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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线精品课后练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线精品课后练习题，文件包含321双曲线及其标准方程7大题型原卷版docx、321双曲线及其标准方程7大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
知识点 1 双曲线的定义
1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为．
2、双曲线的集合表示：．
3、要点辨析
（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：
（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
（2）若常数满足约束条件：，
则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
（3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
（4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
知识点2 双曲线的标准方程
1、双曲线的两种标准方程
2、椭圆与双曲线标准方程的比较
1、待定系数法求双曲线标准方程
2、由双曲线标准方程求参数范围
（1）对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线.
（2）对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线.
（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。
3、双曲线的焦点三角形
求双曲线中的焦点三角形面积的方法
（1） = 1 \* GB3 ①根据双曲线的定义求出；
= 2 \* GB3 ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；
= 3 \* GB3 ③通过配方，利用整体的思想求出的值；
= 4 \* GB3 ④利用公式求得面积．
（2）利用公式求得面积；
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题．
4、点与双曲线位置关系的判断
双曲线是一个开放的图形，平面内点和双曲线的位置关系如下：
（1）若，则点在双曲线上；
（2）若，则点在双曲线内；
（3）若，则点在双曲线两支之间．
题型一 双曲线的定义及辨析
【例1】（23-24高二上·广东东莞·期中）设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．轨迹不存在
【答案】B
【解析】依题意，、是两个定点，P是一个动点，
且满足，所以动点P的轨迹是双曲线的一支.故选：B
【变式1-1】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）平面内动点到两定点的距离之差为，若动点的轨迹是双曲线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由双曲线的定义可得，，且，解得.故选：D.
【变式1-2】（23-24高二上·广东中山·月考）已知双曲线，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为15，则P到另一个焦点的距离为 .
【答案】31
【解析】由双曲线方程可知，
设双曲线的左、右焦点分别为，，则，
根据对称性不妨设，
由双曲线定义可得，解得，
故答案为：31．
【变式1-3】（22-23高二上·浙江·期中）已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交双曲线于A、B两点，若，则的值为 ．
【答案】29
【解析】由题设，故在双曲线的下支上，如下图示，
根据双曲线定义：，
所以.
故答案为：
【变式1-4】（22-23高三下·辽宁沈阳·三模）已知曲线C：，点M与曲线C的焦点不重合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C右支上，则的值为 ．
【答案】12
【解析】设双曲线的实半轴长为，则，
设双曲线的左右焦点分别为，
设的中点为，连接.
∵是的中点，是的中点，
∴是的中位线，∴.
同理，
∴，
∵P在双曲线上，根据双曲线的定义知：，
∴.
故答案为：12.
题型二 求双曲线的标准方程
【例2】（23-24高二上·北京顺义·期中）已知某双曲线的一个焦点为，且，则双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【解析】由题意双曲线的一个焦点为在轴上，故，
又，所以，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：.
【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为双曲线的下、上焦点分别为，，
所以设双曲线的方程为，半焦距为；
又因为是双曲线上一点且，
所以，即，则；
所以双曲线的标准方程为.故选：C.
【变式2-2】（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，，解得，，
所以双曲线的方程是．故选：D．
【变式2-3】（23-24高二上·宁夏银川·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，焦点在轴上，且过点；
(2)经过两点，.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由于双曲线的焦点在轴上，
可设其标准方程为：，
因为双曲线过点，
所以，
又因为，所以，
解得：，，
故所求双曲线的标准方程为：.
（2）设双曲线方程为，
把点与点代入，
有，解得：，
故所求双曲线的标准方程为：.
题型三 双曲线方程的参数问题
【例3】（23-24高二上·陕西西安·月考）已知双曲线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，所以或.故选：D
【变式3-1】（23-24高二上·辽宁大连·月考）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】因方程表示焦点在轴上的双曲线，
则有，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【变式3-2】（23-24高二上·广东东莞·期中）若方程表示的曲线为焦点在轴上双曲线，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意可得，解得，
故答案为：
【变式3-3】（23-24高二上·山东青岛·期中）（多选）已知方程，则下列说法中正确的有（ ）
A．方程可表示圆
B．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆
C．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
【答案】BCD
【解析】对于A，当方程可表示圆时，，无解，故A错误;
对于B，当时，，，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；;
对于C，当时，，，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确;
对于D，当方程表示双曲线时，得；由C可知，
，焦距为10，
当方程表示椭圆时，，，则
，焦距为10，所以焦距均为10，故D正确.故选：BCD
题型四 双曲线的焦点三角形问题
【例4】（23-24高二上·浙江·期中）双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，A为双曲线C左支上一点，直线与双曲线C的右支交于点B，且，则（ ）
A．B．26C．25D．23
【答案】B
【解析】由题设知：，
令，则，，
中，，
则，
所以，
则，故，则，
所以.故选：B
【变式4-1】（23-24高二上·上海青浦·月考）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ．
【答案】/
【解析】由可得：，如图，设则①，
在中，由余弦定理，，即：②
由①②联立，解得：.
