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人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优秀精练
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优秀精练，文件包含312椭圆的简单几何性质9大题型原卷版docx、312椭圆的简单几何性质9大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
知识点1 椭圆的简单几何性质
知识点2 直线与椭圆的位置关系
1、位置关系的判断
直线与椭圆的位置关系：
联立消去y得一个关于x的一元二次方程．
①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
2、直线与椭圆相交的弦长公式
（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
（2）求弦长的方法
= 1 \* GB3 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
= 2 \* GB3 ②根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则弦长公式为：．
知识点3 椭圆的中点弦问题
1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有．
证明：设、，则有，
上式减下式得，∴，
∴，∴．
特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有．
3、共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为，设其一交点为，则另一交点为，则．
1、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
（1）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点的位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．
列方程(组)时常用的关系式有，等．
（2）在椭圆的简单几何性质中,轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件确定的椭圆的标准方程可能有两个．
2、求椭圆的离心率通常有如下两种方法
（1）若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，，求出的值，利用公式直接求解．
（2）若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形建立满足的关系式，化为的齐次方程，得出的关系或化为的方程求解，此时要注意．
3、求椭圆离心率的取值范围的方法
（1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解．
（2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解．
4、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；
（3）写出根与系数的关系；
（4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式；
（5）代入求解．
题型一 由椭圆方程研究几何性质
【例1】（23-24高二上·北京·月考）已知椭圆方程为，则椭圆的短轴长为（ ）
A．2B．4C．5D．10
【答案】B
【解析】椭圆的短半轴长，所以该椭圆的短轴长.故选：B
【变式1-1】（24-25高二上·河北石家庄·月考）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知，，
又，即，
所以，解得，
故的短轴长为，故选：D.
【变式1-2】（24-25高二上·陕西西安·月考）曲线与曲线一定成立的是（ ）
A．长轴长相等B．焦距相等C．离心率相等D．短轴长相等
【答案】B
【解析】曲线表示焦点在x轴上的椭圆，
其中，
所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率，
因为，所以，
曲线表示焦点在x轴上的椭圆，
其中，，，
所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率
故长轴长不相等，焦距相等，离心率不相等，短轴长不相等，故ABD错，B对；故选：B
【变式1-3】（23-24高二上·四川雅安·月考）（多选）已知，分别是椭圆的上、下焦点，点在椭圆上，则（ ）
A．的长轴长为B．的短轴长为
C．的坐标为D．的最小值为
【答案】ABD
【解析】由椭圆，可得，，则，
所以，椭圆的长轴长为，的短轴长为，上焦点的坐标为，
根据椭圆的几何性质，得到的最小值为．
故选：ABD.
题型二 由几何性质求椭圆的标准方程
【例2】（24-25高二上·山东滨州·月考）椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【解析】因为,
又因为，所以,
,解得,
椭圆焦点在x轴时，椭圆的标准方程为：;
椭圆焦点在y轴时，椭圆的标准方程为：.故选：C.
【变式2-1】（24-25高二上·重庆·月考）焦点在轴的椭圆，长轴长为，离心率为，则椭圆的标准方程为 .
【答案】
【解析】设椭圆的标准方程为.
由题意得，，∴，
∵，∴，∴，
∴椭圆的标准方程为.
故答案为：
【变式2-2】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【解析】当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为，
由离心率为，可得.
∵椭圆过点2,0∴，，∴椭圆的标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，，，得，
可得椭圆的标准方程为，整理为.故选：D
【变式2-3】（24-25高二上·河南驻马店·月考）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上；
(2)过点，离心率；
【答案】(1)(2)或；（2）利用离心率并再分焦点在x轴，y轴两种情形求解.
【解析】（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上，
长轴长为4，短轴长为2，即，，
则有，，
故要求椭圆的标准方程为；
（2）若椭圆的焦点在x轴上，设方程为.
则，所以，，，
即椭圆方程为.
若椭圆的焦点在y轴上，设方程为，
则，又，解得，
故椭圆方程为.
