数学选择性必修 第一册3.2 双曲线精品同步训练题

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知识点1 双曲线的几何性质
1、双曲线的几何性质
2、对双曲线离心率的理解
在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大．
知识点2 等轴双曲线与共轭双曲线
1、等轴双曲线的性质
在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有：
（1）离心率：等轴双曲线的离心率为：；
（2）渐近线：等轴双曲线的渐近线为：；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°．
2、共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线时一对共轭双曲线．例如，双曲线与是一对共轭双曲线，其性质如下：
（1）已对共轭双曲线有相同的渐进线；
（2）已对共轭双曲线有相同的焦距；
（3）共轭双曲线的渐近线与直线及的四个交点，以及双曲线的四个交点，八点共圆，圆心为坐标原点，半径为（半焦距）；
（4）由于，，则，可知共轭双曲线的离心率虽然不同，但离心率的倒数的平方和等于常数1．
知识点3 直线与双曲线的位置关系
1、直线与双曲线的位置关系
将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程，
（1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；
（2）当，即，设该一元二次方程的判别式为，
若，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若，直线与双曲线相切，有一个公共点；
若，直线与双曲线相离，没有公共点；
【注意】直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．
2、弦长公式：若直线与双曲线（，）交于，两点，
则或（）．
3、中点弦问题
与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解
1、双曲线渐近线求法
（1）根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程．
（2）依据条件求出，再结合焦点的位置求出渐近线方程的斜率，从而确定渐近线方程．
（3）由于渐近线的斜率和离心率一样都是一个比值，所以可依据条件提供的信息建立关于的等式，进而求出渐近线的斜率，从而得解．
2、求双曲线方程的巧设方法
（1）焦点在轴上的双曲线的标准方程可设为；
（2）焦点在轴上的双曲线的标准方程可设为；
（3）与双曲线共焦点的双曲线方程可设为；
（4）与双曲线具有相同渐近线的方程可设为；
（5）渐近线方程为的双曲线方程可设为；
（6）渐近线方程为的双曲线方程可设为．
3、求双曲线离心率的常用方法
（1）利用求：若可求得，则直接利用得解；
（2）利用求：若已知，则直接利用得解；
（3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解．
题型一 由双曲线方程研究几何性质
【例1】（23-24高二上·江苏盐城·月考）双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为（ ）
A．9B．－9C．D．
【答案】C
【解析】由双曲线，可得，且，
因为双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，可得，即，解得.故选：C.
【变式1-1】（23-24高二上·福建漳州·月考）若双曲线经过点，且一渐近线方程是，则这条双曲线的虚轴长（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【解析】由题意知，设双曲线的方程为，
因为双曲线经过点，所以.
所以双曲线的方程为.
由双曲线的方程知，双曲线的焦点在轴上，即，于是，
故这条双曲线的虚轴长为.故选：C.
【变式1-2】（23-24高二上·江苏南通·月考）（多选）在平面直角坐标系中，已知双曲线：，则（ ）
A．的实轴长为2B．的离心率为2
C．的渐近线方程为D．的右焦点到渐近线的距离为
【答案】BD
【解析】由双曲线：可得：，所以，
故实轴长为，故A 错误，
离心率为，故B正确，
渐近线方程为，故C错误，
右焦点为，到渐近线的距离为，故D正确，故选：BD
【变式1-3】（23-24高二上·天津·月考）已知双曲线C：（，）与双曲线有相同的渐近线，且经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)求双曲线的实轴长，焦点坐标，离心率．
【答案】(1)；(2)实轴长，焦点为，.
【解析】（1）在双曲线中，，，
则渐近线方程为，
∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，，
∴方程可化为，
又双曲线经过点，代入方程，
，解得，，
∴双曲线的方程为.
（2）由（1）知双曲线中，
，，，
∴实轴长，离心率为，
双曲线的焦点坐标为.
题型二 由几何性质求双曲线的标准方程
【例2】（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意双曲线的焦点在轴上，则，，
又，则，故C的标准方程为.故选：C
【变式2-1】（23-24高二上·天津·月考）若双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为（ ）
A．y2－x2＝96B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80D．y2－x2＝24
【答案】D
【解析】设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为，
∴λ0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
性质
图形
性质
范围
x≤－a或 x≥a，y∈eq \a\vs4\al(R)
y≤－a或 y≥a，x∈eq \a\vs4\al(R)
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：eq \a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq \a\vs4\al(2b)；
半实轴长：eq \a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq \a\vs4\al(b)
离心率
e＝eq \a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x