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2024-2025学年安徽省合肥市部分学校2024—2025学年高一上学期第二次教学质量检测数学试题（含答案）
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这是一份2024-2025学年安徽省合肥市部分学校2024—2025学年高一上学期第二次教学质量检测数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M=−1,1,2,3，N=−1,1，则M∪N=( )
A. −1,1,2,3B. −1,1C. 2,3D. 1,2,3
2.下列函数与函数y=x是同一函数的是( )
A. y=xB. y=3t3C. y= x2D. y=v2v
3.若两个正实数x，y满足4x+y=xy，且存在这样的x，y使不等式x+y4A. −11 D. m<−3或m>0
4.命题“∃x≥2，x2<5”的否定是( )
A. ∃x≥2，x2≥5 B. ∃x<2，x2≥5 C. ∀x≥2，x2≥5 D. ∀x<2，x2≥5
5.已知a>0,b>2，且2a+b=ab+1，则a+2b的最小值是( )
A. 5+2 2B. 3+ 2C. 3− 2D. 5−2 2
6.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)−1为奇函数，f(x+2)为偶函数，则f(1)+f(2)+⋯+ f(16)=( )
A. 0B. 16C. 22D. 32
7.已知全集U=xx<10,x∈N，A⊆U，B⊆U，A∩∁UB=1,9，∁UA∩∁UB=4,6,7，A∩B=3，则下列选项不正确的为( )
A. 8∈BB. A的不同子集的个数为8
C. 9⊆AD. 6∉∁UA∪B
8.若函数fx在定义域a,b上的值域为fa,fb，则称fx为“Ω函数”.已知函数fx=5x,0≤x≤2x2−4x+m,2A. 4,10B. 4,14C. 10,14D. 10,+∞
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.不等式ax2−bx+c>0的解集是x−2A. b<0且c>0 B. 不等式bx−c>0的解集是xx>2
C. a+b+c>0 D. 不等式ax2+bx+c>0的解集是x−110.已知全集U={0,1,2,3,4,5}，A是U的子集，当x∈A时，x−1∉A且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是( )
A. 若A中元素均为孤立元素，则A中最多有3个元素
B. 若A中不含孤立元素，则A中最少有2个元素
C. 若A中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A共有9个
D. 若A中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A共有6个
11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数，如[3.24]=3,−1.5=−2.设函数fx=x−x，则下列说法错误的是( )
A. fx的图象关于y轴对称B. fx的最大值为1，没有最小值
C. f 6+f 13>1D. fx在R上是增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数fx=8x，x∈1,2，gx=ax+2a−1，x∈−1,3.对于任意的x1∈1,2，存在x2∈−1,3，使得fx1≥gx2，则a的取值范围是 ．
13.已知集合A=x∣x2−6x+8=0,B=x∣mx−4=0，若B∩A=B，且B≠⌀，则实数m所取到的值为 或 ．
14.已知方程6x2−x+2a=0的两根分别为x1,x2,x1≠x2，若对于∀t>0，都有1+t4+t2+t≤x1−x22成立，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知集合A=xx+2x−4<0，B=xx−m<0．
(1)若m=3，全集U=A∪B，试求A∩∁UB；
(2)若A∩B=⌀，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B=A，求实数m的取值范围；
