2024-2025学年湖北省武汉十七中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年湖北省武汉十七中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有一个红球，至少有一个白球B. 恰有一个红球，都是白球
C. 至少有一个红球，都是白球D. 至多有一个红球，都是红球
2.对空间任意一点O和不共线三点A，B，C，能得到A，B，C，D四点共面的是( )
A. OD=OA+2OB−3OCB. OD=12OA+13OB+16OC
C. OD=2OA−2OB−OCD. OD=14OA+34OB−OC
3.向量{a,b,c}是空间的一个单位正交基底，向量p在基底a，b，c下的坐标为(−1,2,3)，则p在基底{a+b,a−b,c}的坐标为( )
A. (12,−32,3)B. (−12,−32,3)C. (−12,32,3)D. (12,−32,−3)
4.如图，四面体OABC中，点E为OA中点，F为BE中点，G为CF中点，
设OA=a,OB=b,OC=c，若OG可用a,b,c表示为( )
A. 14a+14b+12c B. 18a+14b+12c
C. 18a+14b+14c D. 18a+18b+12c
5.在▵ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且▵ABC的面积S▵ABC= 3，S▵ABC= 34a2+c2−b2，则AB⋅BC=( )
A. 3B. − 3C. 2D. −2
6.如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为15，14，13，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是( )
A. 1825B. 725C. 6475D. 1175
7.已知二面角α−l−β的棱上两点A，C，线段AB与CD分别在这个二面角内的两个半平面内，并且都垂直于棱l.若AB=6，CD=8，AC=2，BD=12.则这两个平面的夹角的余弦值为( )
A. 512B. 45C. 35D. 34
8.在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为m=(a,b,c)(abc≠0)的直线l方程为x−x0a=y−y0b=z−z0c，经过点P(x0,y0,z0)且法向量为n=(λ,μ,ω)的平面方程为λ(x−x0)+μ(y−y0)+ω(z−z0)=0，已知：在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(0,0,1)的直线l方程为x2=y=1−z，经过点P的平面α的方程为x+y+2z−2=0，则直线l与平面α所成角的正弦值为( )
A. 16B. 15C. 56D. 1114
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设A，B为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为( )
A. 若P(A)=13，P(B)=12，则当且仅当P(A+B)=56时，A，B是互斥事件
B. 若P(A)=13，P(B)=23，则A+B是必然事件
C. 若P(A)=13，P(B)=23，则P(A+B)=79时A，B是独立事件
D. 若P(A−)=13,P(B−)=14，且P(A−B)=14，则A，B是独立事件
10.已知空间三点A(1,3,2)，B(0,2,4)，C(3,4,5)，则下列说法正确的是( )
A. AB⋅AC=3
B. AC在AB方向上的投影向量为(12,12,−1)
C. 点C到直线AB的距离为5 22
D. △ABC的面积为5 32
11.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，M为线段AP的中点，则( )
A. CM与PN是异面直线
B. 平面PAN⊥平面BDD1B1
C. 存在P点使得PN⊥AN
D. 当P为线段A1D1中点时，过A、M，N三点的平面截此正方体所得截面的面积为92
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在用随机数(整数)模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生0～9的随机整数，并且0∼4代表男生，用5∼9代表女生.因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组.通过模拟试验产生了20组随机数：
由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______．
13.已知平面α内一点P(8,9,5)，点Q(1,2,2)在平面α外，若α的一个法向量为n=(4,3,−12)，则Q到平面α的距离为______．
