2024-2025学年江苏省南通市海安高级中学高一（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南通市海安高级中学高一（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设a，b∈R，集合A={0,a}，集合B={−1,b}，若A=B，则a+b的值为( )
A. 1B. 0C. −1D. −2
2.命题“∀x>1，x2+x−2>0”的否定为( )
A. ∃x>1，x2+x−2≤0B. ∃x≤1，x2+x−2≤0
C. ∀x≤1，x2+x−2≤0D. ∀x>1，x2+x−2≤0
3.设x>0，y>0且x+y=2，则4x+1y的最小值为( )
A. 9B. 52C. 4D. 92
4.满足{a1,a2}⊆A⊆{a1,a2,a3,a4,a5}的集合A的个数为( )
A. 5B. 4C. 8D. 7
5.设全集U=A∪B={1,2,3,5,8}，A∩(∁UB)={1,5}，B∩(∁UA)={2}，则集合A为( )
A. {1,2,5}B. {1,3,5,8}C. {3,8}D. {1,5}
6.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A. a2+b2>2abB. a+b≥2 abC. 1a+1b>2 abD. ba+ab≥2
7.已知关于x的不等式(a−2)x2+2(a−2)x+1≤0的解集是⌀，则实数a的取值范围是( )
A. [2,3)B. (−∞,2)∪(3,+∞)
C. (2,3)D. (−∞,2]∪(3，+∞)
8.设集合A={x|(x−2)(x−a)≤0}，B={x|3A. (5,6]B. [6,+∞)C. [6,7)D. (6,7]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>b>c>0，下列不等式一定成立的是( )
A. bcbC. ba−b>cb−cD. ab>a+cb+c
10.下列叙述正确的是( )
A. 已知a，b，c是实数，则“ac2>bc2”成立的充分不必要条件是“a>b”
B. “x∈A∩B”是“x∈A∪B”的充分不必要条件
C. “x>0且y>0”是“xy>0”的充分不必要条件
D. “a2>1”是“a>1”的必要不充分条件
11.关于x的不等式|x−a|≤2成立的必要不充分条件是−3A. 4−a+94−a的最小值为6
B. 关于x的不等式x2−2ax+a2+a+1≤0的解集为⌀
C. 关于x的不等式(x−a)(x−8)<0的解集中整数解最少3个
D. {x|x≤a+1}∪{x|x≥2a−136}=R
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={2,a2−1,a2−a}，B={0,a2−a−3}，且3∈A，则集合B= ______．
13.某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值等于每次的购买吨数数值，则每次购买该种货物的吨数是______时，一年的总运费与总存储费用(单位：万元)之和最小，最小值是______万元．
14.已知当x>0时，不等式[(a−1)x−1](x2−2ax−1)≥0恒成立，则实数a= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)已知x>0，求2−x−4x的最大值；
(2)证明：若a>0，b>0，则a2b+b2a≥a+b.并写出等号成立的条件．
16.(本小题15分)
已知不等式x2−2x−3<0的解集为A，不等式x−1x−4<0的解集为B，集合P=A∩B．
(1)设全集U=R，求集合∁UP；
(2)设集合Q={x|5+2m17.(本小题15分)
已知函数y=kx2−4x+k+2．
(1)已知关于x的不等式kx2−4x+k+2≤0的解集为[k,k+2]，若存在x∈[k,k+2]，使关于x的不等式mx+m+2>0有解，求实数m的取值范围；
(2)解关于x的不等式kx2−4x+k+2<5+k−(k+1)x．
18.(本小题17分)
实验室需要制作带盖的长方体铁皮容器ABCD−A1B1C1D1，如图所示．
(1)若要求长方体铁皮容器的容积为32000cm3，高AA1为20cm，求底面边长AB为何值时，用料最少？
(2)已经制作好的①、②、③、④四个长方体铁皮容器，其中①、②的底面积都是a2cm2，高分别是acm，bcm，③、④的底面积都是b2cm2，高分别为acm，bcm(其中a≠b)，现甲、乙两人做游戏，每人每一次都从四个容器中取两个，以所取容器盛水总和多者为胜，若甲先取，问甲有没有必胜的方案，若有的话是什么方案，并证明你的结论；若没有的话，说明理由．
