2023-2024学年高二数学下学期期末考试模拟02

这是一份2023-2024学年高二数学下学期期末考试模拟02，文件包含2023-2024学年高二数学下学期期末考试模拟02教师版docx、2023-2024学年高二数学下学期期末考试模拟02学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据求导公式计算，得到答案.
【详解】A选项，，A错误；
B选项，，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，，D错误.
故选：C
2. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6
【答案】D
【解析】
【分析】根据两点分布得基本性质即可求解.
【详解】由题意可知，当时，即，解得，
又因为随机变量服从两点分布，且，
所以.
故选：D.
3. 在四棱锥中，若，则实数组可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用底面是平行四边形判断A，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断BCD．
【详解】选项A，若底面是平行四边形，设，则，
因此，即，A可能取得；
选项B，若，则，B错误；
选项C，若，则，C错误；
选项D，若，则，
但平面，即不共面，因此不可能成立，D错．
故选：A．
4. 若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在 上有解即可得出结果.
【详解】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ．
故选:B．
5. 根据一组样本数据，，，，求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则（ ）
A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8
【答案】C
【解析】
【分析】根据原来的经验回归方程求出，经计算可知去除两个样本点后，样本点的中心仍为，代入重新求得的经验回归方程，即可求出的值．
【详解】因为原来的经验回归方程为，且平均数，
所以，
因为去除的两个样本点和，并且，，
所以去除两个样本点后，样本点的中心仍为，
代入重新求得的经验回归方程，可得，
解得．
故选：C．
6. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可．
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，则，
取，得，
所以点到平面的距离为，
故选：D．
7. 已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，根据已知条件判断的单调性，奇偶性，结合的模拟草图，数形结合即可求得结果.
【详解】令，则，由题可知，当时，，故在单调递减；
又为奇函数，也为奇函数，故为偶函数，则在单调递增；
又，则，画出的模拟草图如下所示：

当时，，则，数形结合可知，此时；
当，因为为上的奇函数，故，不满足题意；
当，，则，数形结合可知，此时；
综上所述：的解集为.
故选：A.
8. 小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，事件B：吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子.先利用全概率公式求，然后再由条件概率公式可得.
【详解】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，
事件B：吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子.
则，，，，
当时，，
由题知，，
所以，
又，
所以.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列关于概率统计的说法中正确的是（ ）
A. 某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大
B. 设随机变量服从正态分布，若，则
C. 已知回归直线方程为，若样本中心为，则
D. 两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，可利用不等式法求解；对于B，根据正态分布曲线的对称性即可验算；对于C，将样本中心坐标代入回归方程即可验算；对于D，由相关系数的意义即可判断.
【详解】对于，故，
令，解得，故，故A正确；
对于，故错误；
对于，回归直线必过样本中心，可得，解得，故C正确；
对于，两个变量的相关系数为越小，与之间的相关性越弱，故D错误.
故选：AC.
10. 已知，则下列不等式正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较；对于B，举反例判断即可；对于C，构造函数，利用导数研究函数最值即可判断；对于D，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较.
【详解】设，则，在单调递增，
所以，即，即，A正确；
令，，则，而，所以，B不正确；
设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
则在时取得最小值，即，C正确；
设，则，所以在上是增函数，
所以由得，即，D正确.
故选：ACD
11. 如图，在矩形ABCD中，，，M是AD的中点，将沿着直线BM翻折得到．记二面角的平面角为，当的值在区间范围内变化时，下列说法正确的有（ ）
A. 存在，使得
B. 存在，使得
C. 若四棱锥的体积最大时，点B到平面的距离为
D. 若直线与BC所成的角为，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，作出辅助线，得到即为二面角的平面角，，当时，平面，证明出线线垂直，进而得到线面垂直，得到；BCD选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用线线角的夹角公式得到，B错误；C选项，确定当时，体积最大，利用点到平面向量距离公式进行计算；D选项，计算出.
【详解】A选项，连接，取的中点，的中点，
连接，则，
故即为二面角的平面角，即，
当时，平面，
因为平面，所以，
因为矩形ABCD中，，，M是AD的中点，
所以，故为等腰直角三角形，
故，⊥，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
存在，使得，A正确；
B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，垂直于此平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
当时，，
此时，，
故，
故不存在，使得，B错误；
C选项，当时，平面，此时四棱锥的体积最大，
此时，
设平面的法向量为，
则，
解得，令，则，故，
故点到平面的距离，C正确；
D选项，，，
故
，D正确.
故选：ACD
【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两异面直线所成的角为，；
②直线与平面所成的角为，；
③二面角的大小为，.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若异面直线的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于 _____．
【答案】##
【解析】
【分析】利用空间向量的数量积与模长公式计算夹角即可.
【详解】设异面直线与的夹角为，则，
.
故答案为：
13. 已知变量和之间的关系可以用模型来拟合．设，若根据样本数据计算可得，且与的线性回归方程为，则_______．（参考数据：）
【答案】0.3
【解析】
【分析】利用非线性回归通过拟合函数计算即可.
【详解】由题意知，解得，
所以，
由，得，所以，
则．
故答案为：0.3
14. 若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在5次运动后这个点仍停留在下底面的概率是______.
【答案】
【解析】
【分析】这个点每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，可记事件“第次运动后这个点停留在下底面”，则“第次运动后这个点停留在上底面”，；同时每次运动点不是由上底面运动来，就是由下底面运动来的，则可由全概率公式得到递推关系，然后构造数列求通项即可.
【详解】这个点每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，可记事件“第次运动后这个点停留在下底面”，则“第次运动后这个点停留在上底面”，
设，则，
由题意知，，
则由全概率公式可得，，
则，
即，两边同减去可得，，
又已知，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
故当时，.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数在上的单调区间和最小值.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程，
（2）分类讨论即可根据导函数的正负，即可求解单调性得解.
【小问1详解】
当时，，则，
故，，
故切线方程为，即，
【小问2详解】
且，
当时，，的单调增区间为，；
当时，
当时，，当时，，
所以的单调减区间为，单调增区间为，；
当时，，所以的单调减区间为，
16. 2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
（1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？
（2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差．
附：，．
【答案】（1）列联表见解析，有关.
（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）根据已知数据完善列联表，计算卡方值并与临界值比较即可；
（2）根据二项分布概率公式写出分布列，再计算其期望和方差即可.
【小问1详解】
（1）列联表，如图所示：
假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关.
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
【小问2详解】
70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，则感染支原体肺炎的频率为，
由已知得，
，
，
所以随机变量的分布列为：
所以,.
17. 如图，已知四棱锥中，点在平面内的投影为点，，.

