福建省泉州市东海中学2024-2025学年九年级上学期数学科期中质量监测

这是一份福建省泉州市东海中学2024-2025学年九年级上学期数学科期中质量监测，共24页。试卷主要包含了下列运算错误的是等内容，欢迎下载使用。
1．下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．方程3x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，﹣1，4B．3，4，﹣1C．3，﹣4，﹣1D．3，﹣1，﹣4
3．两个相似等腰直角三角形的面积比是4：1，则它们的周长比是（ ）
A．4：1B．2：1C．8：1D．16：1
4．下列运算错误的是（ ）
A．×＝B．÷＝C．（）2＝5D．2÷＝2
5．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）
A．45°B．60°C．50°D．30°
6．在Rt△ABC中，a＝3、b＝4，则c的长是（ ）
A．B．C．5D．5或
7．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则k的值可以取（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．0
8．如图，随机闭合4个开关S1，S2，S3，S4中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，已知△ABC和△DEC，点E在BC上，AC交DE于点F，且AB∥DE．若△ABC与△DEC的面积相等，且EF＝6，AB＝9，则DF等于（ ）
A．3.6B．7.5C．8D．10
10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①∠DEC＝∠AEB；②CF⊥DE；③AF＝BF；④＝，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共6小题）
11．请写出一个大于2且小于3的二次根式： ．
12．已知x＝2是一元二次方程x2﹣mx＝0的一个解，则m的值是 ．
13.若ab =56，则的值= ．
14.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，那么sinA的值是 ．
15．如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是 ．
16.sin18°= ．
三．解答题（共9小题）
17. -14+8+（23 -π）0-2sin45°
18．解方程：（x+2）（x﹣3）＝x﹣1．
19．如图AD与CE交于B，且．
（1）求证：△ABC∽△DBE．
（2）若AC＝8，BC＝6，BE＝3，求DE的长．
20.随着《黑神话:悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世,不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情.游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴.某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线，小明家、小米家利用双休日出去旅游.每次出游只能选一条路线.
(1)小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少?
(2)如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，
请用树状图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率.
21．如图，在四边形ACBD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E是对角线AB的中点，连接CD，CE，DE，求证：∠DCE＝∠CDE．
22．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展倡议等多重利好因素，某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，其2022年的利润为3亿元，2024年的利润为4.32亿元．
（1）求该企业2022年到2024年利润的年平均增长率；
（2）若2025年保持前两年利润的平均增长率不变，该企业2025年的利润能否超过5亿元？
23．某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下：
活动报告
请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物CD的高度．（参考数据：，）
24．定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”．如2x2﹣7x+3＝0的“友好方程”是3x2﹣7x+2＝0．
（1）写出一元二次方程x2+3x﹣10＝0的“友好方程” ；
（2）已知一元二次方程x2+3x﹣10＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣5，它的“友好方程”的两根，x4＝ ．根据以上结论，猜想ax2+bx+c＝0的两根x1、x2与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根x3，x4之间存在的一种特殊关系为 ；
（3）已知关于x的方程2021x2+bx﹣c＝0的两根为x1＝﹣1，，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程c（x﹣1）2﹣2021＝b（x﹣1）的两根．
25．【课本再现】（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D，E分别是BC，AC的中点．求证：DE⊥AC，DE＝AC；
【操作发现】（2）如图2，将图1的△ABC先沿着直线AC翻折得到△AFC，再将△AFC绕着点F顺时针旋转45°得到△A′FC′，连接BC′，分别作BC′，A′C的中点D，E，连接DE．猜想DE与A′C的关系，并进行证明；
【拓展延伸】（3）如图3，将（2）中的“旋转45°”改成“旋转任意角度”，其他条件不变，问DE与A′C的关系是否发生改变？并说明理由．
1．下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、＝3与被开方数不同，不是同类二次根式；
B、＝3与被开方数相同，是同类二次根式；
C、＝3与被开方数不同，不是同类二次根式；
D、＝2与被开方数不同，不是同类二次根式．
故选：B．
2．方程3x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，﹣1，4B．3，4，﹣1C．3，﹣4，﹣1D．3，﹣1，﹣4
【解答】解：∵3x2﹣4x﹣1＝0，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是3，﹣4，﹣1，
故选：C．
3．两个相似等腰直角三角形的面积比是4：1，则它们的周长比是（ ）
A．4：1B．2：1C．8：1D．16：1
【解答】解：∵两个相似等腰直角三角形的面积比是4：1，
∴这两个相似等腰直角三角形的相似比是2：1，
∴它们的周长比是2：1．
故选：B．
4．下列运算错误的是（ ）
A．×＝B．÷＝C．（）2＝5D．2÷＝2
