福建省厦门市集美区蔡林学校2023—2024学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份福建省厦门市集美区蔡林学校2023—2024学年上学期八年级期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.新版《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日实施，条例规定生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾来分类，分别投入相应标识的收集容器．如图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 3，4，7B. 3，4，8C. 3，4，5D. 3，3，7
3.四边形的外角和等于( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系xOy中，若在第一象限，则关于x轴对称的图形所在的位置是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.如图，在中，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接AE和DE，则下列是的外角的是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知中，，，三个角的比例如下，其中能说明是直角三角形的是( )
A. 2：3：4B. 1：2：3C. 4：3：5D. 1：2：2
7.若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
A. B. C. 或D. 或
8.已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若，，，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，，，点、，则点B的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，已知等边三角形ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作，使，若，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，共28分。
11.计算：
______；
______；
______；
______.
12.如图，≌，若，，，则的度数为______.
13.在中，，，，则__________.
14.若，，则______.
15.如图，在平面直角坐标系中，的边BO在x轴上，点A坐标，点C为BO边上一点，，且，则______.
16.如图，在中，，，于点D，于点若点P是AD上一动点，连接PE，PB，则的最小值是______.
三、解答题：本题共9小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
计算：
18.本小题12分
；
；
19.本小题7分
如图，，求证：≌
20.本小题8分
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形顶点是网格线的交点的三角形的顶点A的坐标为，关于直线l对称的，已知顶点
请作出关于直线l对称的；
求四边形的面积．
21.本小题10分
如图，在中，，，AD平分交BC于点
求证：点D在AB的垂直平分线上；
若，求BD的长.
22.本小题8分
如图，已知，点D在边BC上，
尺规作图：作出点D；不写作法，保留作图痕迹
若，求证：点D是BC中点．
23.本小题10分
如图，在中，，D为CA延长线上一点，且交AB于点
求证：是等腰三角形；
，F为AB中点，求DF的长.
24.本小题7分
规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么
例如：因为，所以
根据上述规定，填空：______，______，______；
小明在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明：
设，则，即
，即，
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由
25.本小题12分
如图，等边中，过顶点A在AB边的右侧作射线AP，点B与点E关于直线AP对称，连接AE，BE，且BE交射线AP于点D，过C，E两点作直线交射线AP于点
当时，求的度数；
在变化过程中，的大小是否发生变化？如果变化，写出变化的范围；如果不变化，求的大小；
探究线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：第一个图形可以看作轴对称图形；
第二个图形不可以看作轴对称图形；
第三个图形可以看作轴对称图形；
第四个图形不可以看作轴对称图形；
故选：
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：根据三角形的三边关系，得，
A、，不能组成三角形，不符合题意；
B、，不能够组成三角形，不符合题意；
C、，能组成三角形，符合题意；
D、，不能组成三角形，不符合题意．
故选：
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3.【答案】C
【解析】解：多边形外角和，
四边形的外角和为360度．
故选：
多边形外角和都等于，则四边形的外角和为360度．
此题考查了多边形内角与外角，比较简单，只要识记多边形的外角和是即可．
4.【答案】D
【解析】解：在第一象限，
关于x轴对称的图形在第四象限，
故选：
根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数求解可得．
本题主要考查关于x、y轴对称点的坐标，解题的关键是掌握点关于x轴的对称点的坐标是，关于y轴的对称点的坐标是
5.【答案】C
【解析】根据三角形外角的定义可判断求解．
解：由题意得，，是的外角．
故选：
根据三角形外角的定义可判断求解．
本题主要考查三角形的外角，掌握三角形外角的定义是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、设三个角分别为2x，3x，4x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：，，，所以不是直角三角形；
B、设三个角分别为x，2x，3x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：，，，所以是直角三角形；
C、设三个角分别为3x，4x，5x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：，，，所以不是直角三角形；
D、设三个角分别为x，2x，2x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：，，，所以不是直角三角形．
故选：
根据三角形的内角和公式分别求得各角的度数，从而判断其形状．
本题通过设适当的参数，根据三角形内角和定理建立方程求出三个内角的度数后判断．
7.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用．
因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．
【解答】
解：等腰三角形中有一个角等于，
①若为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为；
②若为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：
这个等腰三角形的顶角的度数为：或
故选：
8.【答案】C
【解析】解：在和中
，
≌，
，
，
，
，
，
故选：
根据SAS证≌，推出，求出的度数，根据三角形的内角和定理求解即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形内角和定理，解题的关键是求出的度数和得出
9.【答案】C
【解析】解：过C和B分别作于D，于E，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
点C的坐标为，点A的坐标为，
，，，
则B点的坐标是
故选：
过C和B分别作于D，于E，利用已知条件可证明≌，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线构造全等三角形．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连接
是等边三角形，
，
，，
，，
，
，，
≌，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：
如图连接证明≌，推出，，先求出，进而由等腰三角形的性质得出，即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案为：5a；
，
故答案为：；
，
故答案为：；
，
故答案为：
根据整式的加减法则计算即可；
根据同底数幂的乘法法则计算即可；
根据幂的乘方，积的乘方法则计算即可；
根据同底数幂的乘法法则计算即可．
本题考查了整式的混合运算．掌握运算法则是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，，
，
≌，
，
，
，
故答案为：
根据三角形内角和定理求出，根据全等得出，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
13.【答案】5
【解析】【分析】
此题考查的知识点是含30度角的直角三角形，关键是熟记含的直角三角形的性质，即锐角所对的直角边是斜边的一半．
根据直角三角形的性质，即锐角所对的直角边是斜边的一半，即可直接求解．
【解答】
解：中，，，
故答案是：
14.【答案】144
【解析】解：，，
故答案为：
逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则求解即可．
此题主要考查了同底数幂的除法运算以及幂的乘方与积的乘方，正确将原式变形是解题关键．
15.【答案】12
【解析】由等腰三角形的性质可得，可得，即可求解．
解：如图，过点A作于H，
点A坐标，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：
本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是最短路线问题及等腰三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．作点B关于AH的对称点，由等腰三角形的性质可知与点C重合，则CE的长度即为EP与BP和的最小值，由三角形的面积公式解答即可．
【解答】
解：如右图所示，作点B关于AD的对称点，
，
是等腰三角形，
与点C重合，则CE的长度即为PE与PB和的最小值，
中，，，
，
解得：，
故答案为：
17.【答案】解：