16.（15分）已知函数y=ax2+bx+c．
(1)若b=−2a，c=2a−1，函数的最小值为0，求a的值；
(2)若c>0,a=1,b=−c−2，不等式ax2+bx+c<0有且仅有四个整数解，求实数c的取值范围；
(3)当b<0时，对∀x∈R，y≥0，若存在实数m使得1−ma+1+2mb+3c=0成立，求m的最小值．
17.（15分）已知a>0,b>0，且a+2b=1
(1)求ab最大值
(2)求1a+ab最小值
(3)若不等式2a+1+1b≥m2−3m恒成立，求实数m的取值范围．
18.（17分）已知方程x2−mx+n−2=0m,n∈R
(1)若m=1，n=0，求方程x2−mx+n−2=0的解；
(2)若对任意实数m，方程x2−mx+n−2=x恒有两个不相等的实数解，求实数n的取值范围；
(3)若方程x2−mx+n−2=0m≥3有两个不相等的实数解x1,x2，且x1+x22−4x1x2=8，求x12x2+x22x1−8x1+x2的最小值．
19.（17分）若函数fx的定义域为D.集合M⊆D，若存在非零实数t使得任意x∈M都有x+t∈D，且fx+t>fx，则称fx为M上的t增长函数．
(1)已知函数gx=x，函数ℎx=x2，判断gx和ℎ(x)是否为区间[−1,0]上的32−增长函数，并说明理由：
(2)已知函数fx=x，且fx是区间−4,−2上的n−增长函数，求正整数n的最小值；
(3)如果fx的图像关于原点对称，当x≥0时，fx=x−a2−a2，且fx为R上的4−增长函数，求实数a的取值范围．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.C
5.A
6.B
7.D
8.C
9.BCD
10.ABD
11.ABD
12.a≤5
13.2；1
14.(−∞,−1148]
15.解：(1)
解不等式x+2x−4<0得−2解x−m<0得x当m=3时，B=xx<3，
∴U=A∪B=xx<4，∴∁UB=xx≥3，
∴A∩∁UB=x3≤x<4．
(2)
由(1)可知A=x−2∵A∩B=⌀，∴m≤−2，
∴实数m的取值范围：mm≤−2．
(3)
由(1)可知A=x−2∵A∩B=A，∴A⊆B，∴m≥4，
∴实数m的取值范围：mm≥4．
16.解：(1)
当b=−2a，c=2a−1时，y=ax2+bx+c=ax2−2ax+2a−1，
由题意得，函数y=ax2−2ax+2a−1的值域0,+∞,
(i)a=0时，不符合题意；
(ii)a≠0时，Δ=2a2−4a2a−1=0，即a=1；
综上，a=1．
(2)
因为a=1,b=−c−2，不等式ax2+bx+c<0转化为x2−(c+2)x+c<0，
因为x2−(c+2)x+c<0有四个整数解，
则x2−(c+2)x+c=0必有两个不相等实数根，记为x1,x2，且x1又因为当x=0时，x2−(c+2)x+c=c>0，
当x=1时，x2−(c+2)x+c=−1<0，
y=x2−(c+2)x+c的图象开口向上，对称轴为x=c+22>0，所以0故不等式的解集中的四个整数解为1,2,3,4，所以4所以16−4(c+2)+c<025−5c+2+c≥0，故83(3)
因为当b<0时，对∀x∈R，y=ax2+bx+c≥0，
由题设a>0Δ=b2−4ac≤0，有b2≤4ac，又b<0，则c≥b24a>0，
又1−ma+1+2mb+3c=a+b+3c+(2b−a)m，2b−a<0，
故存在m∈R使a+b+3c+(2b−a)m=0成立，则m=a+b+3ca−2b，
所以m=1+3(b+c)a−2b≥1+3⋅ba(1+b4a)1−2ba，
令t=ba，则m≥1+3⋅t(1+t4)1−2t=1+3tt+44−8t，t<0，
令n=4−8t，则n>0，且t=12−n8，
故m≥1+312−n8×12−n8+4n=3n64+274n−78≥2 3n64⋅274n−78=14，
当且仅当3n64=274n，即n=12，t=−1，a=−b时，等号成立，
所以m≥14，即m的最小值为14．
17.解：(1)
已知a>0,b>0，且a+2b=1，
∴a+2b≥2 2ab，∴ab≤18，
当且仅当a=2b即a=12，b=14，取“=”．
所以ab最大值为18．
(2)
1a+ab=1a+1−2bb=1a+1b−2=1a+1ba+2b−2
=1+2ba+ab≥1+2 2ba⋅ab=1+2 2，
当且仅当2ba=ab，即a= 2−1，b=1− 22时取“=”，
