2023-2024学年浙江省杭州市临平区八年级（上）月考数学试卷（12月份）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市临平区八年级（上）月考数学试卷（12月份），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中是轴对称图形的为（ ）
A．角B．三角形C．四边形D．六边形
2．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．B．6，8，10C．2，3，4D．1，，4
3．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x≥﹣3B．x≤2C．x＜2D．﹣3＜x≤2
4．（3分）如图，△ABC≌△DEF，若∠A＝100°，∠F＝47°，则∠E的度数为（ ）
A．100°B．53°C．47°D．33°
5．（3分）点P（3，﹣4）关于x轴的对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣4）B．（3，4）C．（﹣3，4）D．（4，﹣3）
6．（3分）不等式ax＞﹣3（a＜0）的解为（ ）
A．x＞B．x＜C．x＞﹣D．x＜﹣
7．（3分）如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）
A．20°B．40°C．50°D．60°
8．（3分）一次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分．小滨有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则（ ）
A．95﹣7x＞80B．5（19﹣x）﹣2x≥80
C．100﹣7x＞80D．5（20﹣x）﹣2x≥80
9．（3分）如图，x轴、y轴上分别有两点A（3，0）、B（0，2），以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（2﹣，0）C．（1，0）D．（3，0）
10．（3分）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③④C．①②④D．①③④
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）写出命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题： ．
12．（4分）已知点P（1，﹣2），则P到x轴的距离是 ．
13．（4分）用一根小木棒与两根长分别为5cm，6cm的小木棒围成三角形，则这根小木棒的长度可以为 cm（写出一个即可）．
14．（4分）若关于x的一元一次方程x﹣n+3＝0的解是负数，则n的取值范围是 ．
15．（4分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 ．
16．（4分）如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入x＝3，则该程序需要运行 次才停止；若该程序只运行了2次就停止了，则x的取值范围是 ．
三、解答题：本题有8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）解下列不等式或不等式组：
（1）9x﹣2≤7x+2；
（2）．
18．（6分）如图，在由边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，用（﹣1，0）表示A点的位置，用（3，1）表示B点的位置．
（1）请画出平面直角坐标系，并写出C点的坐标．
（2）请画出△CDE向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的△C1D1E1．
19．（6分）如图，已知在△ABC和△DBE中，AB＝DB，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：BC＝BE．
20．（8分）已知点P（2m+4，m﹣1），试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P在y轴上；
（2）点P到x轴的距离为2，且在第四象限．
21．（8分）笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B、其中AB＝AC，由于周边施工，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．
（1）判断△BCH的形状，并说明理由；
（2）求原路线AC的长．
22．（10分）某班计划购买A、B两款文具盒作为期末奖品．若购买3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．
（1）每盒A款的文具盒和每盒B款的文具盒各多少元．
（2）某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，那么该班最多可以购买多少盒A款的文具盒？
23．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣4，4﹣5a）位于第二象限，点B（﹣4，﹣a﹣1）位于第三象限，且a为整数．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点C（m，0）为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，求m的值．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE．
（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBD；
（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；
（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC＝2，CE＝1，求△CGF的面积．
2023-2024学年浙江省杭州市临平区八年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只
1．（3分）下列图形中是轴对称图形的为（ ）
A．角B．三角形C．四边形D．六边形
【分析】根据轴对称图形的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、角是轴对称图形，它有两条对称轴，故A符合题意；
B、三角形不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、四边形不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、六边形不是轴对称图形，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了多边形，轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．B．6，8，10C．2，3，4D．1，，4
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：A、（）2+（）2＝+＝，（）2＝，
∵≠，
∴以，，为边长的线段不能构成直角三角形，本选项不符合题意；
B、62+82＝36+64＝100，102＝100，
∵100＝100，
∴以6，8，10为边长的线段能构成直角三角形，本选项符合题意；
C、22+32＝4+9＝13，42＝16，
∵13≠16，
∴以2，3，4为边长的线段不能构成直角三角形，本选项不符合题意；
D、12+（）2＝1+3＝4，42＝16，
∵4≠16，
∴以1，，4为边长的线段不能构成直角三角形，本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x≥﹣3B．x≤2C．x＜2D．﹣3＜x≤2
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解；
∵解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
4．（3分）如图，△ABC≌△DEF，若∠A＝100°，∠F＝47°，则∠E的度数为（ ）
A．100°B．53°C．47°D．33°
【分析】根据全等三角形的性质得出∠D＝∠A＝100°，再根据三角形内角和定理即可得出∠E的度数
【解答】解：∵△ABC≅△DEF，∠A＝100°，
∴∠D＝∠A＝100°，
在△DEF中，∠F＝47°，
∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠E＝33°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
5．（3分）点P（3，﹣4）关于x轴的对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣4）B．（3，4）C．（﹣3，4）D．（4，﹣3）
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可直接得到答案．