【解答】解：A、×＝，正确，不符合题意；
B、÷＝，正确，不符合题意；
C、（）2＝5，正确，不符合题意；
D、2÷＝，故原式错误，符合题意，
故选：D．
5．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）
A．45°B．60°C．50°D．30°
【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，
∴∠α＝60°，
故选：B．
6．在Rt△ABC中，a＝3、b＝4，则c的长是（ ）
A．B．C．5D．5或
【解答】解：分两种情况：
①当a，b为直角边时，第三边c＝＝5；
②当a为直角边，b为斜边时，第三边c＝．
故选：D．
7．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则k的值可以取（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．0
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0且k≠0，
∴k≥﹣1且k≠0，
∴k可以是2，
故选：C．
8．如图，随机闭合4个开关S1，S2，S3，S4中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡L发光的结果有：S1S3，S1S4，S2S3，S2S4，S3S1，S3S2，S4S1，S4S2，共8种，
∴能使小灯泡L发光的概率为＝．
故选：A．
9．如图，已知△ABC和△DEC，点E在BC上，AC交DE于点F，且AB∥DE．若△ABC与△DEC的面积相等，且EF＝6，AB＝9，则DF等于（ ）
A．3.6B．7.5C．8D．10
【解答】解：∵△ABC与△DEC的面积相等，
∴四边形ABEF与△DFC的面积相等，
∵AB∥DE，
∴△CFE∽△CAB，
∵EF＝6，AB＝9，
∴＝（）2＝（）2＝，
设△CEF的面积为4a，则△CAB的面积为9a，
∴四边形ABEF的面积为9a﹣4a＝5a，
即△DFC的面积为5a，
∵△DFC的底边DF和△CFE的底边EF的高相同，
∴△DFC和△CFE的面积之比＝，
∴＝，
∵EF＝6，
∴＝，
解得：DF＝7.5，
故选：B．
10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①∠DEC＝∠AEB；②CF⊥DE；③AF＝BF；④＝，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠DEC＝∠AEB，∠BAE＝∠CDE，DE＝AE，故①正确，
∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴∠BAE＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠CDE，且∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠BCF+∠CED＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴CF⊥DE，故②正确，
∵∠CDE＝∠BCF，DC＝BC，∠DCE＝∠CBF＝90°，
∴△DCE≌△CBF（ASA），
∴CE＝BF，
∵CE＝BC＝AB，
∴BF＝AB，
∴AF＝FB，故③正确，
③解法二：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，
∵E是BC的中点，
∴＝＝，
∵AB∥CD，
∴＝＝，
∵AB＝CD，
∴BF＝AB．
∵DC＝6，CE＝3，
∴DE＝＝＝3，
∵S△DCE＝×CD×CE＝×DE×CH，
∴CH＝，
∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴＝，
∴CF＝＝3，
∴HF＝CF﹣CH＝，
∴＝，故④正确，
故选：D．
【解答】解：设a＝4k，b＝5k，
∴，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．请写出一个大于2且小于3的二次根式： （答案不唯一） ．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴写出一个大于2且小于3的无理数是．
故答案为：（答案不唯一）．
12．已知x＝2是一元二次方程x2﹣mx＝0的一个解，则m的值是 2 ．
【解答】解：因为x＝2是一元二次方程x2﹣mx＝0的一个解，
所以4﹣2m＝0
解得：m＝2．
故答案为：2．
13.若ab =56，则的值= ．
【解答】解：设a＝5k，b＝6k，
∴5K＋6K6K=116
14．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，那么sinA的值是 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，
则sinA＝＝＝．
故答案为：．
15．如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是 ．
【解答】解：以A为顶点，AC为一边，在AC下方作∠CAM＝45°，过B作BD⊥AM于D，交AC于P，如图：
由作图可知：△ADP是等腰直角三角形，
∴AD＝PD＝AP，
∴AP+PB＝PD+PB，
∴AP+PB取最小值即是PD+PB取最小值，此时B、P、D共线，且BD⊥AD，AP+PB的最小值即是BD的长，
∵∠BAC＝15°，∠CAM＝45°，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝1，BD＝＝，
∴AP+PB的最小值是．
故答案为：．
16.sin18°= 5-14 ．
【解答】解：如图，△ABC是黄金三角形，则∠BAC =36°，
AB=AC,BC:AB=5-12
作∠BAC的角平分线AD，则AD⊥BC，
BD=DC=12BC
在直角△ABD中，∠ADB=90°，则
sin18°=sin∠BAD=BDAB=5-14
故答案为：5-14
三．解答题（共9小题）
-14+8+（23 -π）0-2sin45°
【解答】解：原式=-1+22+1-2×22
=2
18．解方程：（x+2）（x﹣3）＝x﹣1．
【解答】解：（x+2）（x﹣3）＝x﹣1，
整理得：x2﹣2x﹣5＝0，
x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝5+1，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝±，
x1＝1+，x2＝1﹣．
19．如图AD与CE交于B，且．
（1）求证：△ABC∽△DBE．
（2）若AC＝8，BC＝6，BE＝3，求DE的长．
【解答】（1）证明：∵∠DBE＝∠ABC，，
∴△ABC∽△DBE；
（2）解：∵△ABC∽△DBE，
∴，
∵AC＝8，BC＝6，BE＝3，
∴＝，
∴DE＝4．
20.随着《黑神话:悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世,不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情.游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴.某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线，小明家、小米家利用双休日出去旅游.每次出游只能选一条路线.
