广东省深圳市五校联考2024—-2025学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份广东省深圳市五校联考2024—-2025学年上学期八年级期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若(m+1)2+ n−2=0，则(m+n)2024的值为( )
A. −1B. 0C. 1D. 2 024
2.老师写出第二象限的一点的坐标(−2,☆)，小明不小心，把纵坐标给弄脏看不清了，则☆挡住的纵坐标可能是( )
A. −1B. −2C. 0D. 2
3.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 7B. 1.2C. 18D. 15
4.下列曲线中，能表示y是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
5.下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1、 2、 3B. 2、 3、 5C. 5、12、13D. 1、2、3
6.如图，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为( )
A. 5+2
B. 5−2
C. − 5+2
D. − 5−2
7.下列式子中运算正确的是( )
A. 9=±3B. ( 5)2=5C. 2+ 5= 7D. (−6)2=−6
8.已知点A的坐标为(1,2)，直线AB//x轴，且AB=6，则点B的坐标为( )
A. (5,2)或(4,2)B. (6,2)或(−4,2)C. (7,2)或(−5,2)D. (1,7)或(1,−3)
9.下列关于一次函数y=−2x+2的结论，错误的是( )
A. 图象经过点(−1,4)B. 函数值随x的增大而减小
C. 图象与y轴交于点(0,2)D. 图象经过第二、三、四象限
10.如图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm、高为12cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是( )
A. 13cm
B. 241cm
C. 193cm
D. 19cm
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若一个正数的平方根分别为5−a和2a−1，则这个正数是______.
12.点A(2,a)在直线y=−2x+3上，则a=______.
13.若 8与最简二次根式5 a−1是同类二次根式，则a=______.
14.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，且AB=10，BC=8，则CD长为______.
15.如图，Rt△ABC，∠C=90∘，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=24，AB=25时，则阴影部分的面积为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算： 54÷ 2− 13× 48+ 12.
17.(本小题7分)
明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词，翻译为：如图秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为1米(AC=1米).将它往前推进一些(EB⊥OC于点E，且EB=4米)，踏板升高到点B位置，此时踏板离地2米(BD=CE=2米)，求秋千绳(OA或OB)的长度.
18.(本小题7分)
将下列各数的序号填入相应的括号内：
①−2.5；②313；③0；④π2；⑤−8；⑥10%；⑦−27；⑧−1.12121112…；⑨2；⑩−0.345⋅⋅.
整数集合：{______…}；
负分数集合：{______…}；
正有理数集合：{______…}；
无理数集合：{______…}.
19.(本小题9分)
如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(0,1)，B(2,0)，C(4,3).
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是______；
(2)若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为______；
(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
20.(本小题9分)
已知：16的算术平方根是3a−5，b是 5的整数部分.
(1)求a，b的值；
(2)求2a2+3b3−5a的立方根.
21.(本小题9分)
如图，已知等腰△ABC的底边BC=13，D是腰AB上一点，且CD=5，BD=12.
(1)BD与AC垂直吗？请说明理由.
(2)求AD的长.
22.(本小题13分)
如图，直线y=−12x+b与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B，点C是OA的中点.
(1)求出点B、点C的坐标及b的值；
(2)在y轴上存在点D，使得S△BCD=S△ABC，求点D的坐标；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
23.(本小题14分)
如图，在△ABC中，∠AOB=90∘，OA=OB=4 2，C是AB边上任意一点，连接OC，以OC为直角边向下作等腰直角△COD，其中∠COD=90∘，OC=OD，连接BD.
(1)AC和BD相等吗？请说明理由；
(2)当△COD的周长最小时，求OC的值；
(3)AC2、BC2和OD2具有什么数量关系？并说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵(m+1)2+ n−2=0，
∴ n−2=0，(m+1)2=0，
解得n=2，m=−1，
故(m+n)2024=(−1+2)2024=1，
故选：C.