14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 3asinC−a−b=a2−b2−c22b，且△ABC的面积为 34(a+b+c)，则2a+b的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，BC=12AD，PA=AB=2，E为棱PD的中点．
(1)求证：EC//平面PAB；
(2)当PC=3时，求直线PC与平面BCE所成角的正弦值．
16.(本小题12分)
2023年，某省实行新高考，数学设有4个多选题，在给出的A，B，C，D四个选项中，有两项或三项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.现正在进行数学学科期中考试．
(1)根据以往经验，小李同学做对第一个多选的概率为34，做对第二个多选题的概率为12，对第三个多选题的概率为16.求小李同学前三个多选题错一个的概率．
(2)若最后一道数学多选题有三个正确的选项，而小智和小博同学完全不会做，只能对这道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的，若小智打算从中随机选择一个选项，小博打算从中随机选择两个选项．
(i)求小博得2分的概率；
(ii)求小博得分比小智得分高的概率．
17.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中底面为正三角形，AA1=4，AB=2，∠A1AB=∠A1AC=120°．
(1)证明：AA1⊥BC；
(2)求异面直线BC1与A1C所成角的余弦值．
18.(本小题12分)
2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富完成在轨驻留半年的太空飞行任务，标志着中国空间站关键技术验证阶段圆满完成.并将进入建造阶段，洪山区为了激发市民对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，这m人按年龄分成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这m人的第60百分位数；(精确到0.1)
(2)现从第四组和第五组用分层随机抽样的方法抽取6人，担任“党章党史”宣传使者．
①有甲(年龄36)，乙(年龄42)，且甲、乙确定入选，从6人中要选择两个人担任组长，求甲、乙两人至少有一人被选上组长的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄平均数和方差．
19.(本小题12分)
如图，在多面体ABCDEF中，侧面BCDF为菱形，侧面ACDE为直角梯形，AC//DE，AC⊥CD，N为AB的中点，点M为线段DF上一动点，且BC=2 3，AC=2DE，∠DCB=120°．
(1)若点M为线段DF的中点，证明：MN//平面ACDE；
(2)若平面BCDF⊥平面ACDE，且DE=2，问：线段DF上是否存在点M，使得直线MN与平面ABF所成角的正弦值为310？若存在，求出DMDF的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.B
5.D
6.C
7.A
8.A
9.ACD
10.ACD
11.BD
12.12
13.1
14.6+2 2
15.解：(1)证明：取PA中点为M，连接ME，MB，如下图所示：

在△PAD中，因为M，E分别为PA，PD的中点，
故ME//AD,ME=12AD，
又AD//BC,BC=12AD，
故ME/​/BC，ME=BC，则四边形MBCE为平行四边形，EC//MB，
又MB⊂面PAB，EC⊄面PAB，
故EC/​/面PAB．
(2)过点P作BM延长线的垂线，垂足为N，连接NC，如下图所示：

由(1)可知，EC//BM，
故平面BCE也即平面NMBCE，
因为AB⊥AD，BC/​/AD，
则BC⊥AB，
又PA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，
故BC⊥PA，
又PA∩AB=A，PA，AB⊂面PAB，
故BC⊥面PAB，
又PN⊂面PAB，则PN⊥BC，又PN⊥BN，
BC∩BN=B，BC，BN⊂面BCE，
故PN⊥面BCE，
则∠PCN即为PC与平面BCE的夹角，
在△ABM中，因为AB=2,AM=12PA=1，
则BM= AB2+AM2= 5，sin∠AMB=2 55，
在△PMN中，因为PM=12PA=1，∠AMB=∠PMN，
则PN=sin∠PMN×PM=2 55，
又PC=3，sin∠PCN=PNPC=2 553=2 515，
即直线PC与平面BCE所成角的正弦值为2 515．
16.解：(1)根据题意，设事件A=“小李同学前三个多选题错一个”，
则P(A)=(1−34)×12×16+34×(1−12)×16+34×12×(1−16)=1948；
(2)设小博得分为X，小智得分为Y，
(i)根据题意，最后一道数学多选题有三个正确的选项，不妨设正确的选项为ABC，
