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2024-2025学年广东省梅州市兴宁一中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）
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这是一份2024-2025学年广东省梅州市兴宁一中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={−2,−1,0,1,3}，N={x|−3≤x≤2}，则M∩N=( )
A. {−2,−1,0,1}B. ⌀C. {−2,−1,1}D. 2
2.已知集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|−1A. 4B. 7C. 8D. 15
3.下列函数中，表示同一个函数的是( )
A. y=x2与y=( x)4
B. y= x+1⋅ x−1与y= x2−1
C. y=|x|x与y=1(x≥0)−1(x<0)
D. y=x2与S=a2
4.命题p：∀x>2，x2−1>0，则￢p是( )
A. ∀x>2，x2−1≤0B. ∀x≤2，x2−1>0
C. ∃x>2，x2−1≤0D. ∃x≤2，x2−1≤0
5.若x>0，y>0，且2x+y=xy，则2x+y的最小值是( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
6.对于集合M，N，定义M−N={x|x∈M且x∉N}，M⊕N=(M−N)∪(N−M)，设A={x|x≥−94,x∈R}，B={x|x<0,x∈R}，则A⊕B=( )
A. {x|−94C. {x|x<−94或x≥0，x∈R}D. {x|x≤−94或x>0，x∈R}
7.若变量x，y满足约束条件3≤2x+y≤96≤x−y≤9则z=x+2y的最小值为( )
A. −10B. −6C. −4D. 0
8.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|x<−2或x>−1}，则不等式2x2+bx+a<0的解集为( )
A. {x|−112}
C. {x|−11}
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设A={x|x2−5x+4=0}，B={x|ax−1=0}，若A∪B=A，则实数a的值可以是( )
A. 0B. 14C. 4D. 1
10.下面命题正确的是( )
A. “a>1”是“1a<1”的充分不必要条件
B. “m<0”是“二次方程x2+(m−3)x+m=0有一正根一负根”的充要条件
C. “x≤1且y≤1”是“x+y≤2”的充要条件
D. 设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
11.若关于x的不等式ax2+bx+12>0的解集为(−1,12)，则下列说法正确的是( )
A. a>0
B. a=2b
C. −ax2+12x+b≥0的解集为(−∞,−1]∪[12,+∞)
D. f(x)=ax2+bx+12的最小值为716
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知f(2x+1)=6x+5，则f(x)= ______．
13.命题“∃x∈R，不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4≥0”是假命题，则a的取值范围是______．
14.若关于x的不等式x2−(2a+1)x+2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)= x+5+1x−7．
(1)求函数的定义域；
(2)求f(11)，f(54)的值；
(3)当a>0时，求f(a)，f(a−1)的值．
16.(本小题15分)
已知集合A={x|2a−1(1)若a=−1，求A∪B；
(2)若“x∈B”是“x∈A”成立的必要条件，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
设集合P={x|−2(1)若Q≠⌀且Q⊆P，求a的取值范围；
(2)若P∩Q=⌀，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
完成下列各题：
(Ⅰ)如图(1)，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域．若每个区域的面积为24m2，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值．
(Ⅱ)如图(2)，某学校要在长为8m，宽为6m的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为xm，中间植草坪．若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？
19.(本小题17分)
问题：正实数a，b满足a+b=1，求1a+2b的最小值.其中一种解法是：
1a+2b=(1a+2b)(a+b)=1+ba+2ab+2≥3+2 2，当且仅当ba=2ab且a+b=1时，即a= 2−1且b=2− 2时取等号，学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数x，y满足x+y=1，求2x+3y的最小值：