根据平方和算术平方根的非负性，由几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0，即可求得x，y的值，再代数求值．
本题考查平方和算术平方根的非负性，利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
2.【答案】D
【解析】解：∵第二象限的一点的坐标(−2,☆)，
∴☆>0，
只有选项D符合题意．
故选：D.
四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−).根据平面直角坐标系内第二象限点的坐标的特点解答即可．
本题考查点的坐标．熟记各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、 7是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、被开方数1.2是小数，故此选项不符合题意；
C、被开方数18含有能开得尽方的因数9，故此选项不符合题意；
D、被开方数15是分数，故此选项不符合题意；
故选：A.
满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：对于C选项中的图象，在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示y是x的函数；
而A、B、D三个选项中的图象，与图象有两个交点，从而不能表示y是x的函数；
故选：C.
根据函数定义，在自变量x的取值范围内，有且只有一个y值，从图象上看就是在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，看这条直线于图象的交点情况即可判断．理解函数定义，掌握判断图象是否是函数关系的方法是解决问题的关键．
本题考查函数的概念，正确记忆相关知识点是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、12+( 2)2=( 3)2，能构成直角三角形，故选项错误；
B、( 2)2+( 3)2=( 5)2，能构成直角三角形，故选项错误；
C、52+122=132，能构成直角三角形，故选项错误；
D、12+22≠32，不能构成直角三角形，故选项正确．
故选：D.
根据勾股定理的逆定理进行计算分析，从而得到答案．
此题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
6.【答案】B
【解析】解：如图，在Rt△AOB中，OA=2，OB=1，
∴AB= OA2+OB2= 5=AC，
∴OC=AC−AO= 5−2，
即点C在数轴上所表示的数是 5−2.
故选：B.
根据勾股定理求出AB，进而得到OC的长即可．
本题考查数轴表示数，勾股定理，理解数轴表示数的意义，掌握勾股定理是正确解答的关键．
7.【答案】B
【解析】解： 9=3，故选项A错误，不符合题意；
( 5)2=5，故选项B正确，符合题意；
2和 5不是同类二次根式，不能合并，故选项C错误，不符合题意；
(−6)2=6，故选项D错误，不符合题意；
故选：B.
根据二次根式的性质，合并同类二次根式，逐一进行判断即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵AB//x轴，点A的坐标为(1,2)，
∴点B的纵坐标为2，
∵AB=6，
∴点B在点A的左边时，横坐标为1−6=−5，
点B在点A的右边时，横坐标为1+6=7，
∴点B的坐标为(−5,2)或(7,2).
故选：C.
根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出点B的纵坐标，再分点B在点A的左边与右边两种情况求出点B的横坐标，即可得解．
本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于x轴的直线是上的点的纵坐标相等的性质，难点在于要分情况讨论．
9.【答案】D
【解析】解：一次函数k=−2，b=2，
A、当x=−1时，y=4，选项正确，不符合题意；
B、k<0，函数值随x的增大而减小，选项正确，不符合题意；
C、图象与y轴交于点(0,2)，正确，不符合题意；
D、图象经过第一、二、四象限，选项说法错误，符合题意；
故选：D.
根据一次函数的性质及函数图象上点满足函数解析式逐个判断即可得到答案，
本题考查一次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是k、b与一次函数的图象与性质的关系．
10.【答案】C
【解析】解：如图1：
AB= 162+32= 265(cm)，
如图2：
AB= 152+42= 241(cm)，
如图3：
AB= 122+72= 193(cm)，
∵ 265> 241> 193，
∴它所行的最短路线的长是 193cm.
故选：C.
蚂蚁的爬行路线有3种，先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可．
本题考查的是平面展开-最短路径问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
11.【答案】81
【解析】解：由题可知，
5−a+2a−1=0，
解得a=−4，
则这个正数是(5−a)2=92=81.
故答案为：81.
