2024-2025学年四川省成都七中高二（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省成都七中高二（上）段考数学试卷（10月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知点A(4,2 3),B(1, 3)，若向量AB是直线l的方向向量，则直线l的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.方程x2+y2−2x+2y=a表示圆，则实数a的取值范围是( )
A. [2,+∞)B. (2,+∞)C. [−2,+∞)D. (−2,+∞)
3.已知a=(1−t,2t−1,0),b=(2,t,t)，则|b−a|的最小值是( )
A. 5B. 6C. 2D. 3
4.已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，(A1,B1,C1≠0)与直线l2：A2x+B2y+C2=0，(A2,B2,C2≠0)，则直线l1，l2关于y轴对称的充要条件是( )
A. B1B2=C1C2B. −A1A2=B1B2C. −A1A2=B1B2≠C1C2D. −A1A2=B1B2=C1C2
5.在空间直角坐标系中，点A(1,2,−1)，B(2,−2,1)，C(0,0,2)，向量a是平面ABC的法向量，则向量a的坐标可以是( )
A. (8,5,6)B. (8,6,5)C. (6,5,8)D. (5,8,6)
6.已知平面上两点A(4,1)，B(0,4)，M是直线3x−y−1=0上一动点，则|MA|−|MB|的最大值为( )
A. 52B. 5C. 2 5D. 5
7.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，AA1=3，点M满足AM=λAB+(1−λ)AC1，(λ∈R)，点N满足AN=μAC+(1−μ)AD1,(μ∈R)，则向量MN模的最小值为( )
A. 1717B. 2 1717C. 3 1717D. 6 1717
8.平面内四个点M1(0,3)，M2(2,0)，M3(4,1)，M4(6,4)分布在直线l：Ax+By+C=0的两侧，且两侧的点到直线l的距离之和相等，则直线l过定点( )
A. (2,3)B. (3,2)C. (−2,−3)D. (−3,−2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记空间向量OA=a,OB=b,OC=c，向量a,b,c均为单位向量且两两夹角为60°.则下列命题中，正确的是( )
A. 向量a+b,b+c,a+c不能作为空间向量的基底 B. 向量a+b+c是平面ABC的法向量
C. 向量OD=13a+76b−12c，则D点在△ABC内 D. 向量c在向量a+b方向上的投影为 33
10.已知直线l：xsinα−ycsα=1，其中α∈[0,2π).有以下命题正确的有( )
A. 直线l的倾斜角为α
B. 若P(x,y)是直线l上的任意一点，则x2+y2≥1
C. 当α∈(π2,π)时，直线l与两坐标轴的截距之和的最小值为2 2
D. 集合{P|P∈l}，当α变化时，该集合在坐标平面内的补集构成的图形面积为π
11.在平面直角坐标系中，点A关于直线y=x的对称点为A′，向量OA′|OA|2对应的点叫做点A的仿射点，在下列选项中，对点A的仿射点的描述，正确的是( )
A. 若点A在圆x2+y2=1上，则点A到仿射点的距离的最大值为2
B. 点A的仿射点的仿射点是A
C. 若点A的轨迹是一条不过原点的直线，则其仿射点的轨迹是圆
D. 若点A的轨迹是圆，则其仿射点的轨迹是一条直线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(2,0,2)，B(1,2,4)，则直线AB与坐标平面Oxy的交点坐标为______．
13.已知直线l1：2x−y+2=0，l2：x−2y−2=0，若直线l1与l2关于直线l对称，则直线l的方程为______．
14.已知棱长为2的正四面体ABCD，动点P是正四面体ABCD内切球上一动点，则(PA+PB)⋅(PC+PD)的值等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某保险公司在2023年度给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70]分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示.(保费：元)据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元．

(1)用样本的频率分布估计总体的概率分布，判断该公司本年度是亏本还是盈利？
(2)经调查，年龄在[30,50)之间的中年人对该疾病的防范意识还比较弱，为加强宣传，按分层抽样的方法从年龄在[30,40)和[40,50)的中年人中选取6人进行教育宣讲，再从选取的6人中随机选取2人，被选中的2人免一年的保险费，求被免去的保费超过150元的概率．
16.(本小题15分)
已知△ABC的顶点A(5,1)，边AB上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，边AC上的高BH所在直线方程为x−2y−5=0．
(1)求顶点B，C的坐标；
(2)求过△ABC三个顶点的圆的方程，并求出该圆的圆心和半径．
17.(本小题15分)
已知点M(3,1)，直线l1：2ax−(a+1)y+4=0，(a∈R)，l2：x+2y+1=0，l3：x−y−2=0．
(1)若这三条直线不能围成三角形，求实数a的值；
(2)点M关于直线l1的对称点为N，求OM⋅ON的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC,∠ABC=90°,BA= 2,AA1=2，D是棱AC的中点，E在棱BB1上，且AE⊥A1C.