所以1a+ab最小值为1+2 2．
(3)
122a+1+1b•a+1+2b=124+4ba+1+a+1b≥12(4+2 4ba+1⋅a+1b)=4，
当且仅当4ba+1=a+1b，即a=0，b=12时取“=”，
∴m2−3m≤4，解得−1≤m≤4，
所以实数m的取值范围为−1,4．
18.解：(1)
m=1，n=0时，x2−x−2=0，解得x=2或−1；
(2)
x2−mx+n−2=x⇒x2−m+1x+n−2=0，
故Δ=m+12−4n−2>0，所以n<14m+12+2，
其中14m+12+2≥2，当且仅当m=−1时，等号成立，
故n<2；
(3)
x2−mx+n−2=0m≥3有两个不相等的实数解x1,x2，
Δ=m2−4n−2>0，
由韦达定理得x1+x2=m,x1x2=n−2，
故x1+x22−4x1x2=m2−4n+8=8，所以m2=4n，此时Δ=8>0，
所以x12x2+x22x1−8x1+x2=x13+x23x1x2−8x1+x2=x1+x2x12−x1x2+x22x1x2−8x1+x2
=x1+x2x1+x22−3x1x2x1x2−8x1+x2=mm2−3n+6n−2−8m，
因为m2=4n，
所以x12x2+x22x1−8x1+x2=mm24+6m24−2−8m=mm24−2+8m24−2−8m=m−8m+32m−8m，
令t=m−8m，其在m≥3上单调递增，故t≥3−83=13，
故x12x2+x22x1−8x1+x2=t+32t≥2 t⋅32t=8 2，
当且仅当t=32t，即t=4 2时，等号成立，
故x12x2+x22x1−8x1+x2的最小值为8 2．
19.解：(1)
g(x)=x是：因为∀x∈[−1,0]，g(x+32)−g(x)=(x+32)−x=32>0；
ℎ(x)=x2不是，反例：当x=−1时，ℎ(−1+32)=ℎ(12)=14<ℎ(−1)=1．
(2)
由题意得，|x+n|>|x|对于x∈−4,−2恒成立，
等价于x2+2nx+n2>x2，即2nx+n2>0对x∈−4,−2恒成立，
令mx=2nx+n2，因为n>0，所以mx是区间−4,−2上单调递增的一次函数，
要保证2nx+n2>0对x∈−4,−2恒成立，则mxmin>0，
即m−2=−8n+n2>0，解得n>8，
所以满足题意的最小正整数n为9．
(3)
根据题意，当x>a2时，f(x)=x−2a2，当0≤x≤a2时，f(x)=−x，
因为fx的图像关于原点对称，所以可作出其函数图象，如下图所示：
所以fx=x−2a2,x>a2−x,−a2≤x≤a2x+2a2,x<−a2,
若f(x)是R上的4−增长函数，则对任意的x，都有f(x+4)>f(x)，
因为f(x+4)是将f(x)向左平移四个单位得到，如下图所示，
所以2a2−4≤−2a2，解得−1≤a≤1，
所以实数a的取值范围为−1,1．
1.已知集合M=−1,1,2,3，N=−1,1，则M∪N=( )
A. −1,1,2,3B. −1,1C. 2,3D. 1,2,3
2.下列函数与函数y=x是同一函数的是( )
A. y=xB. y=3t3C. y= x2D. y=v2v
3.若两个正实数x，y满足4x+y=xy，且存在这样的x，y使不等式x+y4
4.命题“∃x≥2，x2<5”的否定是( )
A. ∃x≥2，x2≥5 B. ∃x<2，x2≥5 C. ∀x≥2，x2≥5 D. ∀x<2，x2≥5
5.已知a>0,b>2，且2a+b=ab+1，则a+2b的最小值是( )
A. 5+2 2B. 3+ 2C. 3− 2D. 5−2 2
6.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)−1为奇函数，f(x+2)为偶函数，则f(1)+f(2)+⋯+ f(16)=( )
A. 0B. 16C. 22D. 32
7.已知全集U=xx<10,x∈N，A⊆U，B⊆U，A∩∁UB=1,9，∁UA∩∁UB=4,6,7，A∩B=3，则下列选项不正确的为( )
A. 8∈BB. A的不同子集的个数为8
C. 9⊆AD. 6∉∁UA∪B
8.若函数fx在定义域a,b上的值域为fa,fb，则称fx为“Ω函数”.已知函数fx=5x,0≤x≤2x2−4x+m,2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.不等式ax2−bx+c>0的解集是x−2
C. a+b+c>0 D. 不等式ax2+bx+c>0的解集是x−1
