辽宁省沈阳市浑南市2024-2025学年八年级上学期数学期中试卷

这是一份辽宁省沈阳市浑南市2024-2025学年八年级上学期数学期中试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列四个数中，无理数是（ ）
A．﹣3B．C．D．
2．（3分）下列各组数据中能组成直角三角形的是（ ）
A．9 16 25B．2 5 6
C．3 3 5D．9 12 15
3．（3分）某气象台为了预报台风，首先需要确定台风中心的位置，则下列说法能确定台风中心位置的是（ ）
A．北纬38°B．距气象台500海里
C．北纬21.5°，东经109°D．北海市附近
4．（3分）6的平方根是（ ）
A．6B．±6C．D．±
5．（3分）在平面直角坐标系中，坐标为（﹣2024，2025）的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（3分）已知函数y＝2x+k﹣1的图象经过第一、三、四象限，则k的值可以是（ ）
A．3B．2C．1D．0
7．（3分）某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点A到顶点A′缠绕一圈彩带．已知此灯笼的高为50cm，底面边长为40cm，则这圈彩带的长度至少为（ ）
A．50cmB．120cmC．130cmD．150cm
8．（3分）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，量筒量得溢出水的体积为34ml，则该铁块棱长大小的范围是（ ）
A．2cm～3cmB．3cm～4cmC．4cm～5cmD．5cm～6cm
9．（3分）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的高，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）对于实数p，我们规定：用＜p＞表示不小于p的最小整数，例如：＜4＞＝4，＝2，现对72进行如下操作： ．即对72需进行3次操作后变为2．类似地：对99只需进行n次操作后变为2，则n的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若+|b+1|＝0，则a+b＝ ．
12．（3分）已知点P（3x﹣1，4﹣2x）在第一象限，且到坐标轴的距离和为4，则点P的坐标为 ．
13．（3分）在平面直角坐标系中，直线l对应的函数表达式为y＝2x﹣3，现保持直线l的位置不动，将x轴沿竖直方向向上平移2个单位．在新平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为 ．
14．（3分）某水果店销售某种新鲜水果，出售量x（kg）与销售额y（元）之间的函数关系如图所示．若小强同学在该家水果店一次购买30kg该种水果，需要付款 元．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，连接BD，AB＝AD＝2，，点E、F分别在边BC、CD上，且DF＝CE，连接BF、DE，若CD＝3，则BF+DE的最小值为 ．
三、解答题（本题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）．
17．（8分）解方程组
（1）；
（2）
18．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，并求出△ABC的面积？
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；
19．（8分）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.8m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.8m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）求秋千AD的长度；
（2）如果将秋千AD往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？
20．（12分）课堂上，老师新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）思考
①根据奇异三角形的定义，请你判断等边三角形是否为奇异三角形，并简要说明理由；
②若Rt△ABC是奇异三角形，且其两边长分别为2，2，求Rt△ABC的周长．
（2）运用
如图，以AB为斜边分别在AB的两侧作Rt△ABC，Rt△ABD，且AD＝BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE＝AD，CB＝CE．
①试说明：△ACE是奇异三角形；
②当∠AEC＝90°时，若AB＝2，求Rt△ABC的面积．
21．（13分）如图，已知直线l1：y＝﹣3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠ABC＝90°，直线l2经过A，C两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线l2的函数表达式；