(1)证明：BD/​/平面AEC1；
(2)若点C1到平面ABB1A1的距离为 2，
①求直线BD到平面AEC1的距离；
②求平面AEC1与平面ABB1A1的夹角．
19.(本小题17分)
在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱CC1，AA1的中点，点P是正方形ABCD内一动点(包括正方形ABCD边界)．

(1)当∠A1PF取得最大值时，求点P在正方形ABCD内轨迹的长度；
(2)在(1)的条件下，求向量BP在向量BD1上投影的取值范围；
(3)当∠A1PE取得最大值时，求线段AP的长度．
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.D
5.A
6.B
7.D
8.B
9.BD
10.BCD
11.ABC
12.(3,−2,0)
13.x+y+4=0或x−y=0
14.−43
15.解：(1)根据题意可得(0.007+0.016+a+0.025+0.02)×10=1，∴a=0.032，
保险公司每年收取的保费为：10000(0.07×30+0.16×60+0.32×90+0.25×120+0.2×150)
=10000×100.5=1005000>1000000，
∴2023年度公司为盈利；
(2)∵年龄在[30,40)和[40,50)的中年人的频率之比为：
选取的6人中，有2人来自年龄在[30,40)，记这2人分别为a1，a2，
有4人来自年龄在[40,50)，记这4人分别为b1，b2，b3，b4，
从这6人中任取2人的所有基本事件有：
(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a1,b4)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(a2,b4)，
(b1,b2)，(b1,b3)，(b1,b4)，(b2,b3)，(b2,b4)，(b3,b4)，共15种，
其中保费超过150元的有(b1,b2)，(b1,b3)，(b1,b4)，(b2,b3)，(b2,b4)，(b3,b4)，共6种，
所以被免去保费超过150元的概率为p=615=25．
16.解：(1)已知△ABC的顶点A(5,1)，边AB上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，边AC上的高BH所在直线方程为x−2y−5=0．
则BH⊥AC，
又A(5,1)，
所以边AC所在直线方程为2x+y−11=0，
联立2x−y−5=02x+y−11=0，
解得x=4y=3，
即顶点C(4,3)，
设顶点B(x0,y0)，
则M(x0+52,y0+12)，
因为点M在直线2x−y−5=0上，
∴x0+5−y0+12−5=0，
即2x0−y0−1=0，
又点B在直线x−2y−5=0上，
即x0−2y0−5=0，
联立2x0−y0−1=0x0−2y0−5=0，
解得x=−1y=−3，
即顶点B(−1,−3)；
(2)设过A，B，C的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
分别将A，B，C的坐标代入圆的方程，
得5D+E+F+26=0−D−3E+F+10=04D+3E+F+25=0，
解得D=−94E=−58F=−1138，
所以过A，B，C的圆的方程为x2+y2−94x−58y−1138=0，
圆的标准方程为(x−98)2+(y−516)2=3965256，
即圆心为(98,516)，半径为 396516．
17.解：点M(3,1)，直线l1：2ax−(a+1)y+4=0，(a∈R)，l2：x+2y+1=0，l3：x−y−2=0．
(1)由已知三条直线不能围成三角形，则l1//l2或l1//l3或三条直线交于一点，
①当三条直线交于一点时，由x+2y+1=0x−y−2=0，解得x=1y=−1，即l2与l3相交于点(1,−1)，
则l1也过(1,−1)，即2a+(a+1)+4=0，解得a=−53；
②当l1//l3时，2a⋅(−1)+(a+1)=0，解得a=1；
③当l1//l2时，2a⋅2+(a+1)=0，解得a=−15；
(2)由直线l1：2ax−(a+1)y+4=0可化为a(2x−y)+(−y+4)=0，
令2x−y=0−y+4=0，解得x=2y=4，
即直线l1：2ax−(a+1)y+4=0恒过点C(2,4)，
又点M与点N关于直线l1对称，
即|CN|=|CM|= (2−3)2+(4−1)2= 10，
所以点N在以C(2,4)为圆心， 10为半径的圆上，
即点N(x,y)满足方程(x−2)2+(y−4)2=10，
又直线l1：2ax−(a+1)y+4=0若斜率存在，则斜率k=2aa+1=2−2a+1≠2，
过点C(2,4)，斜率为2的直线l′：y=2x，
设此时点M的对称点N′(x0,y0)，
即y0+12=2⋅x0+32y0−1x0−3⋅2=−1，解得x0=−1y0=3，即N′(−1,3)，
综上所述，动点N(x,y)的轨迹方程为(x−2)2+(y−4)2=10，且不包括点(−1,3)，
设点N(2+ 10csθ,4+ 10sinθ)，θ∈[0,2π)，且sinθ=− 1010，csθ=−3 1010不同时成立，
则OM=(3,1)，ON=(2+ 10csθ,4+ 10sinθ)，
即OM⋅ON=6+3 10csθ+4+ 10sinθ=10+10sin(θ+φ)，其中sinφ=3 1010，csφ= 1010，
所以sin(θ+φ)=sinθcsφ+csθsinφ≠−1，
即sin(θ+φ)∈(−1,1]，
则OM⋅ON=10+10sin(θ+φ)∈(0,20]．
18.(1)证明：因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，
又BC⊥AB，AB∩AA1=A，AB，AA1⊂平面ABB1A1，
所以BC⊥平面ABB1A1，
因为AE⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AE，
又AE⊥A1C，A1C∩BC=C，A1C，BC⊂平面A1BC，
所以AE⊥平面A1BC，
因为A1B⊂平面A1BC，所以AE⊥A1B，
在矩形ABB1A1中，AB= 2,AA1=2，
所以ABBE=tan∠AEB=tan∠ABA1=AA1AB，即 2BE=2 2，
解得BE=1=12BB1，即E为棱BB1的中点，
设A1B∩AE=F，连接A1D，交AC1于G，连接FG，

