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2024-2025学年江苏省镇江市五校联考高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）
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这是一份2024-2025学年江苏省镇江市五校联考高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R，集合A={0,1,2,3}，B={x|1A. {3}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2,3}
2.将函数f(x)=sinx的图象先向左平移π4个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数y=g(x)的图象，则g(π2)=( )
A. − 22B. 1C. 22D. −1
3.已知函数f(x)=1−22x+1，则对任意实数x，有( )
A. f(−x)+f(x)=0B. f(−x)−f(x)=0
C. f(−x)+f(x)=2D. f(−x)−f(x)=2
4.“−1A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知α，β都为锐角，csα=17，cs(α+β)=−1114，则csβ等于( )
A. 12B. −7198C. −12D. 7198
6.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时大约是( )(π≈3.14)
A. 1895秒B. 1896秒C. 1985秒D. 2528秒
7.在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为5：7：8，现从这三个地区任意选取一人，则这个人患流感的概率为( )
A. 0.515B. 0.05C. 0.0495D. 0.0485
8.已知f(x)=−x2−csx，若a=f(e−34)，b=f(ln45)，c=f(−14)，则a，b，c的大小关系为( )
A. c二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组数据x1，x2，…，x10是公差为−2的等差数列，去掉首末两项x1，x10后得到一组新数据，则( )
A. 两组数据的极差相同B. 两组数据的中位数相同
C. 两组数据的平均数相同D. 两组数据的标准差相同
10.已知函数f(x)=sin(3x+π3)，下列说法正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为2π3
B. 点(π6,0)为f(x)图象的一个对称中心
C. 若f(x)=a(a∈R)在x∈[−π18,π9]上有两个实数根，则 32≤a<1
D. 若f(x)的导函数为f′(x)，则函数y=f(x)+f′(x)的最大值为 10
11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，点P满足CP=λCD+μCC1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列结论正确的是( )
A. 当B1P//平面A1BD时，B1P不可能垂直CD1
B. 若B1P与平面CC1D1D所成角为π4，则点P的轨迹长度为π2
C. 当λ=1时，正方体经过点A1、P、C的截面面积的取值范围为[ 64, 2]
D. 当λ=μ时，|DP|+|A1P|的最小值为 2+ 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设A，B是一个随机试验中的两个事件，若P(B)=35，P(A|B)=13，P(A+B)=23，则P(A)= ______．
13.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.例如：[−2.1]=−3，[3.1]=3，若函数f(x)=2x+52x+1，则函数y=[f(x)]的值域为______．
14.已知函数f(x)=x3+2x，若m>0，n>0，且f(2m)+f(n−1)=f(0)，则1m+2n的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin(B+C)=2 3sin2A2．
(1)求角A的大小；
(2)若b=3，BC边上的高为3 217，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位．
(1)求质点移动5次后移动到1的位置的概率；
(2)设移动5次中向右移动的次数为X，求X的分布列和期望．
17.(本小题15分)
设函数f(x)=sinx+csx(x∈R)．
(1)求函数y=[f(x+π2)]2的最小正周期；
(2)求函数y=f(x)f(x−π4)在[0,π2]上的最大值．
18.(本小题15分)
如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，∠DAB=60°，AB=AD=4，等腰直角三角形ADE中，AE=DE，且平面ADE⊥平面ABC，平面ABE与平面CDE交于EF．
(I)求证：CD//EF；
