山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

这是一份山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了11，“”是“直线与直线平行”的，给出下列说法，其中不正确的是，下列说法正确的是，已知两直线和的交点为等内容，欢迎下载使用。

（选择性必修—检测）
说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共58分）
一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意）
1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）
A.1B.2C.3D.4
2.“”是“直线与直线平行”的（ ）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.给出下列说法，其中不正确的是（ ）
A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量
B.若，则点是线段的中点
C.若，则，，，四点共面
D.若平面，的法向量分别为，，且，则
3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）
A.2个B.3个C.4个D.5个
4.实数，满足，则的最小值为（ ）
A.B.7C.D.3
6.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）
A.B.C.1D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
9.下列说法正确的是（ ）
A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B.圆与直线必有两个交点
C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为
D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是
10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.焦距为2B.椭圆的标准方程为
C.D.的最大值为
11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（ ）
A.平面
B.，，，四点共面
C.点到平面的距离为
D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）
12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.
13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.
14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.

图1 图2 图3
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（13分）已知两直线和的交点为.
（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；
（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.
16.（15分）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.
17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.

图1 图2
（1）求证：平面平面；
（2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.
（1）求圆的方程；
（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；
（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.
19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.
（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；
（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；
（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.
山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中
高二数学试题参考答案 2024.11
选择题
填空题
，.
解答题
15.【答案】（1）（2）.
【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分
联立方程组，解得.
直线和的交点.……3分
又直线过点，则，解得，
即直线的方程为.……5分
（2）设所求圆的标准方程为，
的斜率为，故直线的斜率为1，
由题意可得，……8分
解得，……11分
故所求圆的方程为.
化为一般式：.……13分
16.【答案】（1）（2）
【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得，……2分
由椭圆过点，得，联立解得，，……4分
所以椭圆的方程为.……5分
（2）由题意可设，
点在第一象限，，……6分
设，，点，到直线的距离分别为，，
由，消可得，
，，……8分
，……10分
，，直线的一般式方程：，
，，
，……12分
，……14分
当时，有最大值为.……15分
17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，
【详解】（1）证明：在梯形中，，
，，为的中点，
，，，……1分
是正三角形，四边形为菱形，
，，……3分
，，
又，，平面，
平面，……5分
平面，
平面平面.……6分
（2）存在，，理由如下：……8分
平面，，
，，两两互相垂直，
如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.
则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，，
，……11分
设，
，，
，……12分
设与平面所成角为，则，
即，，解得，
线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为.……15分
18.【答案】（1）（2）（3）
【详解】（1）设圆心，则，……2分
解得或（舍），故圆的方程为.……4分
（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分
则有，解得.……8分
（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分
，……12分
若轴平分，则，即，即，
即，即，即，……14分
当时，上式恒成立，即；……15分
当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；
综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分
19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析
【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分
所以，……3分
因为为常数，
所以，，且，……5分
所以，，.……6分
（2）解：由（1）知，，设，
由，得，
所以，……7分
，
整理得，即，
所以，……9分
，……10分
由，得，
即的取值范围是.……12分
（3）证明：若，则以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，
该圆关于点对称.……15分
由点，关于点对称及，
可得—卡西尼卵形线关于点对称，
令，解得，与矛盾，
所以不存在实数，，使得以为稳点的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
B
C
B
D
D
C
C
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BCD
ABD