2024-2025学年江西省景德镇市乐平市私立洪马中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省景德镇市乐平市私立洪马中学高二（上）期中数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P，Q两点，且∠POQ=120°(其中O为原点)，则k的值为( )
A. − 3或 3B. 3C. − 2或 2D. 2
2.过点M(2,1)的直线l与x轴，y轴分别交于P，Q两点，且|MP|=|MQ|，则l的方程是( )
A. x−2y+3=0B. 2x−y−3=0C. 2x+y−5=0D. x+2y−4=0
3.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )．
A. 22B. 2−12C. 2− 2D. 2−1
4.已知抛物线的焦点在直线x−2y−4=0上，则此抛物线的标准方程是( )
A. y2=16xB. x2=−8y
C. y2=16x或x2=−8yD. y2=16x或x2=8y
5.已知过点A(2,0)与圆x2+y2−4y−1=0相切的两条直线分别是l1，l2，若l1，l2的夹角为α，则tanα=( )
A. − 154B. 154C. − 15D. 15
6.已知抛物线C：x2=2py的焦点为F，定点M(2 3,0)，若直线FM与抛物线C相交于A，B两点(点B在F，M中间)，且与抛物线C的准线交于点N，若|BN|=7|BF|，则AF的长为( )
A. 78B. 1C. 76D. 3
7.已知平行于x轴的一条直线与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)相交于P，Q两点，PQ=4a，∠PQO=π4(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( )
A. 133B. 213C. 6D. 5
8.设A，B是椭圆C：x24+y2k=1长轴的两个端点，若C上存在点P满足∠APB=120°，则k的取值范围是( )
A. (0,43]∪[12,+∞)B. (0,23]∪[6,+∞)C. (0,23]∪[12,+∞)D. (0,43]∪[6,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线C：x2a2−y2=1(a>0)的左，右焦点分别是F1，F2，左，右顶点分别是A，B，点P在C上，l是C的一条渐近线，O是坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 焦点F2到l的距离为1
B. 若|OP|=|OF1|，则△F1PF2的面积为1
C. 若l的倾斜角为30°，则其实轴长为 3
D. 若直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2=1a2
10.已知斜率为 3的直线l经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|=8，则以下结论正确的是( )
A. 1|AF|+1|BF|=1B. |AF|=6
C. |BD|=2|BF|D. F为AD中点
11.已知点P是椭圆C：x216+y2=1上的动点，Q是圆D：(x+1)2+y2=1上的动点，则( )
A. 椭圆C的离心率为 154
B. 椭圆C的短轴长为1
C. 椭圆C的右焦点为F，则|FQ|的最大值为 15+2
D. |PQ|的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆心为直线x−y+2=0与直线2x+y−8=0的交点，且过原点的圆的标准方程是 ．
13.设直线x−3y+m=0(m≠0)与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是 ．
14.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1⋅MF2=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x−y+1=0与l2：x−y−1=0所截得的线段的中点M在直线x+y−3=0上.求直线l的方程．
16.(本小题12分)
已知圆M过C(1,−1)，D(−1,1)两点，且圆心M在x+y−2=0上．
(Ⅰ)求圆M的方程；
(Ⅱ)设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
17.(本小题12分)
已知双曲线C的渐近线方程为y=± 33x，且过点P(3, 2)．
(1)求C的方程；
(2)设Q(1,0)，直线x=t(t∈R)不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，求证：直线AD过定点．
18.(本小题12分)
已知以F(1,0)为焦点的抛物线C1的顶点为原点，点P是抛物线C1的准线上任意一点，过点P作抛物线C1的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，设直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．
(1)若点P的纵坐标为1，计算k1⋅k2的值；
(2)求证：直线AB过定点，并求出这个定点的坐标．