【解析】首先计算零指数幂、乘方、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18.【答案】解：原式；
原式；
原式
【解析】先对幂的乘方进行运算，再按同底幂乘法运算法则来计算，即可得到结果；
分别计算幂的乘方和同底数幂乘法的运算，再按合并同类项计算，即可得到结果；
按积的乘方运算法则的逆运算，即可得到结果．
本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法运算，关键是运算法则的应用，还要注意到符号的变化．
19.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌
【解析】根据平行线的性质得出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
20.【答案】解：如图，为所作；
A
四边形为梯形，，，梯形高，
四边形的面积
【解析】先利用A点和的坐标特征确定对称轴，再利用网格特点画出B、C关于直线l的对称点即可；
利用梯形的面积公式计算．
本题考查了作图-轴对称变换：作图时要先找到图形的关键点，根据已知对应点找到对称轴，再根据对称轴分别把剩下点的对应点找到，再顺次连接对应点即可得到关于直线对称的图形．
21.【答案】证明：，，AD平分，
，，
，
，
点D在AB的垂直平分线上；
解：，，AD平分，
，，
，
，
由知：，

【解析】根据题意和角平分线的定义，可以得到和的关系，然后即可得到BD和AD的关系，再根据线段垂直平分线的性质，即可证明结论成立；
根据角所对的直角边和斜边的关系，可以得到BD的长．
本题考查角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、角所对的直角边与斜边的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：如图，点D即为所求；
法一：作线段AB的垂直平分线，交BC于点
法二：作，边AD交BC于点
证明：连接AD，
，，
，
法一：
，，
，
，
，
，即点D是BC中点．
法二：
，
，
，即点D是BC中点．
【解析】法一：作线段AB的垂直平分线，交BC于点法二：作，边AD交BC于点D即可；
法一：根据线段的垂直平分线的性质即可证明；法二：根据，利用三角形内角和定理即可证明．
本题考查了作图-复杂作图，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
23.【答案】证明：，
，
，
，
，，
，
，
，
，
是等腰三角形；
过点A作，垂足为G，
，，
，
为AB中点，
，
在和中，
，，
≌，
，
，，

【解析】利用等腰三角形的性质可得，再利用等角的余角相等证明即可解答；
由得是等腰三角形，想到等腰三角形的三线合一性质，所以过点A作，垂足为G，先在中，利用勾股定理求出EF的长，然后证明≌即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24.【答案】2 2 4
【解析】解；，，，
，，，
故答案为：2，2，4；
设，，则，
，，，
根据题中规定的新运算结合有理数的乘方求解即可；
设，，根据同底数幂的乘法可得，然后结合题中规定的新运算即可证明．
本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
25.【答案】解：是等边三角形，
，，
点B与点E关于直线AP对称，且BE交射线AP于点D，
，，
，，
，
；
当时，如图
，
，
；
的大小不发生变化，
当时，，点D，F在射线AP上，如图
，
，
，
；
②当时，，点D，F在点A的两侧，如图
点B与点E关于直线AP对称，且BE交射线AP于点D，
，，
，，
等边，，
，，
，
，
；
综上所述，当时，；
当时，；当时，
证明：连接BF，在FA上截取，连接
由知，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
点B与点E关于直线AP对称，
且BE交射线AP于点D，
为BE中垂线，
，，
又有，
，
；
①当时，如图
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
②当时，如图
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
综上所述，①当时，；②当时，
【解析】根据等边三角形的性质得到，，根据轴对称的性质得到，，求得，得到；
当时，如图得到，求得，于是得到；
①当时，，点D，F在射线AP上，如图得到，求得，于是得到；②当时，，点D，F在点A的两侧，如图根据轴对称的性质得到，，求得，，根据等边三角形的性质得到，，求得，于是得到；
连接BF，在FA上截取，连接由知，根据等边三角形的性质得到，，根据线段垂直平分线的性质得到，，于是得到；①当时，如图根据全等三角形的性质得到求得；②当时，如图得到，根据全等三角形的性质得到求得
本题考查了几何变换综合题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．