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重庆市永川中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
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这是一份重庆市永川中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题5分，共40分）
1.倾斜角为的直线经过点和，则（ ）
A.0B.C.D.
2.若圆与圆内切，则（ ）
A.25B.9C.-9D.-11
3.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A.B.C.D.
4.已知正方体中，点为的中点，若，（，）则的值分别为（ ）
A.1，1，1B.，C.，D.，1
5.在正方体中，为中点，则直线与所成的角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
6.已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A.B.C.D.
7.已知正四棱柱中，，为的中点，则直线与平面BED的距离为（ ）
A.2B.C.D.1
8.在四棱柱中，底面是正方形，侧棱底面.已知，，为线段上一个动点，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题（每小题6分，选对按比例给分，选错不得分，共18分）
9.已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（ ）
A.B.C.3D.-3
10.已知直线与圆，则（ ）
A.直线I与圆相离B.直线1与圆相交
C.圆上到直线1的距离为1的点共有2个D.圆上到直线1的距离为1的点共有3个
11.已知正三棱柱，各棱长均为4，且点为棱上一动点（包含棱的端点），则下列结论正确的是（ ）
A.该三棱柱既有外接球，又有内切球
B.三棱锥的体积是
C.直线与直线恒不垂直
D.直线与平面所成角的正弦值范围是
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上.）
12若直线与直线平行，则直线与之间的距离为_____.
13如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，和点A，F，使且.已知，，.则线段_____.
14.已知直线与直线相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为_______
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（13分）在平面直角坐标系中，已知的顶点，AB边上中线所在直线方程为，AC边上的高所在直线方程为，求：
（1）顶点的坐标；
（2）求的面积.
16.（15分）如图，在正四棱柱中，已知，，、分别为、上的点，且.
（1）求证：BE平面ACF；
（2）求点到平面的距离.
17.（15分）已知圆内有一点，AB为过点的弦.
（1）若，求直线的方程；
（2）是否存在弦被点平分时?若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由.
18.（17分）已知线段的端点的坐标是（0，2），端点在圆上运动.
（1）求线段的中点的轨迹的方程；
（2）已知动点在轴上，直线1与曲线交于，两点.求证：若直线，均与曲线相切，则直线l恒过定点.
19.（17分）如图，矩形中，，，，分别为边，的中点.将该矩形沿EF折起，使得.
（1）证明：AD//平面BCF；
（2）在直线上确定点，使得平面与平面的夹角的余弦值为.
永川中学2024~2025学年度10月月考答案
1A 2D 3A 4C 5B 6D 7D 8B建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则，，，为线段上一个动点，
设，则，，
故问题转化为求最小值问题，即转化为求平面直角坐标系中的一个动点到两定点，的距离之和的最小值的问题，如图所示.
由此可知，当M，P，N三点共线时，
，
9AD 10BD 11BD【详解】A选项，设等边三角形的内切圆半径为，则，
，所以该三棱柱没有内切球，A选项错误.
B选项，设是的中点，则，，
根据正三棱柱的性质可知，，
由于，，平面，所以平面，
所以，B选项正确.
以为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，
则，，，设，，
，，
，，所以当在的中点时，直线与直线垂直，C选项错误.
，，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面所成角为，则，
，，
，，即，
所以直线与平面所成角的正弦值范围是，D选项正确.
故选：BD
12 13或 14由题设，恒过定点，恒过定点，又，即，垂足为，
所以在以为直径的圆上，圆心为，半径为，
轨迹方程为，的圆心为，半径为3，所以，而、分别在圆、圆上，故的最大值为.
，的方程为，
不妨设直线的方程为，
将代入得，解得，直线的方程为，
联立直线，的方程，即，解得点的坐标为（4，1）；
（2）设，则，点在上，点在上，
所以，解得，
直线的方程为，
则到直线的距离为，
又，，则，
.
16解：如图，以为原点，、、所在直线分别为、、轴
建立空间直角坐标系，则，，，
，，，，
，，，.
，，
，，且，所以垂直平面
（2）由（1）知，为平面的一个法向量，，
向量在上的射影长即为到平面的距离设为，于是，
故点到平面的距离；
17.（1）圆的圆心，半径，
当时，点到直线的距离，
过点的直线，点到这条直线的距离为1，则直线可以为；
当直线斜率存在时，设其方程为，
由，得，直线方程为，即，
所以直线的方程为或.
（2）由圆的性质知，当直线时，是线段的中点，
而直线的斜率为-2，
则直线的斜率为，方程为，即，
所以存在弦被点平分，直线的方程为.
18
设，，由为的中点，可得，代入
得，化为，即为轨迹的方程；
（2）证明：设，由（1）可得曲线为圆，设圆心为，
由直线，均与曲线相切，可得，，
可得，，，四点共圆，且以为直径，圆的圆心为，半径为，
其圆的方程为，①
又圆，②
①②两式相减可得，直线1的方程为，
令，且，解得，则直线l恒过定点
19 解（1）连接，分别交，与点，，连接，
因为矩形中，，，，分别为边，的中点
所以四边形CDEF为正方形，为的中点.同理，为的中点.
所以，因为平面，平面，所以平面；
（2）由条件，垂直，，，
所以EF垂直平面，因为平面，所以平面平面，
中，，，
取中点，连接，则，从而平面以所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，
，，，所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，得，
设，则，
设平面CEM的一个法向量为，
则，即，
取，得，则
则，解得或
故在线段上，处，或在线段延长线上，处.