题型三 求椭圆离心率的值
【例3】（24-25高二上·湖南衡阳·月考）若椭圆满足，则该椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】椭圆满足，
则该椭圆的离心率.故选：B.
【变式3-1】（24-25高二上·江苏徐州·月考）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示不妨设椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的上顶点.
依题意可知，是正三角形.
因为在中，，
所以，即椭圆的离心率.故选：A
【变式3-2】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知点F，A，B分别是椭圆的左焦点、右顶点和上顶点，AB的中点为M，若，则椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，取的中点，连接,则易得，，
在中，，则,
又，
在中，由余弦定理，，
即，整理得，，
解得或（舍去），则.故选:B.
【变式3-3】（22-23高三上·广西柳州·月考）椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，设Px1,y1，则，则，，
故，
又，则，
所以，即，
所以椭圆C的离心率为．故选：C
【变式3-4】（24-25高二上·云南大理·月考）已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知：，
设，
因为，则，可得，
由椭圆定义可知：，即，
整理可得；
又因为，则∥，且，
则，可得，
由椭圆定义可知：BF1+BF2=2a，即，
整理可得，即，可得，
所以椭圆C的离心率.故选：B.
题型四 求椭圆离心率的取值范围
【例4】（24-25高二上·重庆·月考）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】将直线整理可得，
易知该直线恒过定点，
若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部；
易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得，
整理可得，即，解得.故选：A
【变式4-1】（22-23高二上·浙江温州·期中）椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设椭圆的上顶点为,则令,
则,
且，
,
,故选：B.
【变式4-2】（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点是椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点（点在第一象限）．以原点为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点．若，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】要使，只要，只要，
因为直线的斜率为，即只要，
设直线方程为：，
联立，整理可得：
因为为方程的一个根，
故，
所以点，
可得，
由于，故，
令，可得，
可得，可得离心率，
所以离心率的取值范围是．故选：B．
【变式4-3】（23-24高二上·河南洛阳·月考）已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆内一点，对称中心在坐标原点，焦点在轴上的等轴双曲线E经过点，点在上，若椭圆上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为等轴双曲线经过点，
所以将代入可得双曲线的方程为，
由点在上，得，
所以椭圆的左焦点的坐标是，
因为，所以，即，
又，当且仅当共线时等号成立，
所以，解得①，
又因为点在椭圆内，所以，即，
解得（舍去）或②，
由①②得，，
所以，故选：B
【变式4-4】（23-24高二上·山东济宁·月考）设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设F1-c,0，，由椭圆的定义可得，，
可设，可得，即有，①
由，可得，即为，②
由，可得，令，可得，
即有，由，
可得，即，
则时，取得最小值；或4时，取得最大值.
即有，得.故选：C
题型五 直线与椭圆的位置关系
【例5】（23-24高二上·江西赣州·期中）直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】C
【解析】联立，
则
所以方程有两个不相等的实数根，
所以直线与椭圆相交故选：C.
【变式5-1】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（ ）
A．相切B．相交C．相离D．相交或相切
【答案】D
【解析】直线：，
令，解得：，，
所以直线恒过定点，
，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切.故选：D
【变式5-2】（23-24高二上·福建泉州·月考）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．0个B．至多有一个C．1个D．2个
【答案】D
【解析】因为直线和圆没有交点，
可得，即，
所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，
又因为椭圆，可得，
所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点，
所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：D.
【变式5-3】（22-23高二下·四川内江·月考）直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由于直线恒过点，
要使直线与椭圆恒有公共点，
则只要在椭圆的内部或在椭圆上即可，
即 ，解可得且，
故实数m的取值范围为.故选：C．
【变式5-4】（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（ ）
A．B．2C．3D．3.9
【答案】A
【解析】联立椭圆方程与直线方程得，
化简并整理得，
依题意，，整理得，
因为，所以，解得，
对比选项可知的值不可能是.故选：A.
【变式5-5】（24-25高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，即，
所以为椭圆的右半部分．
当时，直线与有两个公共点；
当时，直线，令，
将代入，得，
则，得，则．
由图可知，所以．
综上，的取值范围是．故选：D.
