第五章函数的概念、性质及应用（单元重点综合测试）（解析版）

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第五章函数的概念、性质及应用（单元重点综合测试）（考试时间：150分钟试卷满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，则．【答案】21【分析】代入求值即可．【详解】由，可得．故答案为：21.2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则函数的最小值是．【答案】/【分析】根据基本不等式即可求解最值.【详解】由于，所以，故，当且仅当时取等号，故最小值为，故答案为：3．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，现给出函数的四个性质，其中说法正确的是．（填序号）①；②在上严格增；③当时，取得最大值．【答案】②【分析】当时，，由此可判断①，当向右平移时，左边阴影部分的面积也在增大，可判断②③.【详解】由题可知，所在直线为，所在直线为，则当时，；①当时，，故①错误；②当向右平移时，左边阴影部分的面积在增大，显然在上严格增，故②正确；③因为在上是严格增函数，所以最大，故③错误．故答案为：②.4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，则当时，的最大值为．【答案】【分析】根据二次函数的性质计算可得.【详解】因为，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时.故答案为：5．（23-24高一上·上海·期末）定义在上的奇函数满足，当时，，则 .【答案】【分析】由题意可得函数周期性，结合周期性、奇偶性及在时，计算即可得.【详解】由，且该函数为奇函数，故，即该函数周期为4，故，对，令，则，由该函数为奇函数，故，，即.故答案为：.6．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知定义在R上的偶函数满足，若，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】根据题意，由求解.【详解】解：因为的图象的对称轴为，且开口向上，所以在上严格增，且在R上是偶函数，所以，两边平方得，所以.故答案为：7．（2024高三·上海·专题练习）已知函数，则不等式的解集是【答案】【分析】首先根据函数的图象判断函数的单调性，根据单调性求解不等式.【详解】作出函数的图像如图所示，由图可知，函数在R上单调递增，因为，所以等价于，即，解得，所以不等式的解集是．故答案为：8．（24-25高一上·上海·课后作业）设函数的最大值为，最小值为，则 .【答案】2【分析】依题意可得，令，即可判断为奇函数，根据奇函数的性质计算可得.【详解】因为，令，定义域为.且，所以为奇函数.因为，所以的最大值为，的最小值为.所以，所以.故答案为：9．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 .【答案】【分析】依题意不妨令，即可得，令，，即可得到在上单调递增，再由及奇偶性得到在上的取值情况，从而得到的解集.【详解】因为对任意的、且，都有成立，不妨令，则，即，所以，令，，则当且时，，所以在上单调递增，又函数是定义域为的奇函数且，则，所以，所以当时，，当时，，则当时，，当时，，又为奇函数，所以当时，，当时，，所以不等式的解集是.故答案为：10．（23-24高一上·上海·期中）已知满足关于x的不等式的每一个x的值至少满足不等式和的一个，则实数a的取值范围为 .【答案】【分析】解二次不等式，将问题转化为在上有两个实根，再利用二次函数零点的分布即可得解.【详解】由得，设集合，由得，设集合，所以，设，则的解集非空，设解集为，其中，是方程的两实根，且，要使关于的不等式的解集内的每一个的值，至少能使不等式或中的一个成立，则需，即，即，所以，解得，所以，即.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于：1、理解“使关于的不等式的解集内的每一个的值，至少能使不等式或中的一个成立.”的含义，并且需得出这三个不等式的解集之间的关系；2、当方程的两实根，满足条件时，如何利用方程的根的判别式和特殊点的函数值的正负等限制条件构造不等式组.11．（23-24高一上·上海·期末）关于函数，给出下列结论：①函数的图象关于轴对称；②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数.③方程一定有实数解；以上结论正确的是【答案】①③【分析】由函数解析式可推出是偶函数，在上单调递增，在上单调递减，结合图形判断各项的正误.【详解】对①，令，解得，可知的定义域为，定义域关于原点对称，且，则为偶函数，即其图象关于轴对称，故①正确；对③，当时，则，因为在上单调递增，且恒成立，所以在上单调递减，当时，则，因为在上单调递减，且恒成立，所以在上单调递增，可得的函数图象如下：方程根的个数即为函数与的交点个数，由图象可得：当时，函数与函数的图象一定有交点，由对称性可知，当时，函数与函数的图象也一定有交点，故③正确；对于②：当时，方程只有1个解，故②错误；故答案为：①③.【点睛】关键点睛：根据函数解析式确定单调区间，奇偶性，进而结合图象判断各项的正误，注意一次函数的性质和函数对称性的应用.12．（23-24高一下·上海·开学考试）已知函数的值域是,当时，实数的取值范围是 .【答案】【分析】借助分段函数的性质分类讨论，当时，可得，当时，令，结合函数单调性及对称性，可得，，又的值域是，即可得当时的值域应该包含，即可得解.【详解】当时，函数为增函数，此时，，，令，即，则关于对称，且当时，，且在上单调递增，在上单调递减，令，有，即有，解得或，的值域是，当时，当时的值域应该包含，此时的取值范围是.故答案为：.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列图象表示的函数中没有零点的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数的图象表示法以及零点的定义直接观察图象与轴是否有交点即可.