A. 若A中元素均为孤立元素，则A中最多有3个元素
B. 若A中不含孤立元素，则A中最少有2个元素
C. 若A中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A共有9个
D. 若A中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A共有6个
11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数，如[3.24]=3,−1.5=−2.设函数fx=x−x，则下列说法错误的是( )
A. fx的图象关于y轴对称B. fx的最大值为1，没有最小值
C. f 6+f 13>1D. fx在R上是增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数fx=8x，x∈1,2，gx=ax+2a−1，x∈−1,3.对于任意的x1∈1,2，存在x2∈−1,3，使得fx1≥gx2，则a的取值范围是 ．
13.已知集合A=x∣x2−6x+8=0,B=x∣mx−4=0，若B∩A=B，且B≠⌀，则实数m所取到的值为 或 ．
14.已知方程6x2−x+2a=0的两根分别为x1,x2,x1≠x2，若对于∀t>0，都有1+t4+t2+t≤x1−x22成立，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知集合A=xx+2x−4<0，B=xx−m<0．
(1)若m=3，全集U=A∪B，试求A∩∁UB；
(2)若A∩B=⌀，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B=A，求实数m的取值范围；
16.（15分）已知函数y=ax2+bx+c．
(1)若b=−2a，c=2a−1，函数的最小值为0，求a的值；
(2)若c>0,a=1,b=−c−2，不等式ax2+bx+c<0有且仅有四个整数解，求实数c的取值范围；
(3)当b<0时，对∀x∈R，y≥0，若存在实数m使得1−ma+1+2mb+3c=0成立，求m的最小值．
17.（15分）已知a>0,b>0，且a+2b=1
(1)求ab最大值
(2)求1a+ab最小值
(3)若不等式2a+1+1b≥m2−3m恒成立，求实数m的取值范围．
18.（17分）已知方程x2−mx+n−2=0m,n∈R
(1)若m=1，n=0，求方程x2−mx+n−2=0的解；
(2)若对任意实数m，方程x2−mx+n−2=x恒有两个不相等的实数解，求实数n的取值范围；
(3)若方程x2−mx+n−2=0m≥3有两个不相等的实数解x1,x2，且x1+x22−4x1x2=8，求x12x2+x22x1−8x1+x2的最小值．
19.（17分）若函数fx的定义域为D.集合M⊆D，若存在非零实数t使得任意x∈M都有x+t∈D，且fx+t>fx，则称fx为M上的t增长函数．
(1)已知函数gx=x，函数ℎx=x2，判断gx和ℎ(x)是否为区间[−1,0]上的32−增长函数，并说明理由：
(2)已知函数fx=x，且fx是区间−4,−2上的n−增长函数，求正整数n的最小值；
(3)如果fx的图像关于原点对称，当x≥0时，fx=x−a2−a2，且fx为R上的4−增长函数，求实数a的取值范围．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.C
5.A
6.B
7.D
8.C
9.BCD
10.ABD
11.ABD
12.a≤5
13.2；1
14.(−∞,−1148]
15.解：(1)
解不等式x+2x−4<0得−2
∴U=A∪B=xx<4，∴∁UB=xx≥3，
∴A∩∁UB=x3≤x<4．
(2)
由(1)可知A=x−2
∴实数m的取值范围：mm≤−2．
(3)
由(1)可知A=x−2
∴实数m的取值范围：mm≥4．
16.解：(1)
当b=−2a，c=2a−1时，y=ax2+bx+c=ax2−2ax+2a−1，
由题意得，函数y=ax2−2ax+2a−1的值域0,+∞,
(i)a=0时，不符合题意；
(ii)a≠0时，Δ=2a2−4a2a−1=0，即a=1；
综上，a=1．
(2)
因为a=1,b=−c−2，不等式ax2+bx+c<0转化为x2−(c+2)x+c<0，
因为x2−(c+2)x+c<0有四个整数解，