(Ⅱ)若CD=EF，求二面角A−BC−F的余弦值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x−1x−alnx．
(1)若不等式f(x)≥0在(1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：i=2n(1i2lni)>(n+2)(n−1)2n(n+1)．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.D
5.A
6.C
7.D
8.D
9.BC
10.ACD
11.BD
12.415
13.{1,2,3,4}
14.8
15.解：(1)因为A，B，C为△ABC的内角，
所以sin(B+C)=sinA，
因为sin2A2=1−csA2，
所以sin(B+C)=2 3sin2A2可化为：sinA= 3(1−csA)，
即sinA+ 3csA= 3，即2(12sinA+ 32csA)= 3，
即2sin(A+π3)= 3，
因为0所以A=π3；
(2)由三角形面积公式得12b⋅csinA=12×3 217a，所以a= 72c，
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA得：c2+4c−12=0，
解得：c=2或c=−6舍去，则a= 7，
所以△ABC的周长为5+ 7．
16.解：(1)由题意，从原点O处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位，
可得质点向左或向右移动的概率均为12，且是等可能的，
要使得质点移动5次后移动到1的位置，则质点向右移动3次，向左移动2次，
所以概率为P=C53(12)3(12)2=1032=516．
(2)由题意知，质点向左或向右移动的概率均为12，且是等可能的，
移动5次中向右移动的次数为X，可得随机变量X可能取值为0，1，2，3，4，5，
可得P(X=0)=C50(12)0(12)5=132，P(X=1)=C51(12)1(12)4=532，
P(X=2)=C52(12)2(12)3=1032=516，P(X=3)=C53(12)3(12)2=1032=516，
P(X=4)=C54(12)4(12)1=532，P(X=5)=C55(12)5(12)0=132，
所以变量X的分布列为：
数学期望为E(X)=5×12=52．
17.解：(1)∵函数f(x)=sinx+csx(x∈R)，
∴函数y=[f(x+π2)]2=[sin(x+π2)+cs(x+π2)]2=(csx−sinx)2=1−sin2x 的最小正周期为2π2=π．
(2)函数y=f(x)f(x−π4)=(sinx+csx)⋅[sin(x−π4)+cs(x−π4)]=(sinx+csx)⋅sinx
=sin2x+sinxcsx=1−cs2x2+12sin2x=12(sin2x−cs2x)+12= 22sin(2x−π4)+12，
在[0,π2]上．2x−π4∈[−π4,3π4]，
故当2x−π4=π2时，函数y取得最大值为 22+12= 2+12．
18.解：(1)因为AB//CD，AB⊂平面ABFE，CD⊄平面ABFE，
所以CD//平面ABFE，
又因为平面ABE∩平面CDE=EF，CD⊂平面CDE，
所以CD//EF；
(2)取AD中点O，连接OE，OB，DB，
因为∠DAB=60°，AB=AD=4，所以△ABD是等边三角形，
由三线合一得：OB⊥AD，
又因为△ADE是等腰直角三角形，所以OE⊥AD，
因为平面ADE⊥平面ABC，平面ADE∩平面ABC=AD，OE⊂平面ADE，
所以OE⊥平面ABCD，又OB⊂平面ABCD，
所以OE⊥OB，故OA，OB，OE三线两两垂直，
如图，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，B(0,2 3,0)，C(−3, 3,0)，D(−2,0,0)，E(0,0,2)，
因为CD=EF，且由(1)知CD//EF，所以四边形CDEF为平行四边形，可得F(−1, 3,2)，
所以BC=(−3,− 3,0)，CF=(2,0,2)，
设平面BCF的一个法向量为n1=(x,y,z)，
则n1⋅BC=−3x− 3y=0n1⋅CF=2x+2z=0，取x=1，则n1=(1,− 3,−1)，
又平面ABC的一个法向量可取n2=(0,0,1)，
所以cs〈n1,n2〉=n1⋅n2|n1||n2|=−1 5=− 55，
设二面角A−BC−F的大小为θ，由题意θ为锐角，
所以csθ=|cs〈n1,n2〉|= 55，
所以二面角A−BC−F的余弦值为 55．
19.解：(1)f(x)=x−1x−alnx，x∈(1,+∞)，a∈R，f(1)=0．
f′(x)=1+1x2−ax=x2−ax+1x，
a≤2时，x2−ax+1≥x2−2x+1=(x−1)2≥0，
∴f′(x)≥0，函数f(x)在x∈(1,+∞)上单调递增，∴f(x)>f(1)=0恒成立，满足条件．
a>2时，对于方程x2−ax+1=0，其Δ=a2−4>0，方程有两个不相等的实数根x1，x2，
∵x1+x2=a>2，x1x2=1，∴0x∈(1,x2)时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减，∀x∈(1,x2)，则f(x)综上可得：实数a的取值范围是(−∞,2]．
(2)证明：由(1)可知：取a=2时，函数f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，
∴x−1x−2lnx>0在x∈(0,+∞)上恒成立，