题型六 直线与椭圆的相交弦长
【例6】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，可得直线的方程为：，代入中，整理解得：，
当，；当时，，
故有,
则.故选：D.
【变式6-1】（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设Ax1,y1，Bx2,y2，由，
消去整理得，解得或，则，，
则，，
所以
，
所以当，即时AB取最大值.故选：C
【变式6-2】（23-24高二上·湖北孝感·月考）已知椭圆C：，直线被椭圆C截得的弦长为．求椭圆C的方程．
【答案】
【解析】由得，
故，解得，
故椭圆C的方程为．
【变式6-3】（23-24高二上·上海宝山·月考）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点，若弦的长为，则直线的斜率为 .
【答案】
【解析】椭圆，即，则，，，左焦点为，
设直线为，，
由，得，
整理得，
因为，
所以，
所以，
，解得，
所以直线为斜率为，
故答案为：.
【变式6-4】（223-24高二上·福建龙岩·月考）已知椭圆．
(1)求实数的取值范围；
(2)若直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点，求弦的长．
【答案】(1)(2)
（2）由题意求出椭圆方程，直曲联立，利用弦长公式即可求.
【解析】（1）因为表示椭圆，
所以，解得且，
故实数的取值范围是.
（2）因为直线过椭圆的右焦点，
所以，所以，
设椭圆右焦点为，将点代入得，
所以，所以，
所以椭圆方程为，
由得，，
设，，
则，，
所以.
故弦的长为.
题型七 椭圆的中点弦问题
【例7】（24-25高二上·山东滨州·月考）已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当直线的斜率不存在时，由对称性可知被椭圆截得线段的中点在轴上，不合题意；
故可设直线的方程为，代入椭圆方程化简得，
，
有，，解得，
所以直线的方程为，即.故选：B.
【变式7-1】（24-25高二上·重庆·月考）已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设两点坐标分别为，因为且AB的中点为，
所以，因为在椭圆上，
所以①，
两式相减，得，
根据，上式可化简为，
整理得，又，所以，即，
所以.故选：B.
【变式7-2】（23-24高二上·江苏南通·月考）已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，在椭圆上，
且，当时，由，
得，
设线段PQ的中点为，所以，
所以线段PQ的垂直平分线的方程为，
即，该直线恒过定点
当时，线段PQ的垂直平分线也过定点，
故线段PQ的垂直平分线恒过定点故选：A．
【变式7-3】（23-24高二上·山东青岛·月考）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ．
【答案】3
【解析】设坐标为，则，
作差可得，则，
根据题意可得，，则，解得.
当时，联立，可得，
其，满足题意；故.
故答案为：.
【变式7-4】（24-25高二上·陕西西安·月考）已知椭圆的左焦点为是椭圆上任意一点，的最大值为3，最小值为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知是椭圆内一点，过点任做一条直线与椭圆交于两点，求以为中点的弦所在的直线方程．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由的最大值为3，最小值为得，则，
可得，
所以椭圆方程为
（2）根据题意得中点弦的斜率存在，且在椭圆内，
设,，,，
所以，，
两式作差，得，
由于是的中点，故，
所以，
所以，所以，
所以中点弦的方程为，
所求的直线方程．
题型八 与切线有关的距离最值问题
【例8】（23-24高二上·重庆江北·月考）若椭圆上的点到直线的最短距离是，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设与直线平行的直线为，
把直线代入椭圆，得，
由，解得，
因为椭圆上的点到直线的最短距离为，
则这两条平行线之间的距离为，
当时，有，，则，
当时，有，，则，
所以的最小值为.故选：C
【变式8-1】（24-25高二上·河南南阳·月考）已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解法一：设与直线平行的直线为，
联立整理得，
令，解得或，所以与距离，
当时，最小，即点到直线的最小距离是.
解法二：设椭圆上点，则点到直线距离
，
其中，当时，，故选:C.
