2024-2025学年河南省信阳市重点中学高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省信阳市重点中学高一（上）第一次月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={1,2,3}，则A∪B=( )
A. {1,2}B. {0,1,2}C. {−1,0,1,2}D. {−1,0,1,2,3}
2.函数f(x)= 1−x+1x的定义域为( )
A. (−∞,1]B. (−∞,0)C. (−∞,0)∪(0,1]D. (0,1]
3.设函数f(x)=x2−2x,x≥3−x+5,x<3，则f(f(1))=( )
A. −1B. 4C. 6D. 8
4.下列选项中的函数在R上为奇函数的是( )
A. f(x)=x+1xB. f(x)=x4−2x2
C. f(x)=x5+3x3D. f(x)=−x3+x+1
5.若关于x的不等式x2+px+q<0(p,q∈R)的解集为(−2,3)，则p+q=( )
A. −7B. −5C. 5D. 7
6.p：x2−2x−3<0，q：−1A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.命题p：∃x∈R，x2+2x+a<0为真命题，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,1)B. (−∞,0]C. (−∞,1]D. [−1,1)
8.已知不等式x+1x>a+1a−1对任意的x∈[2,+∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,1)∪(3,+∞)B. (−∞,1)∪(73,+∞)
C. (1,3)D. (1,73)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知−1A. 010.已知函数f(x)=−x2+4x的值域为[0,4]，则f(x)的定义域可以为( )
A. [1,3]B. [0,3]C. (1,4]D. [0,4]
11.已知f(x)=|x|x2+m(m∈R)，则下列关于f(x)的说法正确的是( )
A. f(x)是偶函数
B. 当m=2时，f(x)的单调增区间为(−∞,−2)，(0,2)
C. 当m=4时f(x)的值域[0,14]
D. 当m<0时，f(x)的值域为R
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)是奇函数，且f(−3)=7，则f(3)= ______．
13.函数f(x)=|x|的单调递减区间为______．
14.已知函数f(x)=(a+1)x+2a,x<1x2+2(a−1)x+3,x≥1满足对任意x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0成立，那么实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|x2−4≥0}，B={x|a≤x≤a+2}．
(1)当a=1时，求A∩B，A∪B；
(2)若A∩B≠⌀，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x−6x．
(1)证明：函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数；
(2)当x∈[2,6]，求函数f(x)的值域．
17.(本小题15分)
若正实数a，b满足：a+b=2．
(1)求ab的最大值；
(2)求1a+4b的最小值；
(3)求1a2+1b2的最小值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)是R上的偶函数，当x≤0，f(x)=−x2+4x−3，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(2m−1)19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax+b是奇函数，且f(1)=2．
(1)求实数a，b的值；
(2)若函数ℎ(x)=x2+m⋅f(x)在区间[2,+∞)递增，求实数m的取值范围；
(3)设g(x)=kx2+2kx+1(k≠0)，若对∀x1∈[−1,1]，∃x2∈[−1,2]，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数k的取值范围．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.C
5.A
6.B
7.A
8.B
9.AC
10.BCD
11.ACD
12.−7
13.(−∞,0]
14.[0,1]
15.解：(1)∵集合A={x|x2−4≥0}={x|x≤−2或x≥2}，B={x|a≤x≤a+2}，
∴a=1时，B={x|1≤x≤3}，
∴A∩B={x|2≤x≤3}，A∪B={x|x≤−2或x≥1}．
(2)集合A={x|x≤−2或x≥2}，B={x|a≤x≤a+2}，
若A∩B≠⌀，则a≤−2或a+2≥2，解得a≤−2或a≥0，
∴实数a的取值范围为(−∞,−2]∪[0,+∞)．
16.解：(1)证明：函数f(x)=x−6x，
任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1由f(x1)−f(x2)=(x1−6x1)−(x2−6x2)=(x1−x2)−6(x2−x1)x1x2=(x1−x2)(1+6x1x2)，
因00，x1−x2<0，故f(x1)即函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数；
(2)由(1)的结论：函数f(x)在[2,6]上也是增函数，
则f(2)≤f(x)≤f(6)，即−1≤f(x)≤5，
故函数f(x)的值域为[−1,5]．
17.解：(1)正实数a，b满足a+b=2≥2 ab，
则ab≤1，当且仅当a=b=1时等号成立，
所以ab的最大值为1．
(2)1a+4b=12(1a+4b)(a+b)=12(1+ba+4ab+4)≥12(5+2 ba⋅4ab)=92，
当且仅当ba=4ab且a+b=2，即a=23,b=43时等号成立，
所以1a+4b的最小值为92．
(3)正实数a，b满足a+b=2，
1a2+1b2=14[(a+b)2a2+(a+b)2b2]=14[1+2ba+(ba)2+1+2ab+(ab)2]=14[(ab+ba)2+2(ab+ba)]，
ab+ba≥2 ab⋅ba=2，当且仅当ab=ba且a+b=2，即a=b=1时等号成立，
所以(ab+ba)2≥4，
则14[(ab+ba)2+2(ab+ba)]≥14(22+2×2)=2，
所以1a2+1b2的最小值为2．
18.解：(1)函数f(x)是R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=−x2+4x−3，
当x>0时，则−x<0，
则f(x)=f(−x)=−(−x)2+4(−x)−3=−x2−4x−3，
所以函数f(x)的解析式为f(x)=−x2−4x−3,x>0−x2+4x−3,x≤0．
(2)因为y=−x2+4x−3的开口向下，对称轴为x=2，
可知函数f(x)在(−∞,0]内单调递增，
且函数f(x)是R上的偶函数，可知函数f(x)在[0,+∞)内单调递减，
若f(2m−1)|m+1|，
整理可得m2−2m>0，解得m>2或m<0，
所以实数m的取值范围为(−∞,0)∪(2,+∞)．
19.解：(1)因为函数f(x)=ax+b是奇函数，且f(1)=2，
又因为x∈R，
所以f(0)=b=0f(1)=a+b=2，解得a=2b=0，
所以a=2，b=0；
(2)由(1)得ℎ(x)=x2+2mx，
因为函数ℎ(x)=x2+m⋅f(x)=x2+2mx在区间[2,+∞)递增，
ℎ(x)的开口向上，对称轴为x=−m，
所以−m≤2，解得m≥−2，
所以实数m的取值范围为[−2,+∞)；
(3)对于f(x)=2x，当x1∈[−1,1]，易知值域为[−2,2]，
由对∀x1∈[−1,1]，∃x2∈[−1,2]，使得f(x1)=g(x2)成立，
所以f(x)在区间[−1,1]的值域为g(x)在区间[−1,2]上值域的子集，
g(x)=kx2+2kx+1(k≠0)的对称轴为x=−1，
当k>0时，可知g(x)在区间[−1,2]上单调递增，
此时g(x)值域为[1−k,1+8k]，
由[−2,2]⊆[1−k,1+8k]，可得−2≥1−k2≤1+8k，即k≥3k≥18，解得k≥3．
当k<0，可知g(x)在区间[−1,2]上单调递减，此时值域为[1+8k,1−k]，
所以[−2,2]⊆[1+8k,1−k]，可得−2≥1+8k2≤1−k，即k≤−38k≤−1，解得k≤−1．
综上所述：实数k的取值范围(−∞,−1]∪[3,+∞)．