令x=n≥2，则2lnn∴1n2lnn>2n(n2−1)=1n(n−1)−1n(n+1)，
∴i=2n(1i2lni)>12−16+16−112+…+1n(n−1)−1n(n+1)]=12−1n(n+1)=(n+2)(n−1)2n(n+1)，
∴i=2n(1i2lni)>(n+2)(n−1)2n(n+1)． X
0
1
2
3
4
5
P
132
532
516
516
532
132
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R，集合A={0,1,2,3}，B={x|1
2.将函数f(x)=sinx的图象先向左平移π4个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数y=g(x)的图象，则g(π2)=( )
A. − 22B. 1C. 22D. −1
3.已知函数f(x)=1−22x+1，则对任意实数x，有( )
A. f(−x)+f(x)=0B. f(−x)−f(x)=0
C. f(−x)+f(x)=2D. f(−x)−f(x)=2
4.“−1
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知α，β都为锐角，csα=17，cs(α+β)=−1114，则csβ等于( )
A. 12B. −7198C. −12D. 7198
6.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时大约是( )(π≈3.14)
A. 1895秒B. 1896秒C. 1985秒D. 2528秒
7.在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为5：7：8，现从这三个地区任意选取一人，则这个人患流感的概率为( )
A. 0.515B. 0.05C. 0.0495D. 0.0485
8.已知f(x)=−x2−csx，若a=f(e−34)，b=f(ln45)，c=f(−14)，则a，b，c的大小关系为( )
A. c
9.一组数据x1，x2，…，x10是公差为−2的等差数列，去掉首末两项x1，x10后得到一组新数据，则( )
A. 两组数据的极差相同B. 两组数据的中位数相同
C. 两组数据的平均数相同D. 两组数据的标准差相同
10.已知函数f(x)=sin(3x+π3)，下列说法正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为2π3
B. 点(π6,0)为f(x)图象的一个对称中心
C. 若f(x)=a(a∈R)在x∈[−π18,π9]上有两个实数根，则 32≤a<1
D. 若f(x)的导函数为f′(x)，则函数y=f(x)+f′(x)的最大值为 10
11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，点P满足CP=λCD+μCC1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列结论正确的是( )
A. 当B1P//平面A1BD时，B1P不可能垂直CD1
B. 若B1P与平面CC1D1D所成角为π4，则点P的轨迹长度为π2
C. 当λ=1时，正方体经过点A1、P、C的截面面积的取值范围为[ 64, 2]
D. 当λ=μ时，|DP|+|A1P|的最小值为 2+ 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设A，B是一个随机试验中的两个事件，若P(B)=35，P(A|B)=13，P(A+B)=23，则P(A)= ______．
13.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.例如：[−2.1]=−3，[3.1]=3，若函数f(x)=2x+52x+1，则函数y=[f(x)]的值域为______．
14.已知函数f(x)=x3+2x，若m>0，n>0，且f(2m)+f(n−1)=f(0)，则1m+2n的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin(B+C)=2 3sin2A2．
(1)求角A的大小；
(2)若b=3，BC边上的高为3 217，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位．
(1)求质点移动5次后移动到1的位置的概率；
(2)设移动5次中向右移动的次数为X，求X的分布列和期望．
17.(本小题15分)
设函数f(x)=sinx+csx(x∈R)．
(1)求函数y=[f(x+π2)]2的最小正周期；
(2)求函数y=f(x)f(x−π4)在[0,π2]上的最大值．
18.(本小题15分)
如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，∠DAB=60°，AB=AD=4，等腰直角三角形ADE中，AE=DE，且平面ADE⊥平面ABC，平面ABE与平面CDE交于EF．
(I)求证：CD//EF；
(Ⅱ)若CD=EF，求二面角A−BC−F的余弦值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x−1x−alnx．