【变式8-2】（23-24高二上·安徽淮北·月考）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】要使点到直线的距离最大，只需找到与平行、椭圆相切的最远的一条直线，
令与平行、椭圆相切的直线为，联立椭圆，消去x，
则，，可得，
对于直线，与直线距离为；
对于直线，与直线距离为；
所以点到直线的距离的最大值为.故选：A
【变式8-3】（23-24高二上·山东济南·月考）已知椭圆，点是椭圆上任意一点，则到直线的距离最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，,则，
则，
所以直线与椭圆相切，且在椭圆上方，
设直线方程为，联立，
则，
故，即，解得或（舍去），
则 ，
故，故选：A
【变式8-4】（24-25高二上·山东菏泽·月考）已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设平行且距离为的直线方程为，
所以，解得或（结合图象舍去）
设直线与平行且它们之间的距离为，
则的方程为，
由整理，得，
因为上的点到直线的最短距离不小于，
所以与椭圆相切或没有交点，
所以，整理得，
由椭圆的离心率为，可知，所以，
所以，则，所以.故选：C.
题型九 椭圆的综合应用
【例9】（23-24高二上·山东潍坊·月考）设椭圆：，其离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知斜率为的直线与相交于两点，线段的中点为，延长交于点，使得四边形为矩形，求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为且，所以①，
又因为点在椭圆上，所以②，
解①②得，
所以椭圆的方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在，
设直线，
由，得，
当，①
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以②
又因为，
所以
，
所以③
联立①②③解得，
所以直线的斜率为.
【变式9-1】（23-24高二上·湖南岳阳·月考）已知椭圆的上顶点、右焦点分别为为坐标原点，且是面积为2的等腰直角三角形.
(1)求C的方程；
(2)设A，B是C上的两个动点，且以为直径的圆经过点O，证明：为定值.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】（1）设，
由题意可得：，解得，
因此椭圆C的方程为.
（2）当直线l的斜率存在时，设直线，Ax1,y1，Bx2,y2，
由消去y得，
由题意可知，则,
因为，所以，
即，
，
即
整理得.
而,
设h为原点到直线l的距离，则，
所以,
而，所以；
当直线l的斜率不存在时，设Ax1,y1，则有，
不妨设，则，
代入椭圆方程得，所以，
所以.
综上所述，即为定值.
【变式9-2】（24-25高二上·湖南·月考）在直角坐标系中，点，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
(2)过左焦点且与坐标轴不垂直的直线，与曲线相交于，两点，的中点为，直线与曲线相交于，两点．求四边形面积的取值范围．
【答案】(1)曲线是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，；
(2)．
【解析】（1）直线的斜率为，
直线的斜率为，
由题意可知：，
所以曲线是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，
其方程为；
（2）如图：
法一：直线的斜率存在且不为0，设，
联立，整理得恒成立，
且，则，
则，即，
直线的方程为，与，联立得，
设点到直线的距离分别为，
则，
四边形面积
，
又，所以，故四边形面积的取值范围为.
法二：易知直线的斜率存在且不为0，设，
代入点得，相减得，
整理得①；
联立，得，所以．
；
设，由①得，直线方程为，
联立，解之得，即．
设点到直线的距离分别为，
则，，
.
所以四边形的面积，
又，所以，
所以，故四边形面积的取值范围为．
【变式9-3】（24-25高二上·江苏南京·月考）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右顶点，､分别为椭圆的左､右焦点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线，的斜率分别为.
（i）求的值；
（ii）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由.
【答案】(1)(2)（i）；（ii）直线恒过点.
【解析】（1）由于椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为，故，
又，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）设与轴交点为，由于直线交椭圆C于两点（在轴的两侧）
故直线的的斜率不为0，直线的方程为，
联立，则，
则
设，则，
又
故，
（ii）由（i）得.
因为，则.