【详解】观察图象可知只有A选项中的图象与轴没有交点，其他BCD选项中的图象与轴有交点，这意味着只有A选项中的函数没有零点.故选：A.14．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数，则（）．A． B．C． D．【答案】D【分析】利用配凑法，把原式变形即可.【详解】，.故选：.15．（2024·上海杨浦·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用解析式直接判断单调性的方法，逐项分析得解.【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是；对于B，函数在上单调递减，B不是；对于C，函数在上单调递减，C不是；对于D，函数在上为严格增函数，D是.故选：D16．（24-25高一·上海·课堂例题）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意，都有成立，则的值为（）A．2026； B．2022； C．2018； D．0．【答案】D【分析】利用条件求出周期，再根据奇函数得，即可得解.【详解】因为是定义在上的奇函数，可得，，所以，所以，是周期为4得函数，则.故选：D三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值与最小值：(1)；(2)，；(3)；(4)，．【答案】(1)最大值为1，无最小值；(2)最大值为1，最小值为-3；(3)最小值为-8，无最大值；(4)最小值为-6，最大值为0.【分析】（1）由二次函数的性质，结合二次函数的图象可得最大值与最小值；（2）结合（1）的图象，由二次函数的性质可得最大值与最小值，需要注意定义域；（3）由二次函数的性质，结合二次函数的图象可得最大值与最小值；（4）结合（3）的图象，由二次函数的性质可得最大值与最小值，需要注意定义域；【详解】（1）函数是一个以为对称轴，开口向下的二次函数，如下图：时，，所以函数的最大值为，无最小值；（2）由（1）可知函数在上单调递增，在上单调递减，时，，时，，所以函数的最大值为1，最小值为-3；（3）函数是一个以为对称轴，开口向上的二次函数，如下图：时，，所以函数的最小值为-8，无最大值；（4）由（3）可知，函数上单调递减，时，，时，，所以函数的最大值为0，最小值为-6.18．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中.(1)求的定义域；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)15【分析】（1）由函数有意义的条件，求函数定义域；（2）利用函数解析式求的值，由求出，计算的值即可.【详解】（1）函数有意义，则有，得，所以函数的定义域为.（2）因为，所以，即，所以，即，故.19．（24-25高一上·上海·随堂练习）请你指出函数，其中的基本性质（不必证明），并判断以下三个命题的正确性，必要时可直接运用有关其基本性质的结论加以证明．(1)当时，等式，恒成立；(2)若，则一定有；(3)若，方程有两个不相等的实数解．【答案】(1)正确，证明见解析(2)正确，证明见解析(3)不正确，证明见解析【分析】（1）运用解析式求出即可判断；（2）运用严格的单调性即可判断；（3）运用数形结合的思想方法，画出的图像，观察即可得到的范围，即可判断．【详解】（1）对于任意的，，故恒成立；（2）由作图如下：由于为严格增函数，故如果，则恒成立，因此，一定有；（3）由图像可知当时，与无公共点，方程无实数根，故结论不正确．20．（23-24高一上·上海·期末）设，已知，.(1)求证：函数不是偶函数；(2)若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围；(3)若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）利用偶函数的定义即可证明；（2）分别得到和在的单调性，将问题转化为即可求解；（3）将问题转化为或，结合单调性即可求解.【详解】（1）由题可得，因为，所以函数为奇函数，不是偶函数；（2）对任意的、，不妨设，所以，因为，所以，，，所以，，所以在上单调递增，则，，所以，由于在上单调递增，所以，要使对任意的、，总存在，使得成立，则，即，所以实数的取值范围是；（3）对任意的，，总有成立，所以或，则或，由（2）可得当，，，，，所以或，解得或，故实数的取值范围是.21．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）若函数的定义域为，集合，若存在正实数，使得任意，都有，且，则称在集合上具有性质.(1)已知函数，判断在区间上是否具有性质，并说明理由；(2)已知函数，且在区间上具有性质，求正整数的最小值；(3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且在上具有性质，求实数的取值范围.【答案】(1)不具有，理由见解析(2)2(3)【分析】（1）结合定义举出反例即可得；（2）由题意可得，即可转化为对任意恒成立，构造相应函数，借助二次函数的性质即可得解；（3）由题意结合奇函数的性质可得，再证明时，在上具有性质即可得.【详解】（1），当时，，故在区间上不具有性质；（2）函数的定义域为，对任意，则，在区间上具有性质，则，即，因为是正整数，化简可得：对任意恒成立，设，其对称轴为，则在区间上是严格增函数，所以，，解得，故正整数的最小值为2；（3）法一：由是定义域为上的奇函数，则，解得，若，，有恒成立，所以符合题意，若，当时，，所以有，若在上具有性质，则对任意恒成立，在上单调递减，则，x不能同在区间内，，又当时，，当时，，若时，今，则，故，不合题意；，解得，下证：当时，恒成立，若，则，当时，则，，所以成立；当时，则，可得，，即成立；当时，则，即成立；综上所述：当时，对任意均有成立，故实数的取值范围为.法二：由是定义域为上的奇函数，则，解得.作出函数图像：由题意得：，解得，若，，有恒成立，所以符合题意，若，则，当时，则，，所以成立；当时，则，可得，，即成立；当时，则，即成立；综上所述：当时，对任意均有成立，故实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于由题意得出必要条件，再证明其充分性即可得.