根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0求出a值，再求出一个平方根，平方就可以得到这个正数．
本题主要考查了平方根的性质，注意利用正数的两个平方根互为相反数的性质求解．
12.【答案】−1
【解析】解：∵点A(2,a)在直线y=−2x+3上，
∴a=−2×2+3=−1.
故答案为：−1.
依据题意，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a的值．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b”是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：∵ 8=2 2，
∵ 8与最简二次根式5 a−1是同类二次根式，
∴a−1=2，
∴a=3，
故答案为：3.
根据二次根式的性质把 8化简，再根据同类二次根式的定义列方程，解方程得到答案．
本题主要考查了同类二次根式、最简二次根式，如果两个最简二次根式的被开方数相同，那么这两个二次根式是同类二次根式．
14.【答案】245
【解析】解：在△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，BC=8，
∴AC= AB2−BC2= 102−82=6，
∵CD⊥AB于D，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=6×810=245，
故答案为：245.
根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，三角形的面积，掌握等积法是解决问题的关键．
15.【答案】84
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=24，AB=25，
由勾股定理得：BC= AB2−AC2= 252−242=7，
∴阴影部分的面积：S=12π×(242)2+12π×(72)2+12×24×7−12π×(252)2=84，
故答案为：84.
根据勾股定理求出BC，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案．
本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．
16.【答案】解： 54÷ 2− 13× 48+ 12
= 54÷2− 13×48+2 3
= 27− 16+2 3
=3 3−4+2 3
=5 3−4.
【解析】先算乘除，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
17.【答案】解：设OB=OA=x米，
∵AE=CE−AC=2−1=1(米)，
∴OE=OA−AE=(x−1)米，
在Rt△OBE中，由勾股定理得：OB2=EB2+OE2，
即x2=42+(x−1)2，
解得：x=8.5，
答：秋千绳(OA或OB)的长度为8.5米．
【解析】设OB=OA=x米，则OE=OA−AE=(x−1)米，在Rt△OBE中，由勾股定理列出方程，解方程即可．
本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
18.【答案】③⑤⑨ ①⑦⑩ ②⑥⑨ ④⑧
【解析】解：整数集合：{③⑤⑨…}；
负分数集合：{①⑦⑩…}；
正有理数集合：{②⑥⑨…}；
无理数集合：{④⑧…}.
故答案为：③⑤⑨；①⑦⑩；②⑥⑨；④⑧．
根据实数的分类，即可解答．
本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
19.【答案】解：(1)
△ABC的面积是：
3×4−12×1×2−12×2×4−12×2×3=4；
故答案为：4；
(2)(−4,−3)；
(3)∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，
∴BP=8，
∴点P的横坐标为：2+8=10或2−8=−6，
故P点坐标为：(10,0)或(−6,0)
【解析】此题主要考查了三角形面积求法以及关于原点对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
(1)画出△ABC，，直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
(2)利用关于原点对称点的性质得出答案；
(3)利用三角形面积求法得出符合题意的答案．
解：(1)所画图形见答案，△ABC的面积是：
3×4−12×1×2−12×2×4−12×2×3=4；
故答案为：4；
(2)∵C(4,3)，
∴点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为：(−4,−3)；
故答案为：(−4,−3)；
(3)见答案．
20.【答案】解：(1)∵16的算术平方根是3a−5，
∴3a−5=4，
3a=9，
a=3，
∵2< 5<3，
∴ 5的整数部分b=2；
(2)∵a=3，b=2，
∴2a2+3b3−5a
=2×32+3×23−5×3
=2×9+3×8−5×3
=18+24−15
=27，
∴2a2+3b3−5a的立方根是3.
