山东省聊城市东阿县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

这是一份山东省聊城市东阿县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题，共14页。试卷主要包含了桔槔俗称“吊杆”“称杆”等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟满分：120分）
注意事项：
1．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应的位置：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．）
1．若为锐角，且，则等于（ ）．
A．B．C．D．
2．若∽，且，，，则的长度为（ ）．
A．B．C．D．
3．如图，是的外接圆，若，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
4．如图，在菱形中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ）．
A．1B．2C．D．
5．如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度，则大厅两层之间的距离为（ ）．
A．米B．米C．米D．米
6．如图，半径为3的经过原点O和点，点B是y轴左侧优弧上一点，则为（ ）．
A．B．C．D．
7．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）．
A．点DB．点EC．点FD．点G
8．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，．当点A位于最高点时，．此时，点A到地面的距离为（ ）．
图1图2
A．米 B．5米C．6米D．7米
9．如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，则下列结论错误的是（ ）．
A．B．C．D．
10．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，．若，则图中与位似的三角形的面积为（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题（本题6个小题，每小题3分，共18分，只要求写出最后结果）
11．在中，，，那么__________．
12．中，，点I是内心，那么__________．
13．如图，正方形内接于，点M，N在上，点P，Q分别在和边上，且上的高，，则正方形的边长为__________．
14．如图，在半圆O中，直径，将半圆O沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则的长是__________．
15．如图，矩形是供一辆机动车停放的车位示意图，已知，，，则车位所占的宽度为__________米．（，结果精确到0.1）
16．如图，∽，*，，，点D在线段BC上运动，点P为线段的中点，在点D的运动过程中，的最小值是__________．
三、解答题（本题8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分8分，每小题4分）
计算：（1）；（2）．
18．（本题满分8分）
如图，中，交于F，交的延长线于E，且．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的长．
19．（本题满分8分）
如图，是的直径，弦与点E，已知，，点P为上一点，（点P不与A，E重合），连接并延长与交于点Q，连，，．
（1）求的长；
（2）求证：．
20．（本题满分8分）
图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，己知，，，该车的高度．如图2，打开后备厢，车后盖落在处，与水平面的夹角．
图1 图2
（1）求打开后备厢后，车后盖最高点到地面l的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，）
21．（本题满分10分）
如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，平分，过点C作交的延长线于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）求证：∽；
（3）若，，求线段的长．
22．（本题满分8分）
如图，在中，，，，中，，点P在上，交于点E，交于点F．
（1）点P是的中点时，求的值；
（2）当时，求的长．
23．（本题满分10分）
木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）填空：__________°，__________°，__________海里；
（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：，，）
24．（本题满分12分）
如图，点E，F在正方形的对角线上，．
（1）当时，求证：；
（2）若，求的值；
（3）延长交于点G，连接．判断线段与的数量关系，并说明理由．
2024～2025学年第一学期期中调研
九年级数学参考答案
一、选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
二、填空题（本题6个小题，每小题3分，共18分．只要求写出最后结果）
11． 12． 13．2 14． 15．4.5 16．
三、解答题（本题8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分8分，每小题4分）
（1）（2）
18．（本题满分8分）
（1）证明：中，，
因为，所以，
又因为，所以∽．（4分）
（2）解：中，，
因为，，
所以，，
由（1）得∽，所以，
所以．（8分）
19．（本题满分8分）
（1）解：如图，连接，
因为是的直径，弦，
所以，（1分）
因为，，所以，，
由勾股定理得，（3分）
所以．（4分）
（2）证明：如图，连接，
由题意知，垂直平分，所以，，
因为，，，
所以≌，所以，
因为，所以，
所以．（8分）
20．（本题满分8分）
解：（1）如图，作，垂足为点E，
在中，因为，，
所以，所以，
因为平行线间的距离处处相等，
所以，
答：车后盖最高点到地面的距离为．（4分）
（2）没有危险，理由如下：（5分）
如图，过作，垂足为点F，
因为，，所以，
因为，所以，
在中，，
所以．
因为平行线间的距离处处相等，
所以到地面的距离为．（7分）
因为，所以没有危险．（8分）
21．（本题满分10分）
（1）证明：连接．（1分）
因为平分，所以，所以．
因为为直径，所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以与相切，即为的切线．（3分）
（2）证明：因为，所以，
因为，所以．
因为四边形为内接四边形，所以，
所以∽．（6分）
（3）解：在中，，
在中，，（7分）
因为∽，所以，
所以，所以．（10分）
22．（本题满分8分）
解：（1）如图，作于Q，于R．（1分）
因为，所以四边形是矩形，
所以，所以，
所以∽，（3分）
所以．
因为P是的中点，，
所以，所以，
同理，所以．（4分）
（2）因为，所以，
因为，所以，
设，则，，，
所以，所以，所以．（8分）
23．（本题满分10分）
（1）30，75，5（3分）
（2）解：设海里，
在中，海里，
在中，海里，海里，
因为，所以，（5分）
解得，（6分）
所以海里，
因为，
所以，所以海里；
上午9时时，船距离A的距离为海里，（7分）
因为，
所以该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区．（8分）
24．（本题满分12分）
证明：（1）因为四边形是正方形，
所以，．
因为，所以，所以，
所以≌．所以．（4分）
（2）因为，
，
所以．
因为，所以∽．（6分）
所以，所以．（8分）
（3）如图，，，
所以∽，（10分）
所以，即．
因为，所以∽，
所以，所以，
所以．（12分）
航行记录
记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处．
记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处．
记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
D
A
A
C
B
D
C