，
则∠DAB=∠DBA=45°，∠DCA=∠DAC=45°
∴∠DAB=∠DAC=45°，
∴∠BAC=90°；
∴等腰三角形的顶角为120°或90°．
故答案为：120°或90°．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【变式5-3】（2023·黑龙江·统考三模）已知△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，BC=23cm，则∠A= ．
【答案】60°或120°
【分析】先画出图形，△ABC可能是锐角三角形也可能是钝角三角形.当△ABC是锐角三角形时，先作直径BD，连接CD构造直角三角形BCD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D，求出的∠D三角函数值，即可求出∠D的度数，即可知∠A的度数.当△ABC是钝角三角形时，∠A与∠D互补，求出∠D的度数，即可知∠A的度数.
【详解】
解：如图1，当△ABC是锐角三角形时，连接BO并延长交⊙O于D点，连接CD，
则∠A=∠D，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
且BC=23,BD=2r=4，
∴sin∠D=BCBD=234=32，
∴∠D=60°，
∴∠A=60°；

如图2，当△ABC是钝角三角形时，
∠A+∠D=180°
则∠A=180°-∠D
=180°-60°
=120° ；
综上分析可知，∠A=60°或120°．
故答案为：60°或120°．
【点睛】本题主要考查了圆的相关知识：“直径所对的圆周角等于90°”，“同弧所对的圆周角相等”，以及根据三角函数解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键.
【题型6 含特殊角的三角函数值的混合运算】
【例6】（2023·上海嘉定·模拟预测）计算：
(1)12sin30°+22cs45°+sin30°tan60°；
(2) sin45°⋅cs45°+sin60°⋅tan45°tan45°⋅tan60°+3tan230°+tan45°cs30°．
【答案】(1)3+234
(2)2+233
【分析】（1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘法，再算加法；
（2）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【详解】（1）解：原式=12×12+22×22+12×3
=14+12+32
=34+32
=3+234；
（2）原式=22×22+32×11×3+3×(33)2+132
=12+12+3×13+233
=1+1+233
=2+233．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，二次根式的混合运算，掌握特殊角三角函数值以及二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
【变式6-1】（2023·江苏盐城·统考模拟预测）先化简，再求值：xx2-1÷1-1x+1，其中x=2sin45°+2tan45°
【答案】1x-1，12
【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：xx2-1÷1-1x+1
=xx+1x-1÷x+1-1x+1
=xx+1x-1⋅x+1x
=1x-1，
当x=2sin45∘+2tan45∘=2×22+2×1=1+2=3时，
原式=13-1=12.
【变式6-2】（2023·北京石景山·校考一模）计算：-12019+-12-2-2-12+4sin60°．
【答案】5
【分析】直接利用负整数指数幂运算法则、二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式=-1+4-2-23+4×32
=-1+4-23+2+23
=5．
【点睛】此题主要考查了实数运算，负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
【变式6-3】（2023·山东烟台·一模）计算：sin30°⋅cs30°tan30°⋅tan45°-2sin45°．
【答案】-14
【分析】根据特殊角的三角函数值化简，而后根据先乘除后加减，乘除法法则和加减法法则计算即可．
本题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的计算．熟练掌握特殊角的三角函数值，实数的运算顺序和法则，是解题的关键．
【详解】原式=12×3233×1-2×22
=34-1
=-14．
【题型7 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】
【例7】（2023·江苏·一模）在△ABC中，∠A,∠B都是锐角，且sinA=32，tanB=3，则△ABC是（ ）
A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值，求出∠A,∠B的度数，利用三角形内角和定理，求出∠C的度数，即可得出结论．
【详解】解：∵sinA=32，tanB=3，
∴∠A=60°,∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
【变式7-1】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝22，你认为△ABC最确切的判断是（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．锐角三角形
【答案】B
【详解】试题分析：∵△ABC中，tanA=1，sinB=22，∴∠A=45°，∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．
故选B．
考点：特殊角的三角函数值．
【变式7-2】（2023·安徽·模拟预测）若3tanA-32+2csB-3=0，则△ABC的形状是（ ）
A．含有60°直角三角形B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据绝对值和平方的非负性，可得3tanA=3,csB=32，从而得到∠A=60°,∠B=30°，即可求解．
【详解】解∶∵3tanA-32+2csB-3=0，
∴3tanA-3=0,2csB-3=0，
解得：3tanA=3,csB=32，
∴∠A=60°,∠B=30°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是含有60°直角三角形．
故选：A
【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，绝对值和平方的非负性，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
【变式7-3】（2023·黑龙江大庆·一模）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且(sinA-12)2+|csB-32|=0，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定
【答案】B
【分析】根据非负数的性质得出sinA=12，csB=32，进而求得∠A=30°，∠B=30°，根据三角形内角和定理求得∠C，即可求解．
【详解】解：由题意得，sinA=12，csB=32，
则∠A=30°，∠B=30°，
则∠C=180°-∠A-∠B=120°，
故△ABC为钝角三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【题型8 已知角度比较三角函数值大小】
【例8】（2023·上海静安·校考一模）如果0°32，则∠A应满足 ．
【答案】0°