则三角形的面积为.
【变式4-2】（23-24高二上·福建福州·月考）双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，且，若双曲线的焦距为4，则其实轴长为 .
【答案】
【解析】设双曲线的右焦点为，因为，焦距为4，
所以，则，
所以，，
，故实轴长为.
故答案为：.
【变式4-3】（23-24高二上·河北邯郸·月考）如图从双曲线（其中）的左焦点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于，若为线段的中点，为原点，则的值为用、表示 ．
【答案】
【解析】由图可知点在第一象限，设为双曲线的右焦点，连接，
因为分别为的中点，所以，
由双曲线的定义可知，，
故.
故答案为：
题型五 双曲线中线段和差的最值问题
【例5】（22-23高二下·宁夏石嘴山·月考）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设C为双曲线右焦点，则，，
而，仅当共线且A在之间时等号成立，
所以，
当共线且A在之间时等号成立．故选：D．
【变式5-1】（23-24高三上·云南曲靖·月考）已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点为，
由可知，，则，
因为P是双曲线右支上的一动点，根据双曲线的定义可知：
，
所以，
因为，
当且仅当，，三点共线时，达到最小值，
因为，，所以，
即的最小值为．故选：C．
【变式5-2】（22-23高二上·河南南阳·月考）已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】如图所示，
由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8，
所以，，即，，
所以双曲线的方程为：，
所以，，，
由双曲线定义得，
所以，，
当三点共线时，最小为
故.
故答案为：.
【变式5-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，，
圆半径为，
，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，
，当且仅当三点共线时取等号，
所以，由双曲线的定义，，
所以，即的最小值为，
故答案为：．
题型六 与双曲线有关的轨迹问题
【例6】（24-25高二上·湖南株洲·月考）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设动圆的半径为r，
则，，
则，
根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支．故选：C．
【变式6-1】（23-24高二上·河南沁阳·月考）设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设动点，则，
则，，，
直线与直线的斜率之积为定值，
，化简可得，，
故点的轨迹方程为.故选：C.
【变式6-2】（23-24高二上·上海杨浦·期中）在中，，，，则顶点的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】∵，，∴，
∵，∴由正弦定理得，即，，
所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去顶点)．
该双曲线的半焦距为，实半轴长为，虚半轴长为，
所以轨迹方程为．
故答案为：．
【变式6-3】（22-23高二上·辽宁本溪·月考）已知椭圆的方程为，其左､右顶点分别为，一条垂直于轴的直线交椭圆于两点，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由题意知，
设直线为，，
由三点共线及B,F,M三点共线，得，
两式相乘化简，得，
又，所以，即，
又，即，
所以点的轨迹方程为.
故答案为：
题型七 双曲线与椭圆综合问题
【例7】（23-24高二上·天津·期中）与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为椭圆的焦点坐标为，即，所以，
记，所以，
所以，所以，
所以双曲线的标准方程为，故选：C.
【变式7-1】（23-24高二上·河北石家庄·月考）已知椭圆，双曲线，椭圆与双曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】不妨设P在第一象限，
由椭圆和双曲线的定义，得，解得，，
由余弦定理得，
，
即，即，故选：B
【变式7-2】（23-24高二上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线有公共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线在第一象限的交点为，且，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【解析】不妨设椭圆，双曲线，，
由题知，，则，得，
所以椭圆的离心率为，
故答案为：.
【变式7-3】（23-24高二上·重庆·期中）（多选）已知双曲线与椭圆的一个交点为，分别是的左、右顶点，分别是的左、右顶点，则（ ）
A．直线与直线的斜率之积为1B．若，则
C．若，则D．若的面积为，则
【答案】ACD
【解析】
对选项A，由题意得，，设，则，
则，故A项正确；
对选项B，
不妨设在第一象限，若，，即.
所以，.
所以，故B项错误；
对选项C， 若，则分别为双曲线的左、右焦点，
则，即，故C项正确；
对选项D，，解得，
代入双曲线方程求得，
再代入椭圆方程，求得，故D项正确．故选：ACD．焦点位置
焦点在轴
焦点在轴
图形
标准方程
焦点坐标
、
、
的关系
曲线
椭圆
双曲线
定义
（）
（）
标准方程
或
或
图形特征
封闭的连续曲线
分两支，不封闭，不连续
根据标准方程确定的方法
以大小分（如中，9>4，故）
以正负分（如中，，，故）
的关系
（最大）
（最大）
知识点 1 双曲线的定义
1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为．
2、双曲线的集合表示：．
3、要点辨析
（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：
（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
（2）若常数满足约束条件：，
则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
（3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
（4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
知识点2 双曲线的标准方程
1、双曲线的两种标准方程
2、椭圆与双曲线标准方程的比较
1、待定系数法求双曲线标准方程
2、由双曲线标准方程求参数范围
（1）对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线.