则x2−(c+2)x+c=0必有两个不相等实数根，记为x1,x2，且x1
当x=1时，x2−(c+2)x+c=−1<0，
y=x2−(c+2)x+c的图象开口向上，对称轴为x=c+22>0，所以0
因为当b<0时，对∀x∈R，y=ax2+bx+c≥0，
由题设a>0Δ=b2−4ac≤0，有b2≤4ac，又b<0，则c≥b24a>0，
又1−ma+1+2mb+3c=a+b+3c+(2b−a)m，2b−a<0，
故存在m∈R使a+b+3c+(2b−a)m=0成立，则m=a+b+3ca−2b，
所以m=1+3(b+c)a−2b≥1+3⋅ba(1+b4a)1−2ba，
令t=ba，则m≥1+3⋅t(1+t4)1−2t=1+3tt+44−8t，t<0，
令n=4−8t，则n>0，且t=12−n8，
故m≥1+312−n8×12−n8+4n=3n64+274n−78≥2 3n64⋅274n−78=14，
当且仅当3n64=274n，即n=12，t=−1，a=−b时，等号成立，
所以m≥14，即m的最小值为14．
17.解：(1)
已知a>0,b>0，且a+2b=1，
∴a+2b≥2 2ab，∴ab≤18，
当且仅当a=2b即a=12，b=14，取“=”．
所以ab最大值为18．
(2)
1a+ab=1a+1−2bb=1a+1b−2=1a+1ba+2b−2
=1+2ba+ab≥1+2 2ba⋅ab=1+2 2，
当且仅当2ba=ab，即a= 2−1，b=1− 22时取“=”，
所以1a+ab最小值为1+2 2．
(3)
122a+1+1b•a+1+2b=124+4ba+1+a+1b≥12(4+2 4ba+1⋅a+1b)=4，
当且仅当4ba+1=a+1b，即a=0，b=12时取“=”，
∴m2−3m≤4，解得−1≤m≤4，
所以实数m的取值范围为−1,4．
18.解：(1)
m=1，n=0时，x2−x−2=0，解得x=2或−1；
(2)
x2−mx+n−2=x⇒x2−m+1x+n−2=0，
故Δ=m+12−4n−2>0，所以n<14m+12+2，
其中14m+12+2≥2，当且仅当m=−1时，等号成立，
故n<2；
(3)
x2−mx+n−2=0m≥3有两个不相等的实数解x1,x2，
Δ=m2−4n−2>0，
由韦达定理得x1+x2=m,x1x2=n−2，
故x1+x22−4x1x2=m2−4n+8=8，所以m2=4n，此时Δ=8>0，
所以x12x2+x22x1−8x1+x2=x13+x23x1x2−8x1+x2=x1+x2x12−x1x2+x22x1x2−8x1+x2
=x1+x2x1+x22−3x1x2x1x2−8x1+x2=mm2−3n+6n−2−8m，
因为m2=4n，
所以x12x2+x22x1−8x1+x2=mm24+6m24−2−8m=mm24−2+8m24−2−8m=m−8m+32m−8m，
令t=m−8m，其在m≥3上单调递增，故t≥3−83=13，
故x12x2+x22x1−8x1+x2=t+32t≥2 t⋅32t=8 2，
当且仅当t=32t，即t=4 2时，等号成立，
故x12x2+x22x1−8x1+x2的最小值为8 2．
19.解：(1)
g(x)=x是：因为∀x∈[−1,0]，g(x+32)−g(x)=(x+32)−x=32>0；
ℎ(x)=x2不是，反例：当x=−1时，ℎ(−1+32)=ℎ(12)=14<ℎ(−1)=1．
(2)
由题意得，|x+n|>|x|对于x∈−4,−2恒成立，
等价于x2+2nx+n2>x2，即2nx+n2>0对x∈−4,−2恒成立，
令mx=2nx+n2，因为n>0，所以mx是区间−4,−2上单调递增的一次函数，
要保证2nx+n2>0对x∈−4,−2恒成立，则mxmin>0，
即m−2=−8n+n2>0，解得n>8，
所以满足题意的最小正整数n为9．
(3)
根据题意，当x>a2时，f(x)=x−2a2，当0≤x≤a2时，f(x)=−x，
因为fx的图像关于原点对称，所以可作出其函数图象，如下图所示：
所以fx=x−2a2,x>a2−x,−a2≤x≤a2x+2a2,x<−a2,
若f(x)是R上的4−增长函数，则对任意的x，都有f(x+4)>f(x)，
因为f(x+4)是将f(x)向左平移四个单位得到，如下图所示，
所以2a2−4≤−2a2，解得−1≤a≤1，
所以实数a的取值范围为−1,1．
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