(1)若不等式f(x)≥0在(1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：i=2n(1i2lni)>(n+2)(n−1)2n(n+1)．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.D
5.A
6.C
7.D
8.D
9.BC
10.ACD
11.BD
12.415
13.{1,2,3,4}
14.8
15.解：(1)因为A，B，C为△ABC的内角，
所以sin(B+C)=sinA，
因为sin2A2=1−csA2，
所以sin(B+C)=2 3sin2A2可化为：sinA= 3(1−csA)，
即sinA+ 3csA= 3，即2(12sinA+ 32csA)= 3，
即2sin(A+π3)= 3，
因为0
(2)由三角形面积公式得12b⋅csinA=12×3 217a，所以a= 72c，
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA得：c2+4c−12=0，
解得：c=2或c=−6舍去，则a= 7，
所以△ABC的周长为5+ 7．
16.解：(1)由题意，从原点O处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位，
可得质点向左或向右移动的概率均为12，且是等可能的，
要使得质点移动5次后移动到1的位置，则质点向右移动3次，向左移动2次，
所以概率为P=C53(12)3(12)2=1032=516．
(2)由题意知，质点向左或向右移动的概率均为12，且是等可能的，
移动5次中向右移动的次数为X，可得随机变量X可能取值为0，1，2，3，4，5，
可得P(X=0)=C50(12)0(12)5=132，P(X=1)=C51(12)1(12)4=532，
P(X=2)=C52(12)2(12)3=1032=516，P(X=3)=C53(12)3(12)2=1032=516，
P(X=4)=C54(12)4(12)1=532，P(X=5)=C55(12)5(12)0=132，
所以变量X的分布列为：
数学期望为E(X)=5×12=52．
17.解：(1)∵函数f(x)=sinx+csx(x∈R)，
∴函数y=[f(x+π2)]2=[sin(x+π2)+cs(x+π2)]2=(csx−sinx)2=1−sin2x 的最小正周期为2π2=π．
(2)函数y=f(x)f(x−π4)=(sinx+csx)⋅[sin(x−π4)+cs(x−π4)]=(sinx+csx)⋅sinx
=sin2x+sinxcsx=1−cs2x2+12sin2x=12(sin2x−cs2x)+12= 22sin(2x−π4)+12，
在[0,π2]上．2x−π4∈[−π4,3π4]，
故当2x−π4=π2时，函数y取得最大值为 22+12= 2+12．
18.解：(1)因为AB//CD，AB⊂平面ABFE，CD⊄平面ABFE，
所以CD//平面ABFE，
又因为平面ABE∩平面CDE=EF，CD⊂平面CDE，
所以CD//EF；
(2)取AD中点O，连接OE，OB，DB，
因为∠DAB=60°，AB=AD=4，所以△ABD是等边三角形，
由三线合一得：OB⊥AD，
又因为△ADE是等腰直角三角形，所以OE⊥AD，
因为平面ADE⊥平面ABC，平面ADE∩平面ABC=AD，OE⊂平面ADE，
所以OE⊥平面ABCD，又OB⊂平面ABCD，
所以OE⊥OB，故OA，OB，OE三线两两垂直，
如图，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，B(0,2 3,0)，C(−3, 3,0)，D(−2,0,0)，E(0,0,2)，
因为CD=EF，且由(1)知CD//EF，所以四边形CDEF为平行四边形，可得F(−1, 3,2)，
所以BC=(−3,− 3,0)，CF=(2,0,2)，
设平面BCF的一个法向量为n1=(x,y,z)，
则n1⋅BC=−3x− 3y=0n1⋅CF=2x+2z=0，取x=1，则n1=(1,− 3,−1)，
又平面ABC的一个法向量可取n2=(0,0,1)，
所以cs〈n1,n2〉=n1⋅n2|n1||n2|=−1 5=− 55，
设二面角A−BC−F的大小为θ，由题意θ为锐角，
所以csθ=|cs〈n1,n2〉|= 55，
所以二面角A−BC−F的余弦值为 55．
19.解：(1)f(x)=x−1x−alnx，x∈(1,+∞)，a∈R，f(1)=0．
f′(x)=1+1x2−ax=x2−ax+1x，
a≤2时，x2−ax+1≥x2−2x+1=(x−1)2≥0，
∴f′(x)≥0，函数f(x)在x∈(1,+∞)上单调递增，∴f(x)>f(1)=0恒成立，满足条件．
a>2时，对于方程x2−ax+1=0，其Δ=a2−4>0，方程有两个不相等的实数根x1，x2，
∵x1+x2=a>2，x1x2=1，∴0
(2)证明：由(1)可知：取a=2时，函数f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，
∴x−1x−2lnx>0在x∈(0,+∞)上恒成立，
令x=n≥2，则2lnn
∴i=2n(1i2lni)>12−16+16−112+…+1n(n−1)−1n(n+1)]=12−1n(n+1)=(n+2)(n−1)2n(n+1)，
∴i=2n(1i2lni)>(n+2)(n−1)2n(n+1)． X
0
1
2
3
4
5
P
132
532
516
516
532
132
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