又直线交与轴不垂直可得，所以，即
所以，
于是
整理得，解得或，
因为在轴的两侧，所以，
又时，直线与椭圆有两个不同交点，
因此，直线恒过点.焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
范围
，
，
对称性
关于轴、原点对称
轴长
长轴长：；短轴长：
长轴长：；短轴长：
顶点
离心率
离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁
通径
通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长
通径的大小：
知识点1 椭圆的简单几何性质
知识点2 直线与椭圆的位置关系
1、位置关系的判断
直线与椭圆的位置关系：
联立消去y得一个关于x的一元二次方程．
①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
2、直线与椭圆相交的弦长公式
（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
（2）求弦长的方法
= 1 \* GB3 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
= 2 \* GB3 ②根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则弦长公式为：．
知识点3 椭圆的中点弦问题
1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有．
证明：设、，则有，
上式减下式得，∴，
∴，∴．
特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有．
3、共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为，设其一交点为，则另一交点为，则．
1、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
（1）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点的位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．
列方程(组)时常用的关系式有，等．
（2）在椭圆的简单几何性质中,轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件确定的椭圆的标准方程可能有两个．
2、求椭圆的离心率通常有如下两种方法
（1）若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，，求出的值，利用公式直接求解．
（2）若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形建立满足的关系式，化为的齐次方程，得出的关系或化为的方程求解，此时要注意．
3、求椭圆离心率的取值范围的方法
（1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解．
（2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解．
4、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；
（3）写出根与系数的关系；
（4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式；
（5）代入求解．
题型一 由椭圆方程研究几何性质
【例1】（23-24高二上·北京·月考）已知椭圆方程为，则椭圆的短轴长为（ ）
A．2B．4C．5D．10
【答案】B
【解析】椭圆的短半轴长，所以该椭圆的短轴长.故选：B
【变式1-1】（24-25高二上·河北石家庄·月考）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知，，
又，即，
所以，解得，
故的短轴长为，故选：D.
【变式1-2】（24-25高二上·陕西西安·月考）曲线与曲线一定成立的是（ ）
A．长轴长相等B．焦距相等C．离心率相等D．短轴长相等
【答案】B
【解析】曲线表示焦点在x轴上的椭圆，
其中，
所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率，
因为，所以，
曲线表示焦点在x轴上的椭圆，
其中，，，
所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率
故长轴长不相等，焦距相等，离心率不相等，短轴长不相等，故ABD错，B对；故选：B
【变式1-3】（23-24高二上·四川雅安·月考）（多选）已知，分别是椭圆的上、下焦点，点在椭圆上，则（ ）
A．的长轴长为B．的短轴长为
C．的坐标为D．的最小值为
【答案】ABD
【解析】由椭圆，可得，，则，
所以，椭圆的长轴长为，的短轴长为，上焦点的坐标为，
根据椭圆的几何性质，得到的最小值为．
故选：ABD.
题型二 由几何性质求椭圆的标准方程
【例2】（24-25高二上·山东滨州·月考）椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【解析】因为,
又因为，所以,
,解得,
椭圆焦点在x轴时，椭圆的标准方程为：;
椭圆焦点在y轴时，椭圆的标准方程为：.故选：C.
【变式2-1】（24-25高二上·重庆·月考）焦点在轴的椭圆，长轴长为，离心率为，则椭圆的标准方程为 .
【答案】
【解析】设椭圆的标准方程为.
由题意得，，∴，
∵，∴，∴，
∴椭圆的标准方程为.
故答案为：
【变式2-2】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【解析】当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为，
由离心率为，可得.
∵椭圆过点2,0∴，，∴椭圆的标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，，，得，
可得椭圆的标准方程为，整理为.故选：D
【变式2-3】（24-25高二上·河南驻马店·月考）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上；
(2)过点，离心率；
【答案】(1)(2)或；（2）利用离心率并再分焦点在x轴，y轴两种情形求解.
【解析】（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上，
长轴长为4，短轴长为2，即，，
则有，，
故要求椭圆的标准方程为；
（2）若椭圆的焦点在x轴上，设方程为.
则，所以，，，
即椭圆方程为.
若椭圆的焦点在y轴上，设方程为，
则，又，解得，
故椭圆方程为.
题型三 求椭圆离心率的值
【例3】（24-25高二上·湖南衡阳·月考）若椭圆满足，则该椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】椭圆满足，
则该椭圆的离心率.故选：B.