(2)若实数a，b，x，y满足x2a2−y2b2=1，求证：a2−b2≤(x−y)2；
(3)求代数式M= 3m−5− m−2的最小值，并求出使得M最小的m的值．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.C
5.A
6.C
7.B
8.C
9.ABD
10.ABD
11.BC
12.3x+2
13.(−2,2]
14.{a|−1≤a<−12或3215.解：(1)∵函数f(x)= x+5+1x−7．
∴函数的定义域满足x+5≥0x−7≠0，
解得x≥−5且x≠7，
∴函数的定义域{x|x≥−5且x≠7}．
(2)f(11)= 16+111−7=4+14=174，
f(54)= 54+5+154−7=52−423=10746．
(3)∵a>0，则f(a)= a+5+1a−7，
f(a−1)= a+4+1a−8．
16.解：(1)因为当a=−1时，A={x|−3所以A∪B={x|−3(2)因为“x∈B”是“x∈A”成立的必要条件，所以A⊆B，
当A=⌀时，2a−1≥a+1，a≥2，满足A⊆B；
当A≠⌀时，a<2，
因为A⊆B，所以a<2−1≤2a−12≥a+1，解得0≤a≤1；
综上，实数a的取值范围为{a|0≤a≤1或a≥2}．
17.解：(1)由题意，集合P={x|−2因为Q≠⌀且Q⊆P，
所以3a解得−23≤a<12，
综上所述，实数a的取值范围为[−23,12)；
(2)由题意，需分为Q=⌀和Q≠⌀两种情形进行讨论：
当Q=⌀时，3a≥a+1，
解得a≥12，满足题意；
当Q≠⌀时，
因为P∩Q=⌀，
所以a+1≤−23a或3a≥33a综上所述，实数a的取值范围为(−∞,−3]∪[12,+∞)．
18.解：(Ⅰ)设每个区域的长与宽分别是xm和ym，
由题意可得xy=24，则彩带的总长l=4x+6y≥2 24xy=48，
当且仅当4x=6y，即x=6且y=4时，彩带的总长最小．
所以每个区域的长与宽分别是6m和4m时，彩带总长最小，彩带总长的最小值为48m；
(Ⅱ)设花卉带的宽度为x(024，即x2−7x+6>0，即有(x−1)(x−6)>0，解得x>6或x<1，
由实际意义可得0则花卉带的宽度x的取值范围是{x|019.(1)解：若正实数x，y满足x+y=1，
则2x+3y=2x+2yx+3x+3yy=5+2yx+3xy≥5+2 6，当且仅当2yx=3xy且x+y=1，即x= 6−2，y=3− 6时取等号，
此时2x+3y取得最小值5+2 6；
(2)证明：若实数a，b，x，y满足x2a2−y2b2=1，
则a2−b2=(a2−b2)(x2a2−y2b2)=x2+y2−(b2x2a2+a2y2b2)≤x2+y2−2 b2x2a2⋅a2y2b2=x2+y2−2|xy|≤x2+y2−2xy=(x−y)2，
当且仅当b2x2a2=a2y2b2且xy≥0时取等号，
所以a2−b2≤(x−y)2；
(3)令x= 3m−5，y= m−2，则x2−3y2=1，即x21−y213=1，
由(2)得，M= 3m−5− m−2=x−y≥ 1−13= 63，
当且仅当13x2=3y2且x2−3y2=1，即x= 62，y= 66时取等号，此时m=136，
故M的最小值为 63．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={−2,−1,0,1,3}，N={x|−3≤x≤2}，则M∩N=( )
A. {−2,−1,0,1}B. ⌀C. {−2,−1,1}D. 2
2.已知集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|−1
3.下列函数中，表示同一个函数的是( )
A. y=x2与y=( x)4
B. y= x+1⋅ x−1与y= x2−1
C. y=|x|x与y=1(x≥0)−1(x<0)
D. y=x2与S=a2
4.命题p：∀x>2，x2−1>0，则￢p是( )
A. ∀x>2，x2−1≤0B. ∀x≤2，x2−1>0
C. ∃x>2，x2−1≤0D. ∃x≤2，x2−1≤0
5.若x>0，y>0，且2x+y=xy，则2x+y的最小值是( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
6.对于集合M，N，定义M−N={x|x∈M且x∉N}，M⊕N=(M−N)∪(N−M)，设A={x|x≥−94,x∈R}，B={x|x<0,x∈R}，则A⊕B=( )
A. {x|−94
7.若变量x，y满足约束条件3≤2x+y≤96≤x−y≤9则z=x+2y的最小值为( )
A. −10B. −6C. −4D. 0
8.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|x<−2或x>−1}，则不等式2x2+bx+a<0的解集为( )
A. {x|−1
C. {x|−1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设A={x|x2−5x+4=0}，B={x|ax−1=0}，若A∪B=A，则实数a的值可以是( )
A. 0B. 14C. 4D. 1
10.下面命题正确的是( )
A. “a>1”是“1a<1”的充分不必要条件
B. “m<0”是“二次方程x2+(m−3)x+m=0有一正根一负根”的充要条件
C. “x≤1且y≤1”是“x+y≤2”的充要条件
