2025年中考数学二轮培优压轴题05 圆的综合（5题型+解题模板+技巧精讲）（2份，原卷版+解析版）

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目 录
TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u
\l "_Tc161755578" 题型一 切线的判定
\l "_Tc161755579" 题型二 圆中求线段长度
\l "_Tc161755580" 题型三 圆中的最值问题
\l "_Tc161755581" 题型四 圆中的阴影部分面积
\l "_Tc161755582" 题型五 圆中的比值（相似）问题
题型一 切线的判定
【例1】1．（2023-四川攀枝花-中考真题）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切．

【变式1-1】（2023-辽宁-中考真题）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．

求证：与相切；
【变式1-2】（2023-辽宁-中考真题）如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．

(1)求证：EF与相切；
(2)若，求的长．
【变式1-3】（2023-湖北鄂州-中考真题）如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；
题型二 圆中求线段长度
【例2】（2023-西藏-中考真题）如图，已知为的直径，点C为圆上一点，垂直于过点C的直线，交于点E，垂足为点D，平分．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【变式2-1】（2023-内蒙古-中考真题）如图，是⊙的直径，为⊙上的一点，点是的中点，连接，过点的直线垂直于的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：为⊙的切线；
(2)若，，求的长．
【变式2-2】（2023-辽宁大连-中考真题）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点E．

(1)求的度数；
(2)如图2，过点A作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，，求的长．
【变式2-3】（2023-湖北恩施-中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．
题型三 圆中的最值问题
【例3】（2023-湖南长沙-三模）如图1：在中，为直径，C是上一点，.过O分别作于点H，于点D，点E、F分别在线段上运动（不含端点），且保持．

(1)______；四边形是______（填矩形/菱形/正方形）； ______；
(2)当F和D不重合时，求证：；
(3)①在图1中，是的外接圆，设面积为S，求S的最小值，并说明理由；
②如图2：若Q是线段上一动点，且，，是四边形的外接圆，则当n为何值时，的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案．
【变式3-1】（2023-安徽-模拟预测）如图，半圆的直径，弦，连接．
(1)求证：；
(2)当的面积最大时，求的度数．
【变式3-2】（2023-四川-中考真题）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．

(1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 ；
(2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长；
(3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．
【变式3-3】（2023-陕西西安-模拟预测）【问题情境】
如图，在中，，，，则的外接圆的半径值为______；
【问题解决】
如图，点为正方形内一点，且，若，求的最小值；
【问题解决】
如图，正方形是一个边长为的书展区域设计图，为大门，点在边上，，点是正方形内设立的一个活动治安点，到、的张角为，即，点、为另两个固定治安点，现需在展览区域内部设置一个补水供给点，使得到、、三个治安点的距离和最小，试求的最小值．（结果精确到，参考数据，）

题型四 圆中的阴影部分面积
【例4】（2024-西藏拉萨-一模）如图，等腰的顶点A，C 在上， 边经过圆心0且与 交于D 点，.
(1)求证：是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积
【变式4-1】（2023-陕西西安-一模）如图，正六边形内接于．
(1)若P是上的动点，连接，，求的度数；
(2)已知的面积为，求的面积．
【变式4-2】（2023-浙江衢州-中考真题）如图，在中，为边上一点，连结．以为半径的半圆与边相切于点，交边于点．
(1)求证：．
(2)若．
①求半圆的半径．
②求图中阴影部分的面积．
【变式4-3】（2023-辽宁阜新-中考真题）如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．

(1)求证：是的切线．
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【变式4-4】（2023-山东枣庄-中考真题）如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．

(1)求证：是切线；
(2)若，求的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．
题型五 圆中的比值（相似）问题
【例5】（2024-陕西西安-模拟预测）如图，为的直径， 点 D为上一点， 过点 B作切线交延长线于点 C，平分，交于F．
(1)求证：；
(2)若半径为2，，求的长度．
【变式5-1】（2023-湖南湘西-二模）如图，是的直径，点，在上，平分，交于点，连接．

(1)求证：．
(2)当，且时，求线段的长．
(3)点为线段上一点，且平分，若，，求的长．
【变式5-2】（2024-陕西西安-一模）如图，是的直径与相切于点C，与的延长线交于点D，连接，点E在线段上，过点E作的垂线交的延长线于点F，交于点G．
(1)求证：；
(2)若，点E为的中点，求的长．
【变式5-3】（2024-陕西西安-一模）如图，是的直径，点在直径上（与不重合），且，连接，与交于点，在上取一点，使与相切．
(1)求证：；
(2)若是的中点，，求的长．
一、解答题
1．（2024-云南-模拟预测）如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点作的垂线交的延长线于点，为的中点，连接，，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
2．（2024-湖北黄冈-模拟预测）如图，平分，与⊙O相切于点，延长交于点，过点作，垂足为．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为4，，求的长．
3．（2024-江苏淮安-模拟预测）如图，已知直线l与相离，于点A，交于点 P，点 B 是上一点，连接并延长，交直线l于点 C，使得．
(1)判断直线与的位置关系并说明理由；
(2)求线段 的长．
4．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，是的直径，点P是延长线上一点，且与相切于点A，弦于点F，过D点作于点E．

(1)求证：；
(2)若，，求的半径和的长．
5．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求长．
6．（2024-山东泰安-一模）如图，是的两条直径，过点C的的切线交的延长线于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若B是的中点，，求的半径．
7．（2024-福建南平-一模）如图1，点是的边上一点．，，是的外接圆，点在上（不与点，点重合），且．

(1)求证：是直角三角形；
(2)如图2，若是⊙的直径，且，折线是由折线绕点顺时针旋转得到．
①当时，求的面积；
②求证：点，，三点共线．
8．（2023-四川甘孜-中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于点D，过点C作的切线，交的延长线于点E．

(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
9．（2023-湖北黄石-中考真题）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．

(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)已知，求的值．
10．（2023-辽宁鞍山-中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若．

(1)求证：为的切线．
(2)若，，求的半径．
11．（2023-湖南湘西-中考真题）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
12．（2023-辽宁沈阳-中考真题）如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，则的长为______ ．
13．（2023-黑龙江大庆-中考真题）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
14．（2023-四川雅安-中考真题）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值．
15．（2023-辽宁营口-中考真题）如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
题型解读：
圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高．多考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点，以及数形结合、整体代入等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①切线的判定；②计算线段长及证明线段比例关系；③求三角函数值；④利用“辅助圆”求最值.右图为圆的综合问题中各题型的考查热度.
下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的考查热度.
解题模板：

技巧：有切点，连半径，证垂直（根据题意，可以证角为90°，如已有90°角，可以尝试证平行）
没切点，作垂直，证半径（通常为证全等，也可以通过计算得到与半径相等）
解题模板：

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技巧精讲：
辅助圆模型
技巧精讲：
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