2024-2025学年湖南省长沙一中高二（上）第一次段考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙一中高二（上）第一次段考数学试卷（10月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=3+i1+i，则z=( )
A. 3B. 5C. 3D. 5
2.无论λ为何值，直线(2λ+3)x+(λ+4)y+2(λ−1)=0过定点( )
A. (−2,2)B. (−2,−2)C. (−1,−1)D. (−1,1)
3.在平行四边形ABCD中，A(1,−2,3)，B(−4,5,6)，C(0,1,2)，则点D的坐标为( )
A. (5,−6,−1)B. (−5,8,5)C. (−5,6,1)D. (5,−8,−5)
4.已知sin(α+π3)=13，则cs(2α−π3)=( )
A. −79B. 79C. −29D. 29
5.直线2x−4y−1=0关于x+y=0对称的直线方程为( )
A. 4x−2y−1=0B. 4x−2y+1=0C. 4x+2y+1=0D. 4x+2y−1=0
6.已知椭圆C：x2m+y24=1(m>0)的离心率为 22，则m=( )
A. 2 2B. 2 2或 2C. 8或2D. 8
7.已知实数x，y满足y=x2−2x+2(0≤x≤3)，则y+4x+1的范围是( )
A. [2,6]B. (−∞,2]∪[6,+∞)
C. [2,94]D. (−∞,2]∪[94,+∞)
8.已知平面上一点M(5,0)若直线l上存在点P使|PM|=4，则称该直线为点M(5,0)的“相关直线”，下列直线中不是点M(5,0)的“相关直线”的是( )
A. y=x−3B. y=2C. 4x−3y=0D. 2x−y+1=0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l：x+λy−2−λ=0，圆C：x2+y2=1，O为坐标原点，下列说法正确的是( )
A. 若圆C关于直线l对称，则λ=−2
B. 点O到直线l的距离的最大值为 5
C. 存在两个不同的实数λ，使得直线l与圆C相切
D. 存在两个不同的实数λ，使得圆C上恰有三个点到直线l的距离为12
10.已知圆F1：(x+3)2+y2=m2(2≤m≤8)与圆F2：(x−3)2+y2=(10−m)2的一个交点为M，动点M的轨迹是曲线C，则下列说法正确的是( )
A. 曲线C的方程为x2100+y264=1
B. 曲线C的方程为x225+y216=1
C. 过点F1且垂直于x轴的直线与曲线C相交所得弦长为325
D. 曲线C上的点到直线4x+5 3y+51=0的距离的最大值为 91
11.在棱长为2的正方体ABCD−A′B′C′D′中，M为BC边的中点，下列结论正确的有( )
A. AM与D′B′所成角的余弦值为 1010
B. 过A，M，D′三点的正方体ABCD−A′B′C′D′的截面面积为3
C. 当P在线段A′C上运动时，|PB′|+|PM|的最小值为3
D. 若Q为正方体表面BCC′B′上的一个动点，E，F分别为AC′的三等分点，则|QE|+|QF|的最小值为2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.通过科学研究发现：地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1E2= ______．
13.直线(4a2+3)x−4ay+1=0的倾斜角的取值范围是______．
14.如图，设F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆交于点Q，若PF2=2F2Q，则直线PF1的斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知两圆x2+y2−2x−6y−1=0和x2+y2−10x−12y+m=0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当m=45时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
16.(本小题12分)
在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(csA−2csC)b=(2c−a)csB．
(1)求如sinCsinA的值；
(2)若csB=14,b=2，求▵ABC的面积．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC//AD，BC=4，点M为PC中点，点E为BC边上的动点．
(Ⅰ)求证：DM//平面PAB．
(Ⅱ)是否存在点E，使得二面角P−DE−B的余弦值为23？若存在，求出线段BE的长度；若不存在，说明理由．
18.(本小题12分)
某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示．

(1)由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的第60百分位数；
(2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在[70,90)内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率；
(3)若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x−，s12；n，y−，s22.记总的样本平均数为w−，样本方差为s2，证明：s2=1m+n{m[s12+(x−−w−)2]+n[s22+(y−−w−)2]}．
19.(本小题12分)
已知直线l与椭圆C：x23+y22=1交于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ= 62，其中O为坐标原点．
(Ⅰ)证明x12+x22和y12+y22均为定值；
(Ⅱ)设线段PQ的中点为M，求|OM|⋅|PQ|的最大值；
(Ⅲ)椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG= 62？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.B
2.A
3.A
4.A
5.A
6.C
7.A
8.D
9.ABD
10.BCD
11.AC
12.1000
13.[π3,2π3]
14.12
15.解：(1)由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：
(x−1)2+(y−3)2=11,
(x−5)2+(y−6)2=61−m(mm2，
又x1+x2=−6km3k2+2，x1⋅x2=3(m2− 2)3k2+2，
∴|PQ|= 1+k2 (x1+x2)2−4x1x2= 1+k22 6 3k2+2−m23k2+2，
∵点O到直线l的距离为d=|m| 1+k2，
∴S△OPQ=12 1+k22 6 3k2+2−m23k2+2⋅|m| 1+k2= 6 3k2+2−m2|m|3k2+2，
又S△OPQ= 62，
整理得3k2+2=2m2，此时x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−6km3k2+2)2−23(m2− 2)3k2+2=3，
y12+y22=23(3−x12)+23(3−x22)=4−23(x12+x22)=2；
综上所述x12+x22=3，y12+y22=2.结论成立．
(Ⅱ)1°当直线l的斜率不存在时，由(Ⅰ)知
|OM|=|x1|= 62，|PQ|=2|y1|=2，
因此|OM|⋅|PQ|= 6．
2°当直线l的斜率存在时，由(Ⅰ)知 x1+x22=−3k2m，y1+y22=kx1+x22+m=−3k2+2m22m=1m
|OM|2=(x1+x22)2+(y1+y22)2=9k24m2+1m2=6m2−24m2=12(3−1m2)，
|PQ|2=(1+k2)24(3k2+2−m2)( 2+3k2)2 =2(2m2−1)m2=2(2+1m2)，
所以|OM|2|PQ|2=12(3−1m2)×2×(2+1m2)=(3−1m2)(2+1m2)
≤ (3−1m2+ 2+1m22)2=254．
|OM|⋅|PQ|≤52.当且仅当3−1m2=2+1m2，
即m=± 2时，等号成立．
综合1°2°得|OM|⋅|PQ|的最大值为52；
(Ⅲ)椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG= 62，
证明：假设存在D(u,v)，E(x1,y1)，G(x2,y2)，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG= 62
由(Ⅰ)得
u2+x12=3，u2+x22=3，x12+x22=3；v2+y12=2，v2+y22=2，y12+y22=2
解得u2=x12=x22=32；v2=y12=y22=1．
因此u，x1，x2只能从± 62中选取，
v，y1，y2只能从±1中选取，
因此点D，E，G，只能在(± 62,±1)这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S△ODE=S△ODG=S△OEG= 62矛盾．
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G．