高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优秀同步训练题

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知识点 1 椭圆的定义
1、椭圆的定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距．
2、椭圆定义的集合语言表示：
3、对椭圆定义的理解：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在．
知识点 2 椭圆的标准方程
1、椭圆标准方程的推导：
（1）怎样建立适当的直角坐标系？
以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1．
（2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？
设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）.
焦点的坐标分别是，
图1
又设M与的距离的和等于常数．
由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|}
因为，
所以
（3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？
即
两边平方得
整理得
再平方并整理得
两边同除以得
考虑,应有，故设，就有．
2、椭圆的标准方程对比
知识点 3 点与椭圆的位置关系
1、定义法：根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论：
点P在椭圆内部；
点P在椭圆上；
点P在椭圆外部．
2、代数法：对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：
点在椭圆外；
点在椭圆内；
点在椭圆上；
知识点 4 椭圆的焦点三角形
1、焦三角的定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”．
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题．
（设 QUOTE 为 QUOTE ）
2、焦三角的两条性质
性质1： QUOTE ， QUOTE （两个定义）
拓展： QUOTE 的周长为 QUOTE
QUOTE 的周长为 QUOTE
性质2： QUOTE （余弦定理）．
1、椭圆标准方程的求解
（1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
= 1 \* GB3 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上；
= 2 \* GB3 ②定量：依据条件及确定的值；
= 3 \* GB3 ③写出标准方程．
（2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为；
（3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数．
2、由椭圆标准方程判断焦点位置的依据
判断椭圆焦点在哪个轴上的依据是判断椭圆标准方程中项和项的分母哪个更大一些，即“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．
3、解决椭圆问题的最常见思路
（1）与焦半径（椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径）乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件；
（2）与，（为椭圆上一点，，为椭圆的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解．
4、焦点三角形的求解思路
（1）关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法；
（2）在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等．
题型一 椭圆的定义及辨析
【例1】（24-25高二上·陕西西安·月考）“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．既不充分也不必要条件C．充要条件D．必要不充分条件
【答案】D
【解析】“点的轨迹是以，为焦点的椭圆” “为常数”；
反之不成立，若常数两个定点的距离，其轨迹不是椭圆．
因此“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”
是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件．故选：D．
【变式1-1】（23-24高二上·广东广州·期中）方程的化简结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】方程的几何意义为动点到定点和的距离和为10，并且，
所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为的椭圆，所以， ，
根据 ，所以椭圆方程为.故选：C.
【变式1-2】（23-24高二上·吉林·月考）椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】椭圆的长半轴长，
依题意，，而，
所以.故选：D
【变式1-3】（24-25高三上·湖南长沙·月考）点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则 .
【答案】4
【解析】如图，根据椭圆的对称性，不妨设为左焦点，为右焦点，
由椭圆，得，，
是的中点，是的中点，
为的中位线，，
由椭圆的定义得．
故答案为：4．
题型二 求椭圆的标准方程
【例2】（23-24高二上·山东枣庄·月考）已知椭圆的焦点为，，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为6，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意椭圆的焦点在轴上，且，
∴，
∴椭圆的标准方程是.故选：D.
【变式2-1】（23-24高二上·河南南阳·月考）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由对称性，
又，则，
所以，，
又，则，
椭圆标准方程为．故选：B．
【变式2-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右顶点为A，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，
当时，，解得，故，所以，
因为，所以，即，解得，
故，
所以，解得，
所以，
椭圆C的标准方程为.故选：A
【变式2-3】（24-25高二上·江苏盐城·月考）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点，且与椭圆有相同的焦点．
(2)经过两点，．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在轴上，且．
设所求椭圆的标准方程为．
因为所求椭圆过点，所以有①
又，②
由①②解得．
故所求椭圆的标准方程为．
（2）设椭圆方程为，且，在椭圆上，
所以，则椭圆方程.
题型三 椭圆方程的参数问题
【例3】（24-25高二上·福建三明·月考）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，解得.故选：B.
【变式3-1】（23-24高二上·江苏扬州·期中）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【解析】由题知表示焦点在y轴上的椭圆，
则有：，解得或，故D正确.故选：D.
【变式3-2】（23-24高二上·河北保定·月考）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若方程表示椭圆，
则,解得且,
所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件.故选：C.
【变式3-3】（23-24高二上·江苏淮安·开学考试）（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（ ）
A．曲线C可能是圆
B．若，则C为椭圆
C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则
D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则
【答案】AD
【解析】当即时，方程为，
表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A正确，选项B错误；
若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故选项C错误；
若C为椭圆，且焦点在y轴上，则，解得，故选项D正确.故选：AD.
题型四 点与椭圆的位置关系
【例4】（23-24高二上·四川资阳·期中）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由椭圆方程为，
因为，所以点在椭圆内部，A错误；
因为，所以点在椭圆内部，B错误；
因为，所以点在椭圆外部，C正确；
因为，所以点在椭圆内部，D错误.故选：C.
【变式4-1】（23-24高二上·河南南阳·月考）点与椭圆的位置关系为（ ）
A．点在椭圆上B．点在椭圆内
C．点在椭圆外D．不确定
【答案】B
【解析】由于，所以在内，故选：B
【变式4-2】（23-24高二上·四川成都·期中）已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是 .