【解析】(1)先根据算术平方根的定义，列出关于a的方程，解方程求出a，再估算 5，求出其整数部分b即可；
(2)把(1)中所求a，b的值代入所求代数式进行计算，然后求出计算结果的立方根即可．
本题主要考查了无理数的大小比较，解题关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
21.【答案】解：(1)垂直，理由：
∵BC=13，CD=5，BD=12，132=52+122，
∴BC2=CD2+BD2，
∴△BDC为直角三角形且∠BDC=90∘，
∴BD与AC垂直；
(2)由(1)知，BD⊥AC，
∵等腰△ABC的底边BC=13，D是腰AB上一点，且CD=5，BD=12，
∴设AD=x，则AC=AB=x+CD=x+5，
∴AD2+BD2=AB2，即x2+122=(x+5)2，
解得x=11.9，
∴AD=11.9.
【解析】(1)由BC=13，CD=5，BD=12得出△BCD是直角三角形，故可得出BD⊥AC；
(2)设AD=x，则AC=AB=x+CD=x+5，再由勾股定理求出x的值即可．
此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，解题的关键是掌握以上知识．
22.【答案】解：(1)∵点A(4,0)，
∴OA=4，
∵点C是OA的中点，
∴OC=12OA=2，
∴C(2,0)，
∵直线y=−12x+b与x轴交于点A(4,0)，
∴−12×4+b=0，
∴b=2，
∴B(0,2)；
(2)设D(0,m)，
∵S△BCD=S△ABC，
∴12|m−2|×2=12×2×(4−2)，
∴m=4或m=0，
∴D(0,0)或(0,4)；
(3)设x轴存在一点P(m,0)，使得△ABP是直角三角形，
∵A(4,0)，B(0,2)，∠AOB=90∘，
根据勾股定理可得：AB2=OB2+OA2，
∴AB2=20，
∵AP2=(4−m)2，BP2=m2+4，
△ABP是直角三角形，分两种情况：
①∠APB=90∘时，P与原点重合，此时P(0,0)；
②∠ABP=90∘时，则AB2+BP2=AP2，
∴20+m2+4=(4−m)2，
解得：m=−1，此时P(−1,0)，
综上所述：P(0,0)或(−1,0).
【解析】(1)由点C是OA的中点，求得OC=12OA=2，得到C(2,0)，把点A(4,0)代入直线y=−12x+b得−12×4+b=0，解方程即可得到结论；
(2)设D(0,m)，根据三角形的面积公式列方程即可得到D(0,0)或(0,4)；
(3)设x轴存在一点P(m,0)，使得△ABP是直角三角形，根据勾股定理得到AB2=20，AP2=(4−m)2，BP2=m2+4，△ABP是直角三角形，分两种情况：①∠APB=90∘时，P与原点重合，此时P(0,0)；②∠ABP=90∘时，根据勾股定理即可得到结论．
本题是一次函数的综合题，考查一次函数的图象和性质，以及勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
23.【答案】解：(1)AC=BD，理由如下：
∵∠AOB=∠COD=90∘，
∴∠AOC=∠BOD，
∵OA=OB，OC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴AC=BD；
(2)∵∠AOB=90∘，OA=OB=4 2，
∴AB= (4 2)2+(4 2)2= 32+32=8，
∵△COD是等腰直角三角形，
∴当OC最小时，△COD的周长最小，即当OC⊥AB时，△COD的周长最小，
∵S△ABC=12⋅OA⋅OB=12⋅AB⋅OC，
∴12×4 2×4 2=12×8×OC，
∴OC=4；
(3)2OD2=BC2+AC2，理由如下：
∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，
∴∠A=∠ABO=45∘，CD2=OC2+OD2=2OD2，
由(1)知：△AOC≌△BOD，
∴∠OBD=∠A=45∘，
∴∠CBD=45∘+45∘=90∘，
∴CD2=BC2+BD2，
∵AC=BD，
∴2OD2=BC2+AC2.
【解析】(1)根据SAS证明△AOC≌△BOD可得结论；
(2)根据垂线段最短可知：当OC⊥AB时，△COD的周长最小，由面积法可得OC的长；
(3)由△AOC≌△BOD得：∠OBD=∠A=45∘，可得△CBD是直角三角形，由勾股定理可得：CD2=BC2+BD2=OC2+OD2，化简后可解答．
本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．