（3）若E为x轴正半轴上一点，△ABE的面积等于△ABC的面积，求E点坐标；
（4）如图2，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，点P是直线l2上的动点，点Q是直线CD上的动点．试探究△BPQ能否成为以BP为直角边的等腰直角三角形（△BPQ不与△ABC重合）？若能，请直接写出DQ的长，若不能，请说明理由．
2024-2025学年辽宁省沈阳市浑南区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：A、﹣3是负整数，则﹣3是有理数，该选项不符合题意；
B、是开方开不尽的数，即无限不循环小数，是无理数，该选项符合题意；
C、，3是有理数，该选项不符合题意；
D、是分数，则是有理数，该选项不符合题意．
故选：B．
2．【解答】解：A、92+162≠252，故A选项构成不是直角三角形；
B、22+52≠62，故B选项构成不是直角三角形；
C、32+32＝≠52，故C选项构成不是直角三角形；
D、92+122＝152，故D选项构成是直角三角形．
故选：D．
3．【解答】解：在平面直角坐标系中，一对有序实数确定一个点的位置，
根据各选项的数据，只有北纬21.5°，东经109°能确定台风中心的位置．
故选：C．
4．【解答】解：6的平方根为．
故选：D．
5．【解答】解：横坐标为负，纵坐标为正的点在第二象限内．
故选：B．
6．【解答】解：∵函数y＝2x+k﹣1的图象经过第一、三、四象限，
∴k﹣1＜0，
解得：k＜1．
故选：D．
7．【解答】解：将三棱柱沿AA′展开，其展开图如图，
则AA′＝＝130（cm），
答这圈金属丝的长度至少为130cm．
故选：C．
8．【解答】解：由题意得，该铁块棱长是cm，
∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴该铁块棱长大小的范围是3cm～4cm，
故选：B．
9．【解答】解：由题可得：
，
，
∴，
解得：，
故选：D．
10．【解答】解：由题意得，
即对99只需进行3次操作后变为2，
故选：B．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．【解答】解：∵ +|b+1|＝0，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，
∴a+b＝2﹣1＝1，
故答案为：1．
12．【解答】解：∵点P（3x﹣1，4﹣2x）在第一象限内，且到两坐标轴的距离之和为4，
∴3x﹣1+4﹣2x＝4，
解得x＝1．
故答案为：1．
13．【解答】解：将x轴沿竖直方向向上平移2个单位，相当于将直线y＝2x﹣3沿竖直方向向下平移2个单位，则在新坐标系中，直线m的表达式为y＝2x﹣3﹣2＝2x﹣5，即y＝2x﹣5．
故答案为：y＝2x﹣5．
14．【解答】解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（x＞0），
则，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝8x+20，
当x＝30时，y＝30×8+20＝260，
∴小强同学在该家水果店一次购买30kg该种水果，需要付款260元，
故答案为：260．
15．【解答】解：延长AD至点H使CD＝DH，连接DH，BH，如图，
∵AB＝AD＝2，，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴AH∥BC，
∴∠ECD＝∠EDF
∵DF＝CE，CD＝DH，
∴△DCE≌△HDF（SAS），
∴HF＝DE，
∴BF+DE＝BF+HF，
∵BF+HF的最小值为BH，
∴BF+DE的最小值为BH，
在Rt△ABH中AB＝2，AH＝AD+DH＝5，
∴．
三、解答题（本题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）
16．【解答】解：（1）
＝﹣
＝﹣
＝2﹣3
＝﹣1；
（2）
＝2﹣+
＝．
17．【解答】解：（1），
①+②得：x＝5，
把x＝5代入①得：y＝2，
∴方程组的解为；
（2），
①×3得：15x+3y＝6③，
②+③得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为：．
18．【解答】解：（1）过C作CW⊥y轴于W，CR⊥x轴于R，
∵A（0，1），B（2，0），C（4，3），
∴CW＝4，CR＝3，AW＝3﹣1＝2，AO＝1，OB＝2，BR＝4﹣2＝2，
∴△ABC的面积S＝S矩形CWOR﹣S△AOB﹣S△BRC﹣S△CWA
＝3×4﹣×1×2﹣×2×3﹣＝4；
（2）∵点D与点C关于y轴对称，C（4，3），
∴点D的坐标为（﹣4，3），
故答案为：（﹣4，3）．
19．【解答】解：（1）由题意知BF＝1.8m，BC＝3m，DE＝0.8m，
∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE＝BF＝1.8m
∴CD＝CE﹣DE＝1.8﹣0.8＝1（m），
∵BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
设秋千的长度为x m，则AB＝AD＝x m，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（x﹣1）2+32＝x2，
解得x＝5，
即秋千AD的长度是5m；
（2）设BF＝y m时，CE＝y m，
∵DE＝0.8m，
∴CD＝CE﹣DE＝（y﹣0.8）m，
由（1）可知，AD＝AB＝5m，AB＝5m，
∴AC＝AD﹣CD＝5﹣（y﹣0.8）＝（5.8﹣y）m，
在Rt△ABC中，BC＝4m，
由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，则 （5.8﹣y）2+42＝52，
解得y＝2.8，
即此时踏板离地的垂直高度为2.8m．
20．【解答】（1）解：①等边三角形是奇异三角形，理由如下：
设等边三角形边长为a，
则两边的平方和为a2+a2＝2a2，
∴两边的平方和等于第三边平方的2倍，
故等边三角形是奇异三角形；
②设第三边是m（m＞0），
当22+m2＝2×（2）2时，
解得m＝2，
但此时22+（2）2≠（2）2，
∴△ABC不是直角三角形，不符合题意；
当22+（2）2＝2m2时，
解得m＝2，
此时22+（2）2＝（2）2，
∴△ABC是直角三角形，符合题意，
∵，符合三边关系，
∴周长为：2+2+2；
当（2）2+m2＝2×22时，
m无解，
此种情况不存在；
综上，Rt△ABC的周长为2+2+2；
（2）①证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝AB2，
∵AD＝BD，
∴2AD2＝AB2，
∵AE＝AD，CB＝CE，
∴AC2+CE2＝2AE2，
∴△ACE是奇异三角形；
②解：当∠AEC＝90°时，AE2+CE2＝AC2，
由①得AC2+CE2＝2AE2，
整理可得AE＝CE，
设CE＝x，则AE＝x，CB＝CE＝x，
∴AC＝＝x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即3x2+x2＝4，
解得x＝1，
∴AC＝，BC＝1，
∴S△ABC＝AC•BC＝．
21．【解答】解：（1）对于直线l1：y＝﹣3x+6，令x＝0，y＝6，则点B坐标为（0，6）；
令y＝0，x＝2，则点A坐标为（2，0）．
故点A、B坐标分别是（2，0）和（0，6）．
（2）如图，过点C向y轴作垂线，E为垂足．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BC．
∵∠CBE+∠ABO＝180°﹣90°＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
在△CBE和△BAO中，∠CBE＝∠BAO，∠BEC＝∠AOB，BC＝AB．
∴△CBE≌△BAO（AAS）．
∴EC＝BO＝yB＝6，BE＝OA＝xA＝2．
∴OE＝OB+BE＝6+2＝8．
故点C坐标为（6，8）．
设l2函数表达式为y＝kx+b，把A、C两点坐标代入得：
，解得．
∴直线l2的函数表达式为y＝2x﹣4．
（3）如图，过点C作l1的平行线，交x轴于点E，则S△ABC＝S△ABE（同底等高）．过点A作直线CE的垂线交CE于点G.
根据题意易得四边形ABCG为正方形．
∴AG＝AB＝＝2，∠BAG＝90°．
∵∠EAG+∠BAO＝180°﹣∠BAG＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠EAG＝∠ABO．
又∵∠AGE＝∠BOA＝90°．
∴△AEG∽△BAO．
∴，AE＝＝．
∴OE＝OA+AE＝2+＝．
故点E的坐标为（，0）．
（4）设点P的坐标为（m，2m﹣4），点Q的坐标为（6，n）．
以BP为直角边的△BPQ是等腰直角三角形，
分为两种情况：
BP＝PQ时，如图．
过点P作x轴的平行线交y轴于点M，交CD于点N.同理（2）可证得△BMP≌△PNQ，
∴BM＝PN，MP＝QN，
∵BM＝|6﹣（2m﹣4）|＝|10﹣2m|，
PN＝|6﹣m}，MP＝|m|，QN＝|n﹣（2m﹣4）|．
∴|10﹣2m|＝|6﹣m}，m＝4或，
|m|＝|n﹣（2m﹣4）|，
则n＝8或（n＝0或12不合题意，舍去）．
此时等腰直角△BPQ的两种情况如图所示．
∴DQ＝|n|＝8或．
BP＝BQ时，如图，过点P、Q向y轴分别作垂线，垂足为J，K.
同理可证得△BJP≌△QKB．
∴BJ＝KQ，JP＝BK，
∵BJ＝|6﹣（2m﹣4）|＝|10﹣2m|，KQ＝6，JP＝|m|，BK＝|n﹣6|．
∴|10﹣2m|＝6，m＝2或8，
当m＝2时，|n﹣6|＝2，n＝8（n＝4不合题意舍去），
此时△BPQ与△BAC重合，故舍去m＝2．
当m＝8时，|n﹣6|＝8，n＝﹣2（n＝14不合题意舍去）．
∴DQ＝|n|＝2．
故DQ的长度为2或或8．