北京市顺义区第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷（原卷版）

这是一份北京市顺义区第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷（原卷版），共5页。试卷主要包含了 设集合，集合，则， 若复数满足，则的共轭复数， 已知角的终边经过点，则， 在中，若，，，则的大小为等内容，欢迎下载使用。

一.选择题（本大题共10小题，共40分）
1. 设集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减是（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，若，，，则的大小为（ ）
A. B. C. D. 或
7. 设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A. 100 mB. 112 mC. 117 mD. 132 m
9. 函数图象上存在两点，满足，则下列结论成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为（ ）
A. B. C. D. 无数
二.填空题（本大题共5小题，共25分）
11. 函数的定义域是______.
12. 首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比______.
13. 能说明“若，则，其中”为假命题的一组，的值是___．
14. 如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为______.
15. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上．
给出下列四个结论：
①的最小值为；
②四面体的体积为；
③有且仅有一条直线与垂直；
④存在点，，使为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是____．
三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 已知函数．
（1）若，且，求的值；
（2）求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间．
17. 在中，已知，请从下列三个条件中选择两个，使得存在，并解答下列问题：
（1）求的大小；
（2）求和值．
条件①：；条件②：；条件③：．
18. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：
（1）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；
（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；
（3）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（结论不要求证明）
19. 如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角余弦值；
（3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点位置并证明；若不存在，请说明理由.
20. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数a的值；
（2）当时，求证：；
（3）若函数f(x)在区间上存在极值点，求实数a的取值范围.
21. 已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”.
（1）已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“凹数列”，并说明理由；
（2）已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求取值范围；
（3）证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”.