一、单选题（每小题5分，共40分）
1.倾斜角为的直线经过点和，则（ ）
A.0B.C.D.
2.若圆与圆内切，则（ ）
A.25B.9C.-9D.-11
3.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A.B.C.D.
4.已知正方体中，点为的中点，若，（，）则的值分别为（ ）
A.1，1，1B.，C.，D.，1
5.在正方体中，为中点，则直线与所成的角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
6.已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A.B.C.D.
7.已知正四棱柱中，，为的中点，则直线与平面BED的距离为（ ）
A.2B.C.D.1
8.在四棱柱中，底面是正方形，侧棱底面.已知，，为线段上一个动点，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题（每小题6分，选对按比例给分，选错不得分，共18分）
9.已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（ ）
A.B.C.3D.-3
10.已知直线与圆，则（ ）
A.直线I与圆相离B.直线1与圆相交
C.圆上到直线1的距离为1的点共有2个D.圆上到直线1的距离为1的点共有3个
11.已知正三棱柱，各棱长均为4，且点为棱上一动点（包含棱的端点），则下列结论正确的是（ ）
A.该三棱柱既有外接球，又有内切球
B.三棱锥的体积是
C.直线与直线恒不垂直
D.直线与平面所成角的正弦值范围是
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上.）
12若直线与直线平行，则直线与之间的距离为_____.
13如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，和点A，F，使且.已知，，.则线段_____.
14.已知直线与直线相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为_______
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（13分）在平面直角坐标系中，已知的顶点，AB边上中线所在直线方程为，AC边上的高所在直线方程为，求：
（1）顶点的坐标；
（2）求的面积.
16.（15分）如图，在正四棱柱中，已知，，、分别为、上的点，且.
（1）求证：BE平面ACF；
（2）求点到平面的距离.
17.（15分）已知圆内有一点，AB为过点的弦.
（1）若，求直线的方程；
（2）是否存在弦被点平分时?若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由.
18.（17分）已知线段的端点的坐标是（0，2），端点在圆上运动.
（1）求线段的中点的轨迹的方程；
（2）已知动点在轴上，直线1与曲线交于，两点.求证：若直线，均与曲线相切，则直线l恒过定点.
19.（17分）如图，矩形中，，，，分别为边，的中点.将该矩形沿EF折起，使得.
（1）证明：AD//平面BCF；
（2）在直线上确定点，使得平面与平面的夹角的余弦值为.
永川中学2024~2025学年度10月月考答案
1A 2D 3A 4C 5B 6D 7D 8B建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则，，，为线段上一个动点，
设，则，，
故问题转化为求最小值问题，即转化为求平面直角坐标系中的一个动点到两定点，的距离之和的最小值的问题，如图所示.
由此可知，当M，P，N三点共线时，
，
9AD 10BD 11BD【详解】A选项，设等边三角形的内切圆半径为，则，
，所以该三棱柱没有内切球，A选项错误.
B选项，设是的中点，则，，
根据正三棱柱的性质可知，，
由于，，平面，所以平面，
所以，B选项正确.
以为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，
则，，，设，，
，，
，，所以当在的中点时，直线与直线垂直，C选项错误.
，，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面所成角为，则，
，，
，，即，
所以直线与平面所成角的正弦值范围是，D选项正确.
故选：BD
12 13或 14由题设，恒过定点，恒过定点，又，即，垂足为，
所以在以为直径的圆上，圆心为，半径为，
轨迹方程为，的圆心为，半径为3，所以，而、分别在圆、圆上，故的最大值为.
，的方程为，
不妨设直线的方程为，
将代入得，解得，直线的方程为，
联立直线，的方程，即，解得点的坐标为（4，1）；
（2）设，则，点在上，点在上，
所以，解得，
直线的方程为，
则到直线的距离为，
又，，则，
.
16解：如图，以为原点，、、所在直线分别为、、轴
建立空间直角坐标系，则，，，
，，，，
，，，.
，，
，，且，所以垂直平面
（2）由（1）知，为平面的一个法向量，，
向量在上的射影长即为到平面的距离设为，于是，
故点到平面的距离；
17.（1）圆的圆心，半径，
当时，点到直线的距离，
过点的直线，点到这条直线的距离为1，则直线可以为；
当直线斜率存在时，设其方程为，
由，得，直线方程为，即，
所以直线的方程为或.
（2）由圆的性质知，当直线时，是线段的中点，
而直线的斜率为-2，
则直线的斜率为，方程为，即，
所以存在弦被点平分，直线的方程为.
18
设，，由为的中点，可得，代入
得，化为，即为轨迹的方程；
（2）证明：设，由（1）可得曲线为圆，设圆心为，
由直线，均与曲线相切，可得，，
可得，，，四点共圆，且以为直径，圆的圆心为，半径为，
其圆的方程为，①
又圆，②
①②两式相减可得，直线1的方程为，
令，且，解得，则直线l恒过定点
19 解（1）连接，分别交，与点，，连接，
因为矩形中，，，，分别为边，的中点
所以四边形CDEF为正方形，为的中点.同理，为的中点.
所以，因为平面，平面，所以平面；
（2）由条件，垂直，，，
所以EF垂直平面，因为平面，所以平面平面，
中，，，
取中点，连接，则，从而平面以所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，
，，，所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，得，
设，则，
设平面CEM的一个法向量为，
则，即，
取，得，则
则，解得或
故在线段上，处，或在线段延长线上，处.
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