【答案】点在椭圆外
【解析】因为点(3，2)在椭圆上，所以=1，
又，所以，故点(-3，3)在椭圆外.
故答案为：点在椭圆外.
【变式4-3】（22-23高二上·吉林长春·月考）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵点在椭圆的内部，
∴，整理得，解得．
故答案为：
题型五 椭圆的交点三角形问题
【例5】（24-25高二上·黑龙江绥化·月考）已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点且，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】椭圆得，，，
设，，则，
，，
，
，
，即．故选：A．
【变式5-1】（24-25高二上·江苏无锡·月考）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ）
A．，B．为直角三角形
C．的面积为6D．的面积为12
【答案】ABC
【解析】由，得，则
，
因为P是椭圆上一点，所以，
因为，所以，，所以A正确，
对于B，因为，所以，
所以为直角三角形，所以B正确，
对于CD，因为为直角三角形，，
所以，所以C正确，D错误.故选：ABC.
【变式5-2】（23-24高二下·重庆·月考）设椭圆的左右焦点为，，过点的直线与该椭圆交于，两点，若线段的中垂线过点，则 ．
【答案】
【解析】设线段的中垂线与相交于点，
由椭圆方程可知，，，；
由已知有：，
点在椭圆上，根据椭圆定义有，
所以，，
在中，，，，
点在椭圆上，根据椭圆定义有，
设，则，，
在中由余弦定理有,
解得，即.
故答案为：
【变式5-3】（24-25高二上·浙江台州·月考），分别是椭圆的左、右焦点，分别为其短袖的两个端点，且四边形的周长为，设过的直线与椭圆相交于，两点，且，则的最大值为 .
【答案】
【解析】∵四边形为菱形，周长为，∴，故，
由椭圆的定义可知，
∵，∴，
∴，
当且仅当时等号成立，
故答案为:
【变式5-4】（23-24高二上·山东枣庄·月考）已知椭圆：（）的离心率为，左右焦点分别为，，是上一动点，若点到焦点的最大距离为3，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为椭圆的离心率为，所以，得到，
又，，设，则，
又，得到，
所以，
易知，，又点到焦点的最大距离为3，所以，得到，
令，由椭圆定义知，
在中，由余弦定理得，
又，得到，当且仅当时取等号，
所以，故，
又易知，当在椭圆左、右顶点时取等号，所以，
故选：B.
题型六 线段和与差的最值问题
【例6】（23-24高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】，所以F21,0，所以轴，
因为，所以在椭圆内部，且，
所以，
即求的最大值，
由于，当三点共线时最大，
此时，，所以.故选：B.
【变式6-1】（23-24高二上·江苏无锡·期中）设F是椭圆上的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【解析】，
设为该椭圆的左焦点，，
所以，
于是，
显然当三点共线，且与垂直时，
有最小值，最小值为，故选：D
【变式6-2】（23-24高二上·黑龙江大庆·开学考试）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（ ）
A．12，B．，
C．12，8D．9，
【答案】C
【解析】令椭圆的左焦点为，有，由椭圆定义知，

显然点在椭圆内，，直线交椭圆于，
而，即，
当且仅当点共线时取等号，
当点与重合时，，则，
当点与重合时，，则，
所以的最大值和最小值为12，8.故选：C
【变式6-3】（23-24高二上·江苏·月考）已知点为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ）
A．6B．7C．D．
【答案】D
【解析】点为椭圆：的右焦点，设椭圆的左焦点为，
又为上一点，为圆：上一点，圆的圆心，半径为，
则，
当且仅当四点共线时取等号，
则的最大值为.故选：D.
【变式6-4】（23-24高二下·陕西榆林·月考）已知P是椭圆上的一点，分别为圆：和圆：上的点，则的最大值为 ．
【答案】15
【解析】圆：的圆心，半径为；
圆：的圆心，半径为.
椭圆，,
所以，则，
故恰为椭圆的两个焦点，
因为P是椭圆上的一点，所以，
由分别为两圆上任意一点，
所以，即的最大值为15．
如图,当三点共线（在圆心异侧）且三点共线
（在圆心异侧）时，取到最大值.
故答案为：.
题型七 与椭圆有关的轨迹问题
【例7】（24-25高二上·江西抚州·月考）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．直线C．线段D．不存在
【答案】D
【解析】由题设知，
则动点P的轨迹不存在．故选：D
【变式7-1】（24-25高二上·江西·月考）已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】圆：和：的圆心、半径分别为，
由可知圆内含于圆内，
设动圆半径为,
由题意，，,
两式相加可得,
故P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，
所以，
所以椭圆方程为.故选：C
【变式7-2】（24-25高二上·河南南阳·月考）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设是点到直线的距离，
根据题意，动点的轨迹就是集合.
由此得，将上式两边平方并化简，得，即.
所以动点的轨迹方程为.故选：B.
【变式7-3】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设动点的坐标为，又，，
所以的斜率，的斜率，
由题意可得，
化简，得点的轨迹方程为.
故答案为：
【变式7-4】（24-25高二上·天津红桥·月考）如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为
【答案】
【解析】连接，由线段的垂直平分线与相交点M，可得，
则有，
所以点M 的轨迹是以为焦点，以5为长轴长的椭圆，
则，即，
所以点M 的轨迹方程为：，即，
故答案为：.