19.(本小题17分)
已知集合A为非空数集，定义：S={x|x=a+b,a,b∈A}，T={x|x=|a−b|,a,b∈A}．
(1)若集合A={1,4}，直接写出集合S，T；
(2)若集合A={x1,x2,x3,x4}，x1(3)若集合A⊆{x|0≤x≤2024,x∈N}，S∩T=⌀，记|A|为集合A中元素的个数，求|A|的最大值．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.C
5.B
6.D
7.A
8.B
9.AD
10.BCD
11.ABD
12.{0,3}
13.20 40
14.43
15.解：(1)x>0，2−x−4x=2−(x+4x)≤2−2 x⋅4x=−2，
当且仅当x=4x，即x=2时取等号，此时上式取得最大值−2；
(2)证明：若a>0，b>0，则a2b+b≥2a，当且仅当a=b时取等号，
b2a+a≥2b，当且仅当a=b=时取等号，
所以a2b+b2a+a+b≥2a+2b，当且仅当a=b时取等号，
所以a2b+b2a≥a+b，等号成立的条件为a=b．
16.解：(1)不等式x2−2x−3<0的解集为A={x|−1不等式x−1x−4<0的解集为B={x|1则集合P=A∩B={x|1又全集U=R，则集合∁UP={x|x≤1或x≥3}；
(2)因为集合Q={x|5+2m所以“x∈P”是“x∈Q”的充分条件，即P⊆Q；
所以5+2m≤11−m≥3，解得m≤−2，
所以实数m的取值范围是{m|m≤−2}．
17.解：(1)因为不等式kx2−4x+k+2≤0的解集为[k,k+2]，所以k、k+2是方程kx2−4x+k+2=0的解，
所以k+k+2=4kk(k+2)=k+2k，且k>0；
解得k=1；
所以存在x∈[1,3]，使关于x的不等式mx+m+2>0有解，
即m(x+1)>−2，解得m>−2x+1，
当x=1时，−2x+1取得最小值为−1，
所以实数m的取值范围是{m|m>−1}；(2)不等式kx2−4x+k+2<5+k−(k+1)x可化为kx2+(k−3)x−3<0，
即(kx−3)(x+1)<0，
当k=0时，不等式为x+1>0，解得x>−1；
当k>0时，不等式为(x−3k)(x+1)<0，解得−1当k<0时，不等式为(x−3k)(x+1)>0，
若k=−3，则不等式为(x+1)2>0，解得x≠−1；
若−3−1；
若k<−3，则3k>−1，解不等式得x<−1或x>3k；
综上，k=0时，不等式的解集为{x|x>−1}；k>0时，不等式的解集为{x|−1−3−1}；k<−3时，不等式的解集为{x|x<−1或x>3k}.
18.解：(1)设长方体的长和宽分别为m，n，
则mn=3200020=1600，
而长方体的表面积为：S=2(mn+20m+20n)=3200+40(m+n)≥3200+80 mn=6400，
当且仅当m=n=40cm时等号成立，
故当AB=40cm时，用料最省；
(2)甲有必胜的方案，证明如下：
由题设有①的体积为a3，②的体积为a2b，③的体积为ab2，④的体积为b3，
若甲先取，甲有必胜的的方案，方案如下：
若a>b，则a3>a2b>ab2>b3，此时甲先取①②，则所取容器盛水总和最多，故甲此时获胜；
若a故甲此时获胜．
19.解：(1)由S，T的定义，可得S={2,5,8}，T={0,3}；
(2)证明：取a=b=x1，则|a−b|=0∈T，而x1而x4−x3，x4−x2均为T中元素且非零，故x4−x3=x2，
即x4=x3+x2，故x1+x4=x2+x3；
(3)设A={a1,a2,a3,…,ak}，其中1≤k≤2025，k∈Z，
不妨设a1所以|S|≥2k−1，因为a1−a1又因为S∩T=⌀，所以|S∪T|≥3k−1，S∪T中最小的元素为0，最大的元素为2ak，
|S∪T|≤1+2ak，
所以3k−1≤1+2ak≤2×2024+1(k∈N∗)，k≤1350，
实际上当A={675,676,677,…,2024}时满足题意．
证明如下：设A={m,m+1,…,2024}，m∈N，
则S={2m,2m+1,2m+2,…,4048}，T={0,1,2,…,2024−m}，
由题意可得2024−m<2m，解得m>20243，故M的最小值为675，
于是当m=675时，A中元素最多，
即A+{675,676,677,…,2024}时满足题意．
综上，可得集合A中元素的个数的最大值为1350．