(1)小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少?
(2)如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，
请用树状图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率.
【解答】解：（1）根据题意：小明家选不到A路线的概率是34
21．如图，在四边形ACBD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E是对角线AB的中点，连接CD，CE，DE，求证：∠DCE＝∠CDE．
【解答】证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E是AB的中点，
∴CE＝AB，DE＝AB，
∴CE＝DE，
∴∠DCE＝∠CDE．
22．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展倡议等多重利好因素，某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，其2022年的利润为3亿元，2024年的利润为4.32亿元．
（1）求该企业2022年到2024年利润的年平均增长率；
（2）若2025年保持前两年利润的平均增长率不变，该企业2025年的利润能否超过5亿元？
【解答】解：（1）设该企业利润的年平均增长率为x，则：
3（1+x）2＝4.32，
解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
∴设该企业利润的年平均增长率为20%；
（2）由题意得：
4.32×（1+20%）＝5.184（亿元），
∴该企业2025年的利润能超过5亿元．
23．某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下：
活动报告
请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物CD的高度．（参考数据：，）
【解答】解：过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点B作BF⊥CD，垂足为F，
由题意得：BE＝DF，BF＝DE，
∵斜坡AB的坡度i＝1：2.4；
∴＝＝，
∴设BE＝5x米，则AE＝12x米，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝13x（米），
∵AB＝52米，
∴13x＝52，
解得：x＝4，
∴AE＝48米，BE＝DF＝20米，
设BF＝DE＝y米，
∴AD＝AE+DE＝（48+y）米，
在Rt△ADC中，∠CAD＝31°，
∴CD＝AD•tan31°≈（48+y）米，
在Rt△BCF中，∠CBF＝53°，
∴CF＝BF•tan53°≈y（米），
∵CF+DF＝CD，
∴y+20＝（48+y），
解得：y＝12，
∴CD＝（48+y）＝36（米），
∴建筑物CD的高度约为36米．
24．定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”．如2x2﹣7x+3＝0的“友好方程”是3x2﹣7x+2＝0．
（1）写出一元二次方程x2+3x﹣10＝0的“友好方程” ﹣10x2+3x+1＝0 ；
（2）已知一元二次方程x2+3x﹣10＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣5，它的“友好方程”的两根，x4＝ ﹣ ．根据以上结论，猜想ax2+bx+c＝0的两根x1、x2与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根x3，x4之间存在的一种特殊关系为 互为倒数 ；
（3）已知关于x的方程2021x2+bx﹣c＝0的两根为x1＝﹣1，，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程c（x﹣1）2﹣2021＝b（x﹣1）的两根．
【解答】解：（1）一元二次方程x2+3x﹣10＝0的“友好方程”为：﹣10x2+3x+1＝0，
故答案为：﹣10x2+3x+1＝0；
（2）﹣10x2+3x+1＝0，
（2x﹣1）（5x+1）＝0，
解得，x3＝，x4＝﹣，
根据以上结论，猜想ax2+bx+c＝0的两根x1、x2与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为互为倒数，
证明如下：
∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝，x2＝．
“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根为x3＝，x4＝．
∴x1•x4＝•＝1，x•x3＝•＝1，
即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数；
故答案为：﹣，互为倒数；
（3）∵方程2021x2+bx﹣1＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝．
