2024-2025学年上海市奉贤中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市奉贤中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和2个白球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．则下列事件中互斥而不对立的是( )
A. “第一次摸到红球”与“第二次摸到红球”
B. “至少摸到一次红球”与“至少摸到一次白球”
C. “两次都摸到红球”与“两次都摸到白球”
D. “两次都摸到红球”与“至少摸到一次白球”
2.某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有( )
A. C84B. C74C. C124D. C114
3.在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l做平面α，使得点A、B到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数个
4.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线.从1移动到数字n(n=2,3,…11)的不同路线条数记为rn，从1移动到11的事件中，跳过数字n(n=2,3,…10)的概率记为pn，则下列结论正确的是( )
①r9=34，②rn+1>rn，③p5=2489，④p9>p10．
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.若A11m=11×10×9×8×7×6×5，则m= ______．
6.( x+1x)n的展开式中只有第六项的系数最大，则n= ______．
7.已知圆锥的底面半径为4，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为______．
8.(x−1x)6的展开式中，系数最小的项为第______项.
9.正整数1224有______个不同的正约数．
10.展会期间，要安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排1个人，剩下两个展区各安排2个人，不同的安排方案共有______种.
11.已知长为6的线段AB的两个端点到平面α的距离分别为2和4，则直线AB与平面α的所成角大小为______．
12.(2x2−3)(x−2x)6的展开式中x2项的系数为 ．
13.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=AC=2，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使二面角B−AC−D的大小为120°，则点B与点D之间的距离为______；
14.九官格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如表所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为奇数，则a+b≥5的概率为______．
15.若集合A，B，C，D满足A，B，C都是D的子集，且A∩B，B∩C，A∩C均只有一个元素，且A∩B∩C=⌀，称(A,B,C)为D的一个“有序子集列”.若D有6个元素，则有______个“有序子集列”．
16.从1，2，…，2024中任取两个数a，b(可以相同)，则2a+7b的个位数是1的概率为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
(1)解不等式C8x−1>3C8x；
(2)解方程Cx+2x−2+Cx+2x−3=110Ax+33．
18.(本小题14分)
如图，四棱锥S−ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是线段SD上任意一点．
(1)求证：AC⊥BE；
(2)当DE长为多少时，BE与平面ABCD所成角的大小为30°．
19.(本小题14分)
某电视台举办“读经典”知识挑战赛．初赛环节，每位选手先从A，B，C三类问题中选择一类，该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答．再次选择的一类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰．已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为34，能正确回答C类问题的概率为23，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立．
(Ⅰ)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他按照B，C的顺序对各类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；
(Ⅱ)由于选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为34，故可将回答顺序ABC和顺序BAC视为同一个顺序；为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由．
20.(本小题18分)
已知(2 x+1x2)n(n为正整数)的二项展开式．
(1)若Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=64，求展开式中所有项的系数之和；
(2)若Cn1+Cnn−2=465，求展开式中的无理项的个数；
(3)若n=20，求展开式中系数最大的项．
21.(本小题18分)
从数据组Ω：(1,2,3,…,n)中取出k(k是自然数，且k≤n)个不同的数构成一个新数据组∏：(x1,x2,…,xk).若对任意的a∈Ω，存在xi，xj∈∏，i，j∈{1,2,…,k}，使得a=λxi+μxj，λ，μ∈{−1,0,1}，则称数据组∏为数据组Ω的一个k维基本数据库．
(1)判断数据组∏：(1,4)是否为数据组Ω：(1,2,3,4,5)的一个2维基本数据库；
(2)若数据组：(x1,x2)是数据组Ω：(1,2,3,…,n)的一个2维基本数据库，请求出n的最大值，并写出此时的2维基本数据库．
(3)若数据组∏是数据组Ω的一个k维基本数据库，求证：k2+k≥n．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.A
5.7
6.10
7.64 33π
8.4
9.24
10.180
11.arsin13或π2
12.−500
13.4
14.56
15.7680
16.316
17.解：(1)首先由组合的性质可得：0≤x−1≤8且x≤8，解可得1≤x≤8；
原不等式可化为8！(x−1)!(9−x)!>3×8!x!(8−x)!；
化简可得：4x>27；
解可得x>274；
又由x的范围1≤x≤8，
所以x=7或8．
不等式的解集为{7,8}；
(2)由题意可得Cx+2x−2+Cx+2x−3=Cx+3x−2=110Ax+33，
(x+3)!(x−2)!5!=110×(x+3)!x!，
即x(x−1)=12，
x=4或x=−3(舍去)，
即方程的解集为{4}．
18.(1)证明：连接BD，∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
又∵SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥SD．
∵BD∩SD=D，∴AC⊥平面SBD．
又∵BE⊂平面SED，∴AC⊥BE．
(2)解：设DE=t，∵SD⊥平面ABCD，
∴BE与平面ABCD所成角为∠EBD．
在Rt△EDB中，由tan∠EBD=tan30°=t 2a，解得t= 63a.