D. 设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
11.若关于x的不等式ax2+bx+12>0的解集为(−1,12)，则下列说法正确的是( )
A. a>0
B. a=2b
C. −ax2+12x+b≥0的解集为(−∞,−1]∪[12,+∞)
D. f(x)=ax2+bx+12的最小值为716
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知f(2x+1)=6x+5，则f(x)= ______．
13.命题“∃x∈R，不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4≥0”是假命题，则a的取值范围是______．
14.若关于x的不等式x2−(2a+1)x+2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)= x+5+1x−7．
(1)求函数的定义域；
(2)求f(11)，f(54)的值；
(3)当a>0时，求f(a)，f(a−1)的值．
16.(本小题15分)
已知集合A={x|2a−1
(2)若“x∈B”是“x∈A”成立的必要条件，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
设集合P={x|−2
(2)若P∩Q=⌀，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
完成下列各题：
(Ⅰ)如图(1)，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域．若每个区域的面积为24m2，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值．
(Ⅱ)如图(2)，某学校要在长为8m，宽为6m的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为xm，中间植草坪．若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？
19.(本小题17分)
问题：正实数a，b满足a+b=1，求1a+2b的最小值.其中一种解法是：
1a+2b=(1a+2b)(a+b)=1+ba+2ab+2≥3+2 2，当且仅当ba=2ab且a+b=1时，即a= 2−1且b=2− 2时取等号，学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数x，y满足x+y=1，求2x+3y的最小值：
(2)若实数a，b，x，y满足x2a2−y2b2=1，求证：a2−b2≤(x−y)2；
(3)求代数式M= 3m−5− m−2的最小值，并求出使得M最小的m的值．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.C
5.A
6.C
7.B
8.C
9.ABD
10.ABD
11.BC
12.3x+2
13.(−2,2]
14.{a|−1≤a<−12或32
∴函数的定义域满足x+5≥0x−7≠0，
解得x≥−5且x≠7，
∴函数的定义域{x|x≥−5且x≠7}．
(2)f(11)= 16+111−7=4+14=174，
f(54)= 54+5+154−7=52−423=10746．
(3)∵a>0，则f(a)= a+5+1a−7，
f(a−1)= a+4+1a−8．
16.解：(1)因为当a=−1时，A={x|−3
当A=⌀时，2a−1≥a+1，a≥2，满足A⊆B；
当A≠⌀时，a<2，
因为A⊆B，所以a<2−1≤2a−12≥a+1，解得0≤a≤1；
综上，实数a的取值范围为{a|0≤a≤1或a≥2}．
17.解：(1)由题意，集合P={x|−2
所以3a
综上所述，实数a的取值范围为[−23,12)；
(2)由题意，需分为Q=⌀和Q≠⌀两种情形进行讨论：
当Q=⌀时，3a≥a+1，
解得a≥12，满足题意；
当Q≠⌀时，
因为P∩Q=⌀，
所以a+1≤−23a
18.解：(Ⅰ)设每个区域的长与宽分别是xm和ym，
由题意可得xy=24，则彩带的总长l=4x+6y≥2 24xy=48，
当且仅当4x=6y，即x=6且y=4时，彩带的总长最小．
所以每个区域的长与宽分别是6m和4m时，彩带总长最小，彩带总长的最小值为48m；
(Ⅱ)设花卉带的宽度为x(0
由实际意义可得0
则2x+3y=2x+2yx+3x+3yy=5+2yx+3xy≥5+2 6，当且仅当2yx=3xy且x+y=1，即x= 6−2，y=3− 6时取等号，
此时2x+3y取得最小值5+2 6；
(2)证明：若实数a，b，x，y满足x2a2−y2b2=1，
则a2−b2=(a2−b2)(x2a2−y2b2)=x2+y2−(b2x2a2+a2y2b2)≤x2+y2−2 b2x2a2⋅a2y2b2=x2+y2−2|xy|≤x2+y2−2xy=(x−y)2，
当且仅当b2x2a2=a2y2b2且xy≥0时取等号，
所以a2−b2≤(x−y)2；
(3)令x= 3m−5，y= m−2，则x2−3y2=1，即x21−y213=1，
由(2)得，M= 3m−5− m−2=x−y≥ 1−13= 63，
当且仅当13x2=3y2且x2−3y2=1，即x= 62，y= 66时取等号，此时m=136，
故M的最小值为 63．
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