山东省烟台市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

这是一份山东省烟台市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题，共9页。
注意事项：
1、本试题满分150分，考试时间为120分钟，
2、答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上，
3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线和直线平行，则实数m的值为（ ）
A．0B．C．1D．或1
3．在三棱锥中，点M在线段上，且，N为中点，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
5．正四棱柱中，，E，F，G分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
8．过直线上一点P作圆的切线，，切点为A，B，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列命题正确的有（ ）
A．若直线a的方向向量与平面的法向量垂直，则
B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底
C．已知向量，，若，则为钝角
D．在四面体中，若Q为的重心，则
10．已知直线与圆，则（ ）
A．当时，直线平分圆C
B．直线与圆C总有两个公共点
C．直线被圆C截得的最短弦长为
D．被圆C截得的弦长为的直线有且只有1条
11．正方体的棱长为2，点P是正方体表面上一个动点，则下列说法正确的有（ ）
A．若P是线段上的动点，则
B．若P是线段上的动点，的最小值为
C．若E是的中点，且，则点P的轨迹围成图形的面积为
D．若E，F分别是线段，的中点，当P在底面上运动，且满足平面，则线段的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．写出一个圆心在y轴上，且与直线相切的圆的标准方程______．
13．已知向量在向量上的投影向量是，且，则______．
14．已知点P是直线与直线的交点，则点P的轨迹方程为______；若点Q是圆上的动点，则的最大值为______（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）如图，在边长为2的正方体中，E，F分别是棱和的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
16．（15分）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为．
（1）求直线的方程和点C的坐标；
（2）求的面积．
17．（15分）如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若E为棱中点，求直线与平面所成角的余弦值．
18．（17分）已知一动点A在圆上移动，它与定点连线的中点为M．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）过定点的直线与点M的轨迹交于P，Q两点．
（Ⅰ）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若，求直线的方程．
19．（17分）如图，在三棱台中，上下底面分别为边长是2和4的等边三角形，平面，且四棱锥的体积为，M为的中点，N为线段上一点．
（1）若N为的中点，证明：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）是否存在点N使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由．
2024∼2025学年度第一学期期中学业水平诊断
高二数学参考答案及评分标准
一、选择题
ABDB DCAB
二、选择题
9．BD 10．ABD 11．AD
三、填空题
12．，等 13．
14．，
四、解答题
15．（1）证明：以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，则，，，，．
所以，，，
设平面的法向量为，
所以，令得，，
所以，又平面，
所以平面；
（2），点F到平面的距离，
由题意可知，，，
，，
所以，
所以，三棱锥的体积．
16．解：（1）因为边上的高所在直线方程为，
的平分线所在的直线方程为，所以联立，得，
设点关于直线的对称点为，
所以解得，即，
所以，所以直线的方程为．
设直线的方程为，过点，
所以，直线的方程为，
联立，解得．
（2）因为边所在直线方程为，
所以，点A到直线的距离，
，
所以．
17．（1）证明：取中点O，连结，，，在中，，，所以为等边三角形，所以，
底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以，
所以，为二面角的平面角，
在中，，，，所以，
可得，所以，
所以，平面平面．
（2）解：以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，则，，，，．
所以，，且，
，，
设平面的法向量为，
所以，令，，
设直线与平面所成角为，则
，
所以，
所以，直线与平面所成角的余弦值为．
18．解：（1）设点M的坐标是，点A的坐标是，由于点B的坐标是，
且M是线段的中点，所以，，
于是，①
因为点A在圆上上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即②．
把①代入②，得，整理，得，
（2）①为定值，
过点作直线与圆M相切，切点为T，易得．
，
所以为定值，且定值为12．
②依题意可知，直线的斜率k存在且不为零，设．
设，，将代入，
并整理，得，
∴，，
∴，
∴或．
经检验，时，时，，所以．
所以，直线的方程为．
19．解：（1）证明：设，可知的面积，的面积，
三棱台的体积，所以．
连结，可得，，所以，即，
因为M，N分别为，的中点，所以，所以，
因为平面，平面，所以，易知，
，所以平面，又平面，所以，
又，所以平面．
（2）解：以M为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角
坐标系，则，，，．
所以，，
设平面的法向量为，所以
令，，易知，平面的法向量，
设二面角所成角为，则，
所以二面角所成角的余弦值为；
（3）设，，所以，又，
设平面的法向量为，
所以，令，则，
因为，设直线与平面所成角为，
则，
整理得，即或，
所以，当点N为线段的三等分点时，
直线与平面所成角的正弦值为．