∴该方程的“友好方程”﹣x2+bx+2021＝0，即x2﹣bx﹣2021＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝2021，
则（x﹣1）2﹣bx+b＝2021，即（x﹣1）2﹣b（x﹣1）﹣2021＝0中x﹣1＝﹣1或x﹣1＝2021，
∴该方程的解为x1＝0，x2＝2022．利用（2）中的结论，写出关于x的方程（x﹣1）2﹣2021＝b（x﹣1）的两根为x1＝0，x2＝2022．
25．【课本再现】（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D，E分别是BC，AC的中点．求证：DE⊥AC，DE＝AC；
【操作发现】（2）如图2，将图1的△ABC先沿着直线AC翻折得到△AFC，再将△AFC绕着点F顺时针旋转45°得到△A′FC′，连接BC′，分别作BC′，A′C的中点D，E，连接DE．猜想DE与A′C的关系，并进行证明；
【拓展延伸】（3）如图3，将（2）中的“旋转45°”改成“旋转任意角度”，其他条件不变，问DE与A′C的关系是否发生改变？并说明理由．
【解答】（1）解：∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE∥AB，，
∵AB＝AC，
∴，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠A，
又∠A＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，
∴DE⊥AC，；
（2）解：DE⊥A′C，
理由如下：
延长C′A′交AC于M，连接FM，AD，
，
∵A，D分别是BF，BC′中点，
∴AD∥FC′，，
∴∠BAD＝∠BFC′，
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵△ABC沿着直线AC翻折得到△AFC，
∴∠AFC＝∠ABC＝45°，
∵△AFC绕着点F顺时针旋转45°得到△A′FC′，
∴∠A′FC′＝45°，AF＝A′F，
∴∠AFC′＝90°＝∠BAD，
又∠BAC＝90°，
∴点D在AC上，
∵∠FA′C′＝90°＝∠FA′M，
在Rt△AFM和Rt△A′FM中，
，
∴Rt△AFM≌Rt△A′FM（HL），
∴AM＝A′M，
∵∠MA′C＝90°，∠ACF＝45°，
∴∠A′MC＝45°＝∠A′CM，
∴MA′＝CA′，
设AC＝a，则AF＝AB＝a，，
∴，
∴，，
∴，
又E是A′C中点，
∴DE∥A′M，，
又∠MA′C＝90°，MA′＝CA′，
∴由（1）知：DE⊥A′C，；
（3）不变，理由如下
由（2）知：∠BAD＝∠BFC′，，
当旋转角小于45°时，
连接AD，A′D，CD，过A′作A′H⊥CD于H，
，
设旋转角为α，则∠BFC′＝45°+α＝∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝45°﹣α，
又∠A′FC＝∠AFC﹣∠AFA′＝45°﹣α，
∴∠A′FC＝∠DAC，
∵∠FA′C′＝90°，A′F＝A′C′，
∴，
又，
∴，
∵∠FAC＝90°，AF＝AC，
∴，即，
∴，
又∠A′FC＝∠DAC
∴△ADC∽△FA′C，
∴∠ACD＝∠FCA′，，即，
∴∠DCA′＝∠ACF＝45°，
∵A′H⊥CD，
∴，
∴D、H是同一个点，
∴△A′DC是等腰直角三角形，
∴A′D＝CD，
又E是A′C中点，
∴DE⊥A′C，．
当旋转角大于45°时，
如图，连接AD，A′D，CD，过A′作A′H⊥CD于H，
，
设旋转角为α，则∠BFC′＝45°+α＝∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝α﹣45°，
又∠A′FC＝∠AFA′﹣∠AFC＝α﹣45°，
∴∠A′FC＝∠DAC，
同理可证△ADC∽△FA′C，
∴∠ACD＝∠FCA′，，即，
∴∠DCA′＝∠ACF＝45°，
∵A′H⊥CD，
∴，
∴D、H是同一个点，
∴△A′DC是等腰直角三角形，
∴A′D＝CD，
又E是A′C中点，
∴DE⊥A′C，；
当旋转角等于45°时，
由（2）知：DE⊥A′C，．
综上，DE⊥A′C，．活动目的
测量建筑物的高度
活
动
过
程
步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图）

步骤二：准备测量工具
皮尺、测倾器
步骤三：实地测量并记录数据（A，B，C，D在同一平面上，CD⊥AD于点D）
①建筑物CD前有一段斜坡AB，斜坡AB的坡度i＝1：2.4；
②在斜坡AB的底部A测得建筑物顶点C的仰角为31°；
③斜坡AB长52米；
④在点B测得建筑物顶点C的仰角为53°．
步骤四：计算建筑物CD的高度
活动目的
测量建筑物的高度
活
动
过
程
步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图）

步骤二：准备测量工具
皮尺、测倾器
步骤三：实地测量并记录数据（A，B，C，D在同一平面上，CD⊥AD于点D）
①建筑物CD前有一段斜坡AB，斜坡AB的坡度i＝1：2.4；
②在斜坡AB的底部A测得建筑物顶点C的仰角为31°；
③斜坡AB长52米；
④在点B测得建筑物顶点C的仰角为53°．
步骤四：计算建筑物CD的高度