【变式3-1】（24-25高二上·江苏徐州·月考）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示不妨设椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的上顶点.
依题意可知，是正三角形.
因为在中，，
所以，即椭圆的离心率.故选：A
【变式3-2】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知点F，A，B分别是椭圆的左焦点、右顶点和上顶点，AB的中点为M，若，则椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，取的中点，连接,则易得，，
在中，，则,
又，
在中，由余弦定理，，
即，整理得，，
解得或（舍去），则.故选:B.
【变式3-3】（22-23高三上·广西柳州·月考）椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，设Px1,y1，则，则，，
故，
又，则，
所以，即，
所以椭圆C的离心率为．故选：C
【变式3-4】（24-25高二上·云南大理·月考）已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知：，
设，
因为，则，可得，
由椭圆定义可知：，即，
整理可得；
又因为，则∥，且，
则，可得，
由椭圆定义可知：BF1+BF2=2a，即，
整理可得，即，可得，
所以椭圆C的离心率.故选：B.
题型四 求椭圆离心率的取值范围
【例4】（24-25高二上·重庆·月考）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】将直线整理可得，
易知该直线恒过定点，
若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部；
易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得，
整理可得，即，解得.故选：A
【变式4-1】（22-23高二上·浙江温州·期中）椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设椭圆的上顶点为,则令,
则,
且，
,
,故选：B.
【变式4-2】（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点是椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点（点在第一象限）．以原点为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点．若，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】要使，只要，只要，
因为直线的斜率为，即只要，
设直线方程为：，
联立，整理可得：
因为为方程的一个根，
故，
所以点，
可得，
由于，故，
令，可得，
可得，可得离心率，
所以离心率的取值范围是．故选：B．
【变式4-3】（23-24高二上·河南洛阳·月考）已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆内一点，对称中心在坐标原点，焦点在轴上的等轴双曲线E经过点，点在上，若椭圆上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为等轴双曲线经过点，
所以将代入可得双曲线的方程为，
由点在上，得，
所以椭圆的左焦点的坐标是，
因为，所以，即，
又，当且仅当共线时等号成立，
所以，解得①，
又因为点在椭圆内，所以，即，
解得（舍去）或②，
由①②得，，
所以，故选：B
【变式4-4】（23-24高二上·山东济宁·月考）设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设F1-c,0，，由椭圆的定义可得，，
可设，可得，即有，①
由，可得，即为，②
由，可得，令，可得，
即有，由，
可得，即，
则时，取得最小值；或4时，取得最大值.
即有，得.故选：C
题型五 直线与椭圆的位置关系
【例5】（23-24高二上·江西赣州·期中）直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】C
【解析】联立，
则
所以方程有两个不相等的实数根，
所以直线与椭圆相交故选：C.
【变式5-1】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（ ）
A．相切B．相交C．相离D．相交或相切
【答案】D
【解析】直线：，
令，解得：，，
所以直线恒过定点，
，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切.故选：D
【变式5-2】（23-24高二上·福建泉州·月考）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．0个B．至多有一个C．1个D．2个
【答案】D
【解析】因为直线和圆没有交点，
可得，即，
所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，
又因为椭圆，可得，
所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点，
所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：D.
【变式5-3】（22-23高二下·四川内江·月考）直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由于直线恒过点，
要使直线与椭圆恒有公共点，
则只要在椭圆的内部或在椭圆上即可，
即 ，解可得且，
故实数m的取值范围为.故选：C．
【变式5-4】（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（ ）
A．B．2C．3D．3.9
【答案】A
【解析】联立椭圆方程与直线方程得，
化简并整理得，
依题意，，整理得，
因为，所以，解得，
对比选项可知的值不可能是.故选：A.
【变式5-5】（24-25高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，即，
所以为椭圆的右半部分．
当时，直线与有两个公共点；
当时，直线，令，
将代入，得，
则，得，则．
由图可知，所以．
综上，的取值范围是．故选：D.
