新疆兵团第三师图木舒克市鸿德实验学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

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考试时间：120分钟 试卷满分：100分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.
2．请将答案正确填写在相应的位置.
一、选择题 （每小题4分，共40分）
1. 下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可.
【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确；
对于②：因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确；
对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为0,1，
两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误；
对于④：因为集合的元素为，集合的元素为，
两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误；
综上所述：正确的个数为2.
故选：B.
2. 不等式解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】不等式两边同时平方可得一元二次不等式，求解即可.
【详解】因为，所以，解得
所以不等式解集是；
故选：D.
3. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接由可得定义域.
【详解】要使函数有意义，则：，
解得，所有的定义域为：，
故选：A
4. 下列函数中幂函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数的定义直接得出结果.
【详解】A：函数为一次函数，故A不符合题意；
B：函数为二次函数，故B不符合题意；
C：函数为二次函数，故C不符合题意；
D：函数为幂函数，故D符合题意.
故选：D
5. 下列命题中：
①幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③当n=0时，幂函数y=xn的图象是一条直线；
④当n＞0时，幂函数y=xn是增函数；
⑤当n＜0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小．
其中正确的是 （ ）
A. ①和④B. ④和⑤C. ②和③D. ②和⑤
【答案】D
【解析】
【详解】当时，不过(0,0)点，①错误；
当x>0时，，故幂函数的图象不可能在第四象限内，故②对
当时，中，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错；
在(−∞,0)上是减函数，(0,+∞)上是增函数，④错．
幂函数，当时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．⑤对
故选D.
6. 一个偶函数定义在上，它在上的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 这个函数有三个单调增区间
B. 这个函数有三个单调减区间
C. 这个函数在其定义域内有最大值是7
D. 这个函数在其定义域内有最小值是
【答案】ABC
【解析】
【分析】由偶函数的对称性依次可判断单调性及最值.
【详解】结合偶函数图象关于轴对称可知，
这个函数在上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，
且定义域内有最大值，最小值是比-2小，故A，B，C正确，D错误.
故选：
7. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的单调性和奇偶性的定义，逐一判断选项，即可得到答案.
【详解】对于A，的定义域为，且单调递增，
由于，所以为奇函数，故A选项正确；
对于B，的定义域为，且单调递增，
由于定义域区间不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故B选项错误；
对于C，的定义域为，且在上单调递减，在上单调递增，
由于，所以为偶函数，故C选项错误；
对于D选项，的定义域为，且单调递减，
由于，所以为奇函数，故D选项错误.
故选：A
8. 下列大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的单调性比较大小.
【详解】A：在上单调递增，所以，故正确；
B：在上单调递增，所以，故错误；
C：在上单调递减，所以，故错误；
D：在上单调递减，所以，故错误；
故选：A.
9. 下列四个命题中不正确的是（ ）
A.
B. 是定义域上的减函数
C. 和表示同一个函数
D. 幂函数的图象都过点（1，1）
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据空集，函数的单调性，以及相等函数的定义，幂函数的性质，判断选项.
【详解】A.不含任何元素，所以，故A错误；
B.的减区间是和，但不能说在定义域上是减函数，故B错误；
C. 的定义域为，而的定义域是，所以两个函数不是同一函数故C错误；
D.根据幂函数的性质可知，幂函数都过点，故D正确.
故选：ABC
10. 下列集合不能用区间形式表示的是（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据区间的概念及区间形式可以表示连续数集，是无限集，逐个判断即可得出答案.
【详解】区间形式可以表示连续数集，是无限集
A,D是自然数集的子集，都不能用区间形式表示，
B选项，Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，
故只有C可以，区间形式为，
故选：ABD.
二、填空题(每小题3分，共12分）
11. 已知，，且，最小值为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】利用基本不等式求和的最小值即可.
【详解】因为，则，
当且仅当时等号成立,
所以的最小值为.
故答案为：.
12. 的定义域为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式分母不为可求结果.
【详解】因为中，所以，
所以定义域为，
故答案为：.
13. 已知幂函数y=f(x)的图象过点，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.
【详解】设，由于图象过点,
得，
，
，故答案为3.
【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
14. 若是幂函数，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据幂函数的定义列方程来求得的值.
【详解】令，得，解得．
故答案为：
三、简答题（共48分）
15. 设集合，；
（1）求；
（2）求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据交集、并集的概念求解即可.
（2）结合补集的概念求解.
【小问1详解】
由题意：，.
【小问2详解】
或，
所以
16. 解下列问题.
（1）已知函数是幂函数求的值.
（2）求分段函数的值
①
②
【答案】（1）或
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）对于幂函数，根据幂函数的定义，系数为，由此可求出的值.
（2）对于分段函数求值，当满足不同条件时，代入对应的表达式进行计算.
【小问1详解】
因为函数是幂函数，根据幂函数的定义，系数.
即，因式分解得.
解得或者.
【小问2详解】
①对于分段函数，因为，所以.
②因为，根据，则.
因，所以.
因为，所以，即.
17. 解下列不等式：
（1）
（2）
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可．
（2）利用一元二次不等式的解法求解即可．
【小问1详解】
方程的解为，，
不等式可化为，
∴或
所以的解集为：或.
【小问2详解】
方程的解为，，
∵不等式可化为，
∴
所以的解集为：.
18. 求下列函数的定义域：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）且
（2）且
（3）且
【解析】
分析】（1）根据分母不等于0得到不等式，解出即可；
（2）根据根号下大于等于0和分母不等于0得到不等式组，解出即可；
（3）根据根号下大于等于0和分母不等于0以及0的0次方无意义得到不等式组，解出即可.
【小问1详解】
由题意得，解得，且.
故其定义域为且.
【小问2详解】
由题意得且，则且，
故其定义域为且.
小问3详解】
由题意得且，解得且.
故其定义域为x|x>2且.
19. 判断下列函数奇偶性.
（1）
（2）
【答案】（1）奇函数；
（2）偶函数.
【解析】
【分析】（1）（2）求出给定函数的定义域，再利用函数奇偶性定义直接判断即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，
，
所以函数是奇函数.
【小问2详解】
令，函数的定义域为，
，则函数是偶函数，
所以函数是偶函数.
20. 已知函数 .
（1）判断函数的奇偶性并加以证明
（2）证明函数在上单调递增;
（3）求在上的最大值与最小值.
【答案】（1）奇函数，证明见解析；
（2）证明见解析； （3）最大值与最小值分别为和.
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域，再利用函数奇偶性定义判断即可.
（2）利用增函数的定义推理证明.
（3）由（2）的结论，求出函数的最值.
【小问1详解】
函数是奇函数，
函数的定义域为，
，
所以函数是奇函数.
【小问2详解】
，，
由，得，，，则，即，
所以函数在上单调递增.
【小问3详解】
由（2）知，函数在上单调递增，则当时，，当时，，
所以函数在上的最大值与最小值分别为和.