（2）对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线.
（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。
3、双曲线的焦点三角形
求双曲线中的焦点三角形面积的方法
（1） = 1 \* GB3 ①根据双曲线的定义求出；
= 2 \* GB3 ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；
= 3 \* GB3 ③通过配方，利用整体的思想求出的值；
= 4 \* GB3 ④利用公式求得面积．
（2）利用公式求得面积；
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题．
4、点与双曲线位置关系的判断
双曲线是一个开放的图形，平面内点和双曲线的位置关系如下：
（1）若，则点在双曲线上；
（2）若，则点在双曲线内；
（3）若，则点在双曲线两支之间．
题型一 双曲线的定义及辨析
【例1】（23-24高二上·广东东莞·期中）设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．轨迹不存在
【答案】B
【解析】依题意，、是两个定点，P是一个动点，
且满足，所以动点P的轨迹是双曲线的一支.故选：B
【变式1-1】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）平面内动点到两定点的距离之差为，若动点的轨迹是双曲线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由双曲线的定义可得，，且，解得.故选：D.
【变式1-2】（23-24高二上·广东中山·月考）已知双曲线，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为15，则P到另一个焦点的距离为 .
【答案】31
【解析】由双曲线方程可知，
设双曲线的左、右焦点分别为，，则，
根据对称性不妨设，
由双曲线定义可得，解得，
故答案为：31．
【变式1-3】（22-23高二上·浙江·期中）已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交双曲线于A、B两点，若，则的值为 ．
【答案】29
【解析】由题设，故在双曲线的下支上，如下图示，
根据双曲线定义：，
所以.
故答案为：
【变式1-4】（22-23高三下·辽宁沈阳·三模）已知曲线C：，点M与曲线C的焦点不重合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C右支上，则的值为 ．
【答案】12
【解析】设双曲线的实半轴长为，则，
设双曲线的左右焦点分别为，
设的中点为，连接.
∵是的中点，是的中点，
∴是的中位线，∴.
同理，
∴，
∵P在双曲线上，根据双曲线的定义知：，
∴.
故答案为：12.
题型二 求双曲线的标准方程
【例2】（23-24高二上·北京顺义·期中）已知某双曲线的一个焦点为，且，则双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【解析】由题意双曲线的一个焦点为在轴上，故，
又，所以，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：.
【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为双曲线的下、上焦点分别为，，
所以设双曲线的方程为，半焦距为；
又因为是双曲线上一点且，
所以，即，则；
所以双曲线的标准方程为.故选：C.
【变式2-2】（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，，解得，，
所以双曲线的方程是．故选：D．
【变式2-3】（23-24高二上·宁夏银川·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，焦点在轴上，且过点；
(2)经过两点，.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由于双曲线的焦点在轴上，
可设其标准方程为：，
因为双曲线过点，
所以，
又因为，所以，
解得：，，
故所求双曲线的标准方程为：.
（2）设双曲线方程为，
把点与点代入，
有，解得：，
故所求双曲线的标准方程为：.
题型三 双曲线方程的参数问题
【例3】（23-24高二上·陕西西安·月考）已知双曲线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，所以或.故选：D
【变式3-1】（23-24高二上·辽宁大连·月考）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】因方程表示焦点在轴上的双曲线，
则有，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【变式3-2】（23-24高二上·广东东莞·期中）若方程表示的曲线为焦点在轴上双曲线，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意可得，解得，
故答案为：
【变式3-3】（23-24高二上·山东青岛·期中）（多选）已知方程，则下列说法中正确的有（ ）
A．方程可表示圆
B．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆
C．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
【答案】BCD
【解析】对于A，当方程可表示圆时，，无解，故A错误;
对于B，当时，，，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；;
对于C，当时，，，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确;
对于D，当方程表示双曲线时，得；由C可知，
，焦距为10，
当方程表示椭圆时，，，则
，焦距为10，所以焦距均为10，故D正确.故选：BCD
题型四 双曲线的焦点三角形问题
【例4】（23-24高二上·浙江·期中）双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，A为双曲线C左支上一点，直线与双曲线C的右支交于点B，且，则（ ）
A．B．26C．25D．23
【答案】B
【解析】由题设知：，
令，则，，
中，，
则，
所以，
则，故，则，
所以.故选：B
【变式4-1】（23-24高二上·上海青浦·月考）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ．
【答案】/
【解析】由可得：，如图，设则①，
在中，由余弦定理，，即：②
由①②联立，解得：.