题型六 直线与椭圆的相交弦长
【例6】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，可得直线的方程为：，代入中，整理解得：，
当，；当时，，
故有,
则.故选：D.
【变式6-1】（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设Ax1,y1，Bx2,y2，由，
消去整理得，解得或，则，，
则，，
所以
，
所以当，即时AB取最大值.故选：C
【变式6-2】（23-24高二上·湖北孝感·月考）已知椭圆C：，直线被椭圆C截得的弦长为．求椭圆C的方程．
【答案】
【解析】由得，
故，解得，
故椭圆C的方程为．
【变式6-3】（23-24高二上·上海宝山·月考）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点，若弦的长为，则直线的斜率为 .
【答案】
【解析】椭圆，即，则，，，左焦点为，
设直线为，，
由，得，
整理得，
因为，
所以，
所以，
，解得，
所以直线为斜率为，
故答案为：.
【变式6-4】（223-24高二上·福建龙岩·月考）已知椭圆．
(1)求实数的取值范围；
(2)若直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点，求弦的长．
【答案】(1)(2)
（2）由题意求出椭圆方程，直曲联立，利用弦长公式即可求.
【解析】（1）因为表示椭圆，
所以，解得且，
故实数的取值范围是.
（2）因为直线过椭圆的右焦点，
所以，所以，
设椭圆右焦点为，将点代入得，
所以，所以，
所以椭圆方程为，
由得，，
设，，
则，，
所以.
故弦的长为.
题型七 椭圆的中点弦问题
【例7】（24-25高二上·山东滨州·月考）已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当直线的斜率不存在时，由对称性可知被椭圆截得线段的中点在轴上，不合题意；
故可设直线的方程为，代入椭圆方程化简得，
，
有，，解得，
所以直线的方程为，即.故选：B.
【变式7-1】（24-25高二上·重庆·月考）已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设两点坐标分别为，因为且AB的中点为，
所以，因为在椭圆上，
所以①，
两式相减，得，
根据，上式可化简为，
整理得，又，所以，即，
所以.故选：B.
【变式7-2】（23-24高二上·江苏南通·月考）已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，在椭圆上，
且，当时，由，
得，
设线段PQ的中点为，所以，
所以线段PQ的垂直平分线的方程为，
即，该直线恒过定点
当时，线段PQ的垂直平分线也过定点，
故线段PQ的垂直平分线恒过定点故选：A．
【变式7-3】（23-24高二上·山东青岛·月考）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ．
【答案】3
【解析】设坐标为，则，
作差可得，则，
根据题意可得，，则，解得.
当时，联立，可得，
其，满足题意；故.
故答案为：.
【变式7-4】（24-25高二上·陕西西安·月考）已知椭圆的左焦点为是椭圆上任意一点，的最大值为3，最小值为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知是椭圆内一点，过点任做一条直线与椭圆交于两点，求以为中点的弦所在的直线方程．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由的最大值为3，最小值为得，则，
可得，
所以椭圆方程为
（2）根据题意得中点弦的斜率存在，且在椭圆内，
设,，,，
所以，，
两式作差，得，
由于是的中点，故，
所以，
所以，所以，
所以中点弦的方程为，
所求的直线方程．
题型八 与切线有关的距离最值问题
【例8】（23-24高二上·重庆江北·月考）若椭圆上的点到直线的最短距离是，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设与直线平行的直线为，
把直线代入椭圆，得，
由，解得，
因为椭圆上的点到直线的最短距离为，
则这两条平行线之间的距离为，
当时，有，，则，
当时，有，，则，
所以的最小值为.故选：C
【变式8-1】（24-25高二上·河南南阳·月考）已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解法一：设与直线平行的直线为，
联立整理得，
令，解得或，所以与距离，
当时，最小，即点到直线的最小距离是.
解法二：设椭圆上点，则点到直线距离
，
其中，当时，，故选:C.
