河北省张家口市2024-2025学年高一上学期期中考试数学】试卷（解析版）

这是一份河北省张家口市2024-2025学年高一上学期期中考试数学】试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
2. 命题“”否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】命题“”的否定是“”.
故选：D.
3. 已知函数则（ ）
A. 0B. 3C. 8D. 15
【答案】B
【解析】由题知.
故选：B.
4. 已知，且，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】令，解得，
因为，所以，
故，所以，解得.
故选：A.
5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数的定义域为，即，
所以，即，
故的定义域为，
又因为，即，所以函数的定义域为.
故选：B.
6. 设，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. 若，则D.
【答案】C
【解析】对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，由已知可得，在不等式的两边同时除以可得，故B错误；
对于C，因为，
又，所以，即，故C正确；
对于D，因为，由不等式的基本性质可得，故D错误.
故选：C.
7. 如图所示为函数的图象，则（ ）
A. B. 2C. D. 0
【答案】C
【解析】由图可知，的定义域为，
且经过点，而，解得，所以，
所以，解得，所以.
故选：C.
8. 已知函数则“”是“在上单调递减”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若在上单调递减，
则解得，
所以“”是“在上单调递减”的必要不充分条件.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】A选项，定义域为，且，
故为偶函数，且时，，满足在上单调递减，A正确；
B选项，在上单调递增，故B错误；
C选项，定义域为，且，
故是奇函数，C错误；
D选项，函数定义域为R，且，
故为偶函数，且时，，其在上单调递减，D正确.
故选：AD.
10. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的最小值为
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】由题知，所以，解得，即，
故A正确；
，即，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为，故B错误；
，所以，当且仅当时等号成立，
故C正确；
，则时，有最小值，
故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数的定义域为，恒有，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】A选项，令，得，故A正确；
B选项，令，得，
令，得，故B错误；
C选项，令得，，即，
故C正确；
D选项，不妨设
，
由于，所以，所以，
所以为上的减函数，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，且，则__________.
【答案】-1
【解析】集合，
当时，解得或，
当时，，满足要求，
当时，不满足元素互异性，舍去，
当时，，不符合题意，所以.
13. 已知函数为定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】因为为定义在上的奇函数，所以，
因为，所以，
又因为在上单调递增，
故在上，，在上，，
由为奇函数可知，在上单调递增，
则在上，；在上，，
所以的解集为.
14. 已知，且不等式有解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题，
当且仅当，即时取等号，
因为不等式有解，所以，即，
解得或，即实数的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，定义：且.
（1）求和；
（2）求和.
解：（1）由题，
所以，
.
（2）因为且，即，
因为，，
所以，
又，
.
16. 已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）因为，
若，则，解得，满足题意；
若，则，解得，
综上，实数的取值范围为.
（2）若，
当时，，解得；
当时，或，解得，
所以或，
故当时，实数的取值范围为.
17. 近几年打印手办深受青少年喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析.生产手办全年需投入固定成本12万元，生产（千件）手办，需另投入成本（万元）.且由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完.
（1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（千件）的表达式；
（2）2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？
解：（1）当时，；
当时，，
所以
（2）若，即，
当时，万元；
若，
当且仅当时，即时，万元，
因为，
所以2024年年产量为10（千件）时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且.
（1）求函数的解析式；
（2）（i）判断函数在上的单调性，并用定义法证明；
（ii）求不等式的解集.
解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得，
因为，所以，即，解得，
所以当时，，
当时，，则，
综上所述，.
（2）（i）函数在上单调递增.
证明：任取，且，
则
，
因为，所以，
所以，即，故在上单调递增.
（ii）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，即，
又因为在上单调递增，所以，解得，
故原不等式的解集为.
19. 设二次函数，已知，且.
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
解：（1）由题，
所以，
由，所以，
在上恒成立，
即，
因为当时，，则有在上恒成立，
当时，令，即，
则，即，
又，故实数的取值范围为.
（2）由，即，
化简得，即，
当时，，解得；
当时，，解得或；
当时，，解得或；
当时，，解得或，
综上所述，当时，不等式解为；
当时，不等式解为；
当时，不等式解为；
当时，不等式解为.