则A1GGD=A1C1AD=2=AA1BE=A1FFB，
所以BD/​/FG，
因为FG⊂平面AEC1，BD⊄平面AEC1，所以BD/​/平面AEC1．
(2)解：①由(1)知BC⊥平面ABB1A1，
所以BC就是点C1到平面ABB1A1的距离，即BC= 2，
以B为原点，BC，BA，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，A(0, 2,0),E(0,0,1),C1( 2,0,2),A1(0, 2,2)，
所以AE=(0,− 2,1),EC1=( 2,0,1),BA=(0, 2,0)，
设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AE=− 2y+z=0n⋅EC1= 2x+z=0，
令z= 2，则x=−1，y=1，所以n=(−1,1, 2)，
由(1)知BD/​/平面AEC1，
所以直线BD到平面AEC1的距离等价于点B到平面AEC1的距离，即|BA⋅n||n|= 22．
②取平面ABB1A1的法向量为m=(1,0,0)，
设平面AEC1与平面ABB1A1的夹角为θ，θ∈[0,π2]，
则csθ=|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|=12×1=12，
所以θ=π3，
故平面AEC1与平面ABB1A1的夹角为π3．
19.解：(1)棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱CC1，AA1的中点，点P是正方形ABCD内一动点，
设线段AP的长度为m，可得tan∠A1PF=tan∠A1PA−tan∠FPA1+tan∠A1PA⋅tan∠FPA=1m−12m1+12m2=m2m2+1=12m+1m≤12 2= 24，当且仅当m= 22时等号成立，
此时点P的轨迹为以A为圆心， 22为半径的圆(位于正方形ABCD内的一部分)，
所以点P在正方形ABCD内的轨迹的长度为：14×2π× 22= 24π．
(2)以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
设P(x,y,0)，由(1)可得(x−1)2+y2=12，
又由A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，可得BP=(x−1,y−1,0),BD1=(−1,−1,1)，
所以BP⋅BD1|BD1|=2−(x+y) 3，
因为(x−1)2+y2=12，其中− 22−1≤x≤1，0≤y≤ 22，
当x=1时，y= 22，当y=0时，x=1− 22，
整理得：BP⋅BD1|BD1|=2−(x+y) 3∈[2 3− 66,2 3+ 66]，
(3)连接AC，先证明：当∠A1PE取得最大值时，点P位于线段AC上，
如图所示，

过点P作AC的垂线，垂足为Q，连接A1Q，EQ，
记△A1QE的外接圆为M，
以A1E为轴，将△A1PE旋转至平面A1ECA内，
因为|PA1|>|QA1|,|PE|>|QE|，所以将△A1PE旋转至平面A1ECA内时，点P位于圆M外，
所以∠A1PE<∠A1QE，即若要使∠A1PE取得最大值，则点P位于线段AC上，
延长A1E，AC相交于点O，
在直角△A1C1E中，可得A1E=32，又因为E为CC1的中点，AA1//CE，可得OE=A1E=32，
在△A1PE中，由正弦定理得A1Esin∠A1PE=2R，
所以当△A1PE的外接圆半径最小值时，∠A1PE取得最大值，即△A1PE的外接圆与直线AC相切时，∠A1PE取得最大值，
可得OP2=OE⋅OA1=92，所以OP=3 22，
又因为OA=2 2，所以∠A1PE取得最大值时，AP= 22．
即点P为线段AC的中点． 年龄
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
保费
30
60
90
120
150