而小博打算从选项中随机选择两个选项，有AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种情况，
其中得2分的有AB、AC、BC，共3种情况，
则小博得2分的概率P(X=2)=36=12，
(ii)根据题意，由(i)的结论，P(X=2)=12，则P(X=0)=1−P(X=2)=12，
P(Y=2)=34，P(Y=0)=1−P(Y=2)=1−34=14，
故小博得分比小智得分高的概率P=P(X=2)P(Y=0)=12×14=18．
17.解：(1)证明：因为BC=AC−AB，所以AA1⋅BC=AA1⋅(AC−AB)=AA1⋅AC−AA1⋅AB
=|AA1|⋅|AC|cs−|AA1|⋅|AB|cs=0，所以AA1⊥BC，即AA1⊥BC；
(2)取AB的中点M，连接AC1交A1C于点O，连接CM、OM，则O为AC1的中点，

所以OM//BC1，所以∠COM为异面直线BC1与A1C所成角或其补角，
在等边三角形ABC中，CM= 22−12= 3，
在平行四边形ACC1A1中，A1C2=(AC−AA1)2=AC2−2AC⋅AA1+AA12
=22−2×2×4×(−12)+42=28，
所以|A1C|=2 7，所以|OC|= 7，因为AA1⊥BC，AA1/​/BB1，
所以BB1⊥BC，在矩形BCC1B1中，BC1= 22+42=2 5，所以OM= 5，
在OCM中由余弦定理cs∠COM=5+7−32× 5× 7=9 3570，
所以异面直线BC1与A1C所成角的余弦值为9 3570．
18.解：(1)设第60百分位数为a，
∵0.01×5+0.07×5=0.40.6，
∴a位于第三组：[30,35)内，
∴a=30+0.6−0.45×0.06×(35−30)≈33.3；
(2)①由题意得，第四组和第五组抽取人数之比为2：1，即第四组4人，记为A，B，C，甲，
第五组2人，记为D，乙，
对应的样本空间为：AB，AC，A甲，AD，A乙，BC，B甲，BD，B乙，C甲，CD，C乙，甲D，甲乙，D乙，共15个样本点，
设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”，
则有A甲，A乙，B甲，B乙，C甲，C乙，甲D，甲乙，D乙，共有9个样本点，
∴P(M)=915=35；
②设第四组的宣传使者的年龄平均数分为x−=36，方差为s12=52，
设第五组的宣传使者的年龄平均数为y−=42，方差为s22=1，
第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z−，方差为s2，
则z−=4x−6+2y−6=4×36+2×426=38，
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为38，s2=16{4×[s12+(x−−z−)2]+2×[s22+(y−−z−)2]}=10．
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10．
19.证明：(1)取AC的中点G，连接GN，DG，
因为M，N分别为DF，AB的中点，在菱形BCDF中，所以GN/​/BC，DM//BC，且GN=12BC=DM，
所以四边形MNGD为平行四边形，所以MN//DG，
而MN⊄平面ACDE，DG⊂平面ACDE，
可证得：MN/​/平面ACDE；
(2)因为平面BCDF⊥平面ACDE，∠DCB=120°，取DF的中点H，
由(1)可得CH⊥DF，菱形BCDF中，
即CH⊥BC，平面BCDF∩平面ACDE=BC，HC⊂平面BCDF，
所以HC⊥底面ABC，
所以HC⊥AC，而AC⊥CD，CM∩CD=C，
所以AC⊥平面BCDF，
所以AC⊥BC，
建立以CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CH所在的直线为z轴的空间直角坐标系，
因为BC=2 3，AC=2DE，因为DE=2，
所以AC=4，CH=ADsin60°=2 3× 32=3，HD=ADcs60°=2 3×12= 3，
则C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,2 3,0)，N(2, 3,0)，F(0, 3,3)，D(0,− 3,3)，
DF=(0,2 3,0)，AB=(−4,2 3,0)，AF(−4, 3,3)，ND=(−2,−2 3,3)，
设DMDF=λ，则DM=λDF=(0,2 3λ,0)，
NM=ND+DM=(−2,2 3λ−2 3,3)，
设平面ABF的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AB=0m⋅AF=0，即−4x+2 3y=0−4x+ 3y+3z=0，令x= 3，则y=2，z=2 33，即m=( 3,2,2 33)，
所以NM⋅m=−2 3+4 3λ−4 3+2 3=4 3λ，|m|= 3+4+43=5 33，|NM|= 4+(2 3λ−2 3)2+9，
|cs