（1）求证：平面平面；
（2）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设中点为，连接，即可得到四边形为正方形，利用勾股定理逆定理得到，再由线面垂直的性质得到，即可证明平面，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，设，求出平面法向量和平面的法向量，利用空间向量求解即可.
【小问1详解】
设中点为，连接，
因为，且，故四边形为正方形，
而，，，
所以，所以，
因为平面，平面，
所以，又平面，，
所以平面，因为平面，
所以平面平面；
【小问2详解】
以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，所以，，
设平面的法向量为，则，即，令，所以，
由（1）知，平面的法向量为，
设平面与平面所成角为，则，所以，
即，解得或（舍去），
所以.

18. 2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下：
（1）计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（3）为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？
参考公式：，，，
参考数据：．
【答案】（1），可以认为两者的相关性很强
（2）
（3）当时，恰有一次中奖的概率最大
【解析】
【分析】（1）根据相关系数的公式计算并判断；
（2）根据公式求出，得解；
（3）根据题意可得，判断的单调性可得，即，由二项分布得，利用导数求出最大值.
【小问1详解】
因为，
所以
，
，
，
所以 ，
由此可以认为两者的相关性很强．
【小问2详解】
由（1）知，．
所以=．
因为，所以回归方程为．
【小问3详解】
记，
，
，即．
，令，
则，得，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值．由，解得或（舍去），
当时，恰有一次中奖的概率最大．
【点睛】关键点睛：本题第三问，解题关键是根据题意列出的表达式，并判断单调性求出的范围，利用二项分布求出，借助导数求出最大值.
19. 帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为．
（1）求实数a，b的值；
（2）比较与的大小；
（3）若在上存在极值，求取值范围．
【答案】（1），；
（2）答案见解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）由，，列方程组求实数a，b的值；
（2）令利用导数研究单调性，又，可比较与的大小；
（3）由在上存在极值，所以在上存在变号零点，通过构造函数分类讨论，对的零点进行分析．
【小问1详解】
由，，有，
可知，，，，
由题意，，，所以，所以，．
【小问2详解】
由（1）知，，令，
则，
所以在其定义域内为增函数，又，
时，；时，；
所以时，；时，．
【小问3详解】
由，
．
由在上存在极值，所以在上存在变号零点．
令，则，．
①时，，为减函数，，在上为减函数，，无零点，不满足条件．
②当，即时，，为增函数，，在上为增函数，，无零点，不满足条件．
③当，即时，令即，．
当时，，为减函数；时，，为增函数，
；
令，，，在时恒成立，
在上单调递增，，恒成立；
，，，则，，
；
，
令，
令，，
则在是单调递减，，所以，
，
令，则，，．
，即．
由零点存在定理可知，在上存在唯一零点，
又由③知，当时，，为减函数，，
所以此时，，内无零点，
在上存在变号零点，综上所述实数m的取值范围为．
【点睛】方法点睛：
利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用，而构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
有慢性疾病
没有慢性疾病
合计
未感染支原体肺炎
40
80
感染支原体肺炎
40
合计
120
200
010
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
有慢性疾病
没有慢性疾病
合计
未感染支原体肺炎
40
40
80
感染支原体肺炎
80
40
120
合计
120
80
200
0
1
2
3
（日）
1
2
3
4
5
（万人）
45
50
60
65
80
关注公众号《品数学》，获取更多资料