【解答】解：点P（3，﹣4）关于x轴的对称的点的坐标是：（3，4）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6．（3分）不等式ax＞﹣3（a＜0）的解为（ ）
A．x＞B．x＜C．x＞﹣D．x＜﹣
【分析】原不等式为，ax＞﹣3，下一步是两边都除以x的系数a，因为a＜0，所以不等号的方向要改变，即可解得不等式的解集．
【解答】解：∵a＜0，
∴不等式系数化1，得
x＜﹣；
故选：D．
【点评】当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向．同理，当不等号的方向改变后，也可以知道不等式两边除以的是一个负数．
7．（3分）如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）
A．20°B．40°C．50°D．60°
【分析】由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，进而可得∠PAQ的大小．
【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝70°，
又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，
∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝70°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质；要熟练掌握垂直平分线的性质，能够求解一些简单的计算问题．
8．（3分）一次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分．小滨有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则（ ）
A．95﹣7x＞80B．5（19﹣x）﹣2x≥80
C．100﹣7x＞80D．5（20﹣x）﹣2x≥80
【分析】设小聪答错了x道题，则答对了20﹣1﹣x＝（19﹣x）道题，根据总分＝5×答对题目数﹣2×答错题目数，结合小聪竞赛成绩不低于80分，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：设小聪答错了x道题，则答对了20﹣1﹣x＝（19﹣x）道题，
依题意得：5（19﹣x）﹣2x≥80．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9．（3分）如图，x轴、y轴上分别有两点A（3，0）、B（0，2），以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（2﹣，0）C．（1，0）D．（3，0）
【分析】根据勾股定理求得AB＝，然后根据图形推知AC＝AB，则OC＝AC﹣OA，所以由点C位于x轴的负半轴来求点C的坐标．
【解答】解：如图，∵A（3，0）、B（0，2），
∴OA＝3，OB＝2，
∴在直角△AOB中，由勾股定理得AB＝＝．
又∵以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，
∴AC＝AB，
∴OC＝AC﹣OA＝﹣3．
又∵点C在x轴的负半轴上，
∴C（3，0）．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，坐标与图形性质．解题时，注意点C位于x轴的负半轴，所以点C的横坐标为负数．
10．（3分）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③④C．①②④D．①③④
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，据此得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，则∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而OA＞OC，故③错误；即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，
故①正确，符合题意；
∵∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，
故②正确，符合题意；
如图2所示，作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，
故④正确，符合题意；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM，
∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OC，
与题意不符，
故③错误，不符合题意；
综上，符合题意的有①②④；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）写出命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题： 内错角相等，两直线平行 ．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等
∴其逆命题为：内错角相等，两直线平行．
【点评】考查学生对逆命题的定义的理解及运用．
12．（4分）已知点P（1，﹣2），则P到x轴的距离是 2 ．
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
【解答】解：P到x轴的距离是|﹣2|＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
13．（4分）用一根小木棒与两根长分别为5cm，6cm的小木棒围成三角形，则这根小木棒的长度可以为 3（答案不唯一） cm（写出一个即可）．
【分析】根据三角形的三边关系求出这根小木棒的长度的范围，解答即可．
【解答】解：设这根小木棒的长度为x cm，
由三角形的三边关系可知：6﹣5＜x＜6+5，即1＜x＜11，
则这根小木棒的长度可以为3cm，
故答案为：3（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边．
14．（4分）若关于x的一元一次方程x﹣n+3＝0的解是负数，则n的取值范围是 n＜3 ．
【分析】根据方程的解为负数得出n﹣3＜0，解之即可得．
【解答】解：∵关于x的一元一次方程x﹣n+3＝0的解是负数，
∴x＝n﹣3＜0，
解得n＜3，
故答案为：n＜3．
【点评】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式的能力，根据题意列出不等式是解题的关键．
15．（4分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 3 ．
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3或a﹣b＝﹣3（舍去），
故答案为：3．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
16．（4分）如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入x＝3，则该程序需要运行 3 次才停止；若该程序只运行了2次就停止了，则x的取值范围是 4≤x＜7 ．
【分析】分别求出程序运行1次、2次、3次得出的结果，将其与16比较后即可得出结论，根据该程序只运行了2次就停止了，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【解答】解：3×3﹣5＝4＜16，
4×3﹣5＝7＜16，
7×3﹣5＝16，
∴若x＝3，该程序需要运行3次才停止，
依题意得：，
解得：4≤x＜7．
x的取值范围为4≤x＜7，
故答案为：3；4≤x＜7．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：代入x＝3，找出程序运行的次数和根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
三、解答题：本题有8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）解下列不等式或不等式组：
（1）9x﹣2≤7x+2；
（2）．
【分析】（1）不等式移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可；
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再取两个解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）9x﹣2≤7x+2，
移项，的9x﹣7x≤2+2，
合并同类项，得2x≤4，
系数化为1，得x≤2；
（2），
由①得：x＜1，
由②得：x≥﹣2，
故不等式组的解集为﹣2≤x＜1．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组以及解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