【变式8-2】（23-24高二上·安徽淮北·月考）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】要使点到直线的距离最大，只需找到与平行、椭圆相切的最远的一条直线，
令与平行、椭圆相切的直线为，联立椭圆，消去x，
则，，可得，
对于直线，与直线距离为；
对于直线，与直线距离为；
所以点到直线的距离的最大值为.故选：A
【变式8-3】（23-24高二上·山东济南·月考）已知椭圆，点是椭圆上任意一点，则到直线的距离最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，,则，
则，
所以直线与椭圆相切，且在椭圆上方，
设直线方程为，联立，
则，
故，即，解得或（舍去），
则 ，
故，故选：A
【变式8-4】（24-25高二上·山东菏泽·月考）已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设平行且距离为的直线方程为，
所以，解得或（结合图象舍去）
设直线与平行且它们之间的距离为，
则的方程为，
由整理，得，
因为上的点到直线的最短距离不小于，
所以与椭圆相切或没有交点，
所以，整理得，
由椭圆的离心率为，可知，所以，
所以，则，所以.故选：C.
题型九 椭圆的综合应用
【例9】（23-24高二上·山东潍坊·月考）设椭圆：，其离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知斜率为的直线与相交于两点，线段的中点为，延长交于点，使得四边形为矩形，求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为且，所以①，
又因为点在椭圆上，所以②，
解①②得，
所以椭圆的方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在，
设直线，
由，得，
当，①
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以②
又因为，
所以
，
所以③
联立①②③解得，
所以直线的斜率为.
【变式9-1】（23-24高二上·湖南岳阳·月考）已知椭圆的上顶点、右焦点分别为为坐标原点，且是面积为2的等腰直角三角形.
(1)求C的方程；
(2)设A，B是C上的两个动点，且以为直径的圆经过点O，证明：为定值.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】（1）设，
由题意可得：，解得，
因此椭圆C的方程为.
（2）当直线l的斜率存在时，设直线，Ax1,y1，Bx2,y2，
由消去y得，
由题意可知，则,
因为，所以，
即，
，
即
整理得.
而,
设h为原点到直线l的距离，则，
所以,
而，所以；
当直线l的斜率不存在时，设Ax1,y1，则有，
不妨设，则，
代入椭圆方程得，所以，
所以.
综上所述，即为定值.
【变式9-2】（24-25高二上·湖南·月考）在直角坐标系中，点，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
(2)过左焦点且与坐标轴不垂直的直线，与曲线相交于，两点，的中点为，直线与曲线相交于，两点．求四边形面积的取值范围．
【答案】(1)曲线是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，；
(2)．
【解析】（1）直线的斜率为，
直线的斜率为，
由题意可知：，
所以曲线是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，
其方程为；
（2）如图：
法一：直线的斜率存在且不为0，设，
联立，整理得恒成立，
且，则，
则，即，
直线的方程为，与，联立得，
设点到直线的距离分别为，
则，
四边形面积
，
又，所以，故四边形面积的取值范围为.
法二：易知直线的斜率存在且不为0，设，
代入点得，相减得，
整理得①；
联立，得，所以．
；
设，由①得，直线方程为，
联立，解之得，即．
设点到直线的距离分别为，
则，，
.
所以四边形的面积，
又，所以，
所以，故四边形面积的取值范围为．
【变式9-3】（24-25高二上·江苏南京·月考）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右顶点，､分别为椭圆的左､右焦点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线，的斜率分别为.
（i）求的值；
（ii）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由.
【答案】(1)(2)（i）；（ii）直线恒过点.
【解析】（1）由于椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为，故，
又，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）设与轴交点为，由于直线交椭圆C于两点（在轴的两侧）
故直线的的斜率不为0，直线的方程为，
联立，则，
则
设，则，
又
故，
（ii）由（i）得.
因为，则.
又直线交与轴不垂直可得，所以，即
所以，
于是
整理得，解得或，
因为在轴的两侧，所以，
又时，直线与椭圆有两个不同交点，
因此，直线恒过点.焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
范围
，
，
对称性
关于轴、原点对称
轴长
长轴长：；短轴长：
长轴长：；短轴长：
顶点
离心率
离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁
通径
通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长
通径的大小：
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