则三角形的面积为.
【变式4-2】（23-24高二上·福建福州·月考）双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，且，若双曲线的焦距为4，则其实轴长为 .
【答案】
【解析】设双曲线的右焦点为，因为，焦距为4，
所以，则，
所以，，
，故实轴长为.
故答案为：.
【变式4-3】（23-24高二上·河北邯郸·月考）如图从双曲线（其中）的左焦点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于，若为线段的中点，为原点，则的值为用、表示 ．
【答案】
【解析】由图可知点在第一象限，设为双曲线的右焦点，连接，
因为分别为的中点，所以，
由双曲线的定义可知，，
故.
故答案为：
题型五 双曲线中线段和差的最值问题
【例5】（22-23高二下·宁夏石嘴山·月考）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设C为双曲线右焦点，则，，
而，仅当共线且A在之间时等号成立，
所以，
当共线且A在之间时等号成立．故选：D．
【变式5-1】（23-24高三上·云南曲靖·月考）已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点为，
由可知，，则，
因为P是双曲线右支上的一动点，根据双曲线的定义可知：
，
所以，
因为，
当且仅当，，三点共线时，达到最小值，
因为，，所以，
即的最小值为．故选：C．
【变式5-2】（22-23高二上·河南南阳·月考）已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】如图所示，
由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8，
所以，，即，，
所以双曲线的方程为：，
所以，，，
由双曲线定义得，
所以，，
当三点共线时，最小为
故.
故答案为：.
【变式5-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，，
圆半径为，
，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，
，当且仅当三点共线时取等号，
所以，由双曲线的定义，，
所以，即的最小值为，
故答案为：．
题型六 与双曲线有关的轨迹问题
【例6】（24-25高二上·湖南株洲·月考）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设动圆的半径为r，
则，，
则，
根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支．故选：C．
【变式6-1】（23-24高二上·河南沁阳·月考）设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设动点，则，
则，，，
直线与直线的斜率之积为定值，
，化简可得，，
故点的轨迹方程为.故选：C.
【变式6-2】（23-24高二上·上海杨浦·期中）在中，，，，则顶点的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】∵，，∴，
∵，∴由正弦定理得，即，，
所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去顶点)．
该双曲线的半焦距为，实半轴长为，虚半轴长为，
所以轨迹方程为．
故答案为：．
【变式6-3】（22-23高二上·辽宁本溪·月考）已知椭圆的方程为，其左､右顶点分别为，一条垂直于轴的直线交椭圆于两点，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由题意知，
设直线为，，
由三点共线及B,F,M三点共线，得，
两式相乘化简，得，
又，所以，即，
又，即，
所以点的轨迹方程为.
故答案为：
题型七 双曲线与椭圆综合问题
【例7】（23-24高二上·天津·期中）与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为椭圆的焦点坐标为，即，所以，
记，所以，
所以，所以，
所以双曲线的标准方程为，故选：C.
【变式7-1】（23-24高二上·河北石家庄·月考）已知椭圆，双曲线，椭圆与双曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】不妨设P在第一象限，
由椭圆和双曲线的定义，得，解得，，
由余弦定理得，
，
即，即，故选：B
【变式7-2】（23-24高二上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线有公共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线在第一象限的交点为，且，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【解析】不妨设椭圆，双曲线，，
由题知，，则，得，
所以椭圆的离心率为，
故答案为：.
【变式7-3】（23-24高二上·重庆·期中）（多选）已知双曲线与椭圆的一个交点为，分别是的左、右顶点，分别是的左、右顶点，则（ ）
A．直线与直线的斜率之积为1B．若，则
C．若，则D．若的面积为，则
【答案】ACD
【解析】
对选项A，由题意得，，设，则，
则，故A项正确；
对选项B，
不妨设在第一象限，若，，即.
所以，.
所以，故B项错误；
对选项C， 若，则分别为双曲线的左、右焦点，
则，即，故C项正确；
对选项D，，解得，
代入双曲线方程求得，
再代入椭圆方程，求得，故D项正确．故选：ACD．焦点位置
焦点在轴
焦点在轴
图形
标准方程
焦点坐标
、
、
的关系
曲线
椭圆
双曲线
定义
（）
（）
标准方程
或
或
图形特征
封闭的连续曲线
分两支，不封闭，不连续
根据标准方程确定的方法
以大小分（如中，9>4，故）
以正负分（如中，，，故）
的关系
（最大）
（最大）
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