∴当ED= 63a时，BE与平面ABCD所成角的大小为30°．
19.解：(1)分两类，第一类是B回答正确，概率34；第二类B回答错误，且C回答正确两道，概率14⋅23⋅23=436，
所以取得复赛资格的概率为：34+436=3136．
(2)根据C的不同位置分为三类：ABC，ACB，CAB．
若按照ABC顺序回答，则取得复赛资格的概率为：34⋅(34+14⋅23⋅23)=3148，
若按照ACB顺序回答，则取得复赛资格的概率为：34⋅(23+13⋅34⋅34)=4164，
若按照CAB顺序回答，则取得复赛资格的概率为：23⋅(34+14⋅34⋅34)=1932，
可得3148>4164>1932，
故按ABC(BAC)顺序回答问题取得复赛资格的概率最大．
20.解：(1)由2n=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=64可得n=6，
令x=1可得(2+11)6=36=729，
所以展开式中所有项的系数之和为729；
(2)若Cn1+Cnn−2=465，则n+n(n−1)2=465，解得n=30，或n=−31舍去，
设(2 x+1x2)30的通项为Tr+1=C30r(2 x)30−r(1x2)r=C30r230−rx30−5r2，r∈{0,1,2,⋯,30}，
所以当r=1，3，5，⋯，29时可得展开式中的无理项，所以共有15个无理项；
(3)设(2 x+1x2)20的通项为Tr+1=C20r(2 x)20−r(1x2)r=C20r220−rx20−5r2，
且r∈{0,1,2,⋯,20}，
则C20r220−r≥C20r−1221−rC20r220−r≥C20r+1219−r，解得6≤r≤7，T7=C206220−6x20−302=635043840x−5，T8=C207220−7x−152=635043840x−152，
所以展开式中系数最大的项为T7=635043840x−5和T8=635043840x−152．
21.解：(1)因为1=1×1+0×4，2=1×1+1×1，3=(−1)×1+1×4，
4=0×1+1×4，5=1×1+1×4，
所以数据组∏：(1,4)是数据组Ω：(1,2,3,4,5)的一个2维基本数据库；
(2)不妨设x1≤x2，x1∈N∗，x2∈N∗，
则x1，x2组成的数据的个数最多有：−1⋅x1+1⋅x2=x2−x1，0⋅x1+1⋅x1=x1，
0⋅x1+1⋅x2=x2，1⋅x1+1⋅x1=2x1，1⋅x1+1⋅x2=x1+x2，1⋅x2+1⋅x2=2x2，共6个，
所以n≤6，
当n=6时，因为2x2是x1，x2组成的数据中最大的项，且2x2必存在，
所以有2x2=6，则x2=3，
而x1，x2组成的数据中最小的项可能为x1或x2−x1，
若x1=1，则由(1,3)无法得到5这一项，不满足题意；
若x2−x1=1，则x1=2，
此时1=3×1+2×(−1)，2=3×0+2×1，3=3×1+2×0，
4=2×1+2×1，5=3×1+2×1，6=3×1+3×1，
所以∏：(2,3)是数据组Ω：(1,2,3,…,6)的一个2维基本数据库，满足题意；
所以n的最大值为6，此时的2维基本数据库∏：(2,3)．
(3)证明：不妨设x1则形如1⋅xi+0⋅xj(i,j∈{1,2,3,…,k})的正整数共有k个；
形如1⋅xi+1⋅xi(i∈{1,2,3,…,k})的正整数共有k个；
形如l⋅xi+1⋅xj(i,j∈{1,2,3,…,k}，i≠j)的正整数至多有Ck2个；
形如(−1)⋅xi+1⋅xj(i,j∈{1,2,3,…,k})的正整数至多有Ck2个；
又数据组Ω：(1,2,3,…,n)含n个不同的正整数，数据组∏是数据组Ω的一个k维基本数据库，
故k+k+ck2+ck2≥n，化简得k2+k≥n． 9
a
7
b
c
d
4
e
5