18．（6分）如图，在由边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，用（﹣1，0）表示A点的位置，用（3，1）表示B点的位置．
（1）请画出平面直角坐标系，并写出C点的坐标．
（2）请画出△CDE向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的△C1D1E1．
【分析】（1）根据A，B两点坐标，确定平面直角坐标系即可；
（2）利用平移变换的性质分拨中心C，D，E的对应点C1，D1，E1即可．
【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示，C（1，2）；
（2）如图，△C1D1E1即为所求．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，坐标确定位置等知识，解题的关键是理解题意，掌握平移变换的性质．
19．（6分）如图，已知在△ABC和△DBE中，AB＝DB，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：BC＝BE．
【分析】利用ASA证明△DBE≌△ABC，即可证明结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ABE＝∠2+∠ABE，
即∠DBE＝∠ABC，
在△DBE和△ABC中，
，
∴△DBE≌△ABC（ASA），
∴BC＝BE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
20．（8分）已知点P（2m+4，m﹣1），试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P在y轴上；
（2）点P到x轴的距离为2，且在第四象限．
【分析】（1）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可；
（2）根据点P到x轴的距离列出绝对值方程求解m的值，再根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数求解．
【解答】解：（1）∵点P（2m+4，m﹣1）在y轴上，
∴2m+4＝0，
解得m＝﹣2，
所以，m﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3，
所以，点P的坐标为（0，﹣3）；
（2）∵点P到x轴的距离为2，
∴|m﹣1|＝2，
解得m＝﹣1或m＝3，
当m＝﹣1时，2m+4＝2×（﹣1）+4＝2，
m﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2，
此时，点P（2，﹣2），
当m＝3时，2m+4＝2×3+4＝10，
m﹣1＝3﹣1＝2，
此时，点P（10，2），
∵点P在第四象限，
∴点P的坐标为（2，﹣2）．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键，（2）要注意点在第四象限．
21．（8分）笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B、其中AB＝AC，由于周边施工，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．
（1）判断△BCH的形状，并说明理由；
（2）求原路线AC的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）△BCH是直角三角形，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝82+62＝100，
BC2＝100，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°；
（2）设AC＝AB＝x千米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣6）千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣6，CH＝8，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，
∴x2＝（x﹣6）2+82
解这个方程，得x＝8，
答：原来的路线AC的长为8千米．
【点评】此题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理．
22．（10分）某班计划购买A、B两款文具盒作为期末奖品．若购买3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．
（1）每盒A款的文具盒和每盒B款的文具盒各多少元．
（2）某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，那么该班最多可以购买多少盒A款的文具盒？
【分析】（1）设每盒A款的文具盒为x元，每盒B款的文具盒为y元，由题意：若购买3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该班购买m盒A款的文具盒，由题意：某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设每盒A款的文具盒为x元，每盒B款的文具盒为y元，
由题意得：，
解得：，
答：每盒A款的文具盒为6元，每盒B款的文具盒为4元；
（2）设该班购买m盒A款的文具盒，
由题意得：6m+4（40﹣m）≤210，
解得：m≤25，
答：该班最多可以购买25盒A款的文具盒．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键时：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣4，4﹣5a）位于第二象限，点B（﹣4，﹣a﹣1）位于第三象限，且a为整数．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点C（m，0）为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，求m的值．
【分析】（1）根据坐标系的特点得出不等式组解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，4﹣5a）位于第二象限，点B（﹣4，﹣a﹣1）位于第三象限，且a为整数，
∴，
∴﹣1＜a＜，
∵a为整数，
∴a＝0，
∴A（﹣4，4），B（﹣4，﹣1）；
（2）∵A（﹣4，4），B（﹣4，﹣1），
∴AB＝5，
∵点C（m，0）为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，
∴AC＝AB＝5，
∵AC＝，
∴（m+4）2+16＝25，
解得m1＝﹣1，m2＝﹣7．
∴m的值为﹣1或﹣7．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形的性质、两点距离公式，掌握这几个知识点的熟练应用是解题关键．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE．
（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBD；
（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；
（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC＝2，CE＝1，求△CGF的面积．
【分析】（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；
（2）先判断出∠BCF＝∠CBF，进而得出∠BCF＝∠CAE，即可得出结论；
（3）先求出BD＝3，进而求出CF＝，同理：EG＝，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE＝∠CBD；
（2）如图2，记AE与CF的交点为M，
在Rt△BCD中，点F是BD的中点，
∴CF＝BF，
∴∠BCF＝∠CBF，
由（1）知，∠CAE＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠CAE，
∴∠CAE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝90°，
∴∠AMC＝90°，
∴AE⊥CF；
（3）如图3，记AE与CF的交点为M，
∵AC＝2，
∴BC＝AC＝2，
∵CE＝1，
∴CD＝CE＝1，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD＝＝3，
∵点F是BD中点，
∴CF＝DF＝BD＝，
同理：EG＝AE＝，
连接EF，过点F作FH⊥BC，
∵∠ACB＝90°，点F是BD的中点，
∴FH＝CD＝，
∴S△CEF＝CE•FH＝×1×＝，
由（2）知，AE⊥CF，
∴S△CEF＝CF•ME＝×ME＝ME，
∴ME＝，
∴ME＝，
∴GM＝EG﹣ME＝﹣＝，
∴S△CFG＝CF•GM＝××＝．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出△CFG的边CF上的是解本题的关键．