19.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(0, 3)，离心率为12，左右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)P，N是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为−34，证明：M，N两点的横坐标之和为常数．
参考答案
1.A
2.D
3.D
4.C
5.D
6.C
7.B
8.A
9.ABD
10.BCD
11.AC
12.(x−2)2+(y−4)2=20
13. 52
14.0, 22
15.解：∵点M在直线x+y−3=0上，
∴设点M坐标为(t,3−t)，则点M到l1、l2的距离相等，即|2t−2| 2=|2t−4| 2，解得t=32
∴M(32,32)
又l过点A(2,4)，即5x−y−6=0，
故直线l的方程为5x−y−6=0．
16.解：(1)设圆M的方程为：(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，
根据题意得(1−a)2+(−1−b)2=r2(−1−a)2+(1−b)2=r2a+b−2=0，解得：a=b=1，r=2，
故所求圆M的方程为：(x−1)2+(y−1)2=4；
(2)由题知，四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM=12(|AM||PA|+|BM||PB|)．
又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，
而|PA|2=|PM|2−|AM|2=|PM|2−4，
即S=2 |PM|2−4．
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min=3+4+85=3，所以四边形PAMB面积的最小值为2 |PM|2−4=2 5．
17.(1)解：由题可知，双曲线焦点在x轴上，可设双曲线标准方程为x2a2−y2b2=1，则ba= 339a2−2b2=1，解得a2=3b2=1，所以双曲线方程为x23−y2=1．
(2)解：显然直线BQ的斜率不为零，设直线BQ为x=my+1，Bx1,y1,Dx2,y2,Ax1,−y1，联立x23−y2=1x=my+1，消x整理得m2−3y2+2my−2=0，依题意得m2−3≠0且Δ=4m2+8m2−3>0，即m2>2且m2≠3，y1+y2=−2mm2−3,y1y2=−2m2−3，直线AD的方程为y+y1=y2+y1x2−x1x−x1，令y=0，得x=x2−x1y1y2+y1+x1=my1+1y2+my2+1y1y2+y1=2my2y1+y2+y1y2+y1=−6mm2−3−2m2−3=3，所以直线AD过定点3,0．
18.解：(1)抛物线方程为y2=4x，所以其准线方程为x=−1，
点P是抛物线C1的准线上点，且纵坐标为1，所以过P(−1,1)作抛物线切线，
由题知斜率存在且不为0，设其斜率为k，则切线方程为y=k(x+1)+1⇒x=y−1k−1，
联立y2=4xx=y−1k−1⇒y2−4yk+4k+4=0，
Δ=(−4k)2−4(4k+4)=0⇒k2+k−1=0，其两根为k1，k2，
所以k1⋅k2=−1．
(2)证明：设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，
下面证明抛物线C2在其上一点A处的切线方程为y1y=2x+2x1，
联立y2=4xy1y=2x+2x1可得y2−2y1y+4x1=0，
即y2−2y1y+y12=0，即(y−y1)2=0，
解得y=y1，所以抛物线C2在其上一点A处的切线方程为y1y=2x+2x1，
同理可知，抛物线C2在其上一点B处的切线方程为y2y=2x+2x2，
将点P的坐标代入切线PA、PB的方程可得ty1=2x1−2ty2=2x2−2，即2x1−ty1−2=02x2−ty2−2=0，
所以，点A、B的坐标满足方程2x−ty−2=0，所以，直线AB的方程为2x−ty−2=0，
由2x−2=0y=0，可得x=1y=0，所以直线AB过定点(1,0)．
19.解：(1)因为椭圆经过点(0, 3)，所以b= 3；又因为e=12，所以ca=12；又c2=a2−b2，解得a=2,b= 3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1.……(4分)
(2)设P，M，N三点坐标分别为(xP,yP)，(xM,yM)，(xN,yN)，
设直线PM，PN斜率分别为k1，k2，则直线PM方程为y−yP=k1(x−xP)，
由方程组x24+y23=1y−yP=k1(x−xP)消去y，得(3+4k12)x2−8k1(k1xP−yP)x+4k12xP2−8k1xPyP+4yP2−12=0，
由根与系数关系可得xM+xP=8k1(k1xP−yP)3+4k12，
故xM=8k1(k1xP−yP)3+4k12−xP=4k12xP−8k1yP−3xP3+4k12，
同理可得xN+xP=8k2(k2xP−yP)3+4k22，
又k1⋅k2=−34，
故xN+xP=8k2(k2xP−yP)3+4k22=8(−34k1)(−34k1xP−yP)3+4(−34k1)2=6xP+8k1yP4k12+3，
则xN=6xP+8k1yP3+4k12−xP=−4k12xP−8k1yP−3xP3+4k12=−xM，
从而xN+xM=0．
即M，N两点的横坐标之和为常数．………………………………(12分)