福建省福州市2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题解析版

这是一份福建省福州市2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题解析版，共4页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．阅读以下材料：
①设为函数的导函数.若在区间D单调递增；则称为区上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.
②平面直角坐标系中的点称为函数的“切点”，当且仅当过点恰好能作曲线的条切线，其中.
(1)已知函数.
（i）当时，讨论的凹凸性；
（ii）当时，点在轴右侧且为的“3切点”，求点的集合；
(2)已知函数，点在轴左侧且为的“3切点”，写出点的集合（不需要写出求解过程）.
【答案】(1)（i）答案见解析；（ii）或
(2)点的集合为或或
【分析】（1）（i）利用导函数并对参数进行分类讨论，即可得出函数的单调性，可得其凹凸性；
（ii）根据“切点”的定义，由切点个数转化成方程根的个数即可得出点的集合；
（2）根据函数利用“切点”的定义，得出单调性即可得出结论.
【详解】（1）因为，
所以，
令，
所以.
（i）当时，，令，解得；
令，解得；
故为区间上的凹函数，为区间上的凸函数；
当时，令，解得，
令，解得或，
故为区间上的凹函数，为区间和上的凸函数；
当时，，故为区间上的凸函数；.
当时，令，
解得，
令，解得或，
故为区间上的凹函数，为区间和上的凸函数；
综上所述，当时，为区间上的凹函数，为区间
和上的凸函数；
当时，为区间上的凸函数；
当时，为区间上的凹函数，为区间和
上的凸函数；
当时，为区间上的凹函数，为区间上的凸函数；
（ii）当时，，
故在点处的切线方程为.
设为的“3切点”，
则关于的方程有三个不同的解，
即关于的方程有三个不同的解，
令，
所以直线与曲线恰有三个不同的交点.
.
当时，随变化情况如下：
故；
当时，单调递减，不符合题意；
当时，随变化情况如下：
故；
综上所述，点的集合为
或
（2）点的集合为或或
【点睛】关键点点睛：本题在求解“切点”问题时，关键是利用其定义将切线问题转化成求解方程根的个数，再利用导数求得函数单调性即可得出结论.
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极小值
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