广东省中山市八校联考2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省中山市八校联考2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称轴图形的是( )
A. B. C. D.
2.若m是方程x2−x−2023=0的一个根，则m2−m+1的值为( )
A. 2022B. 2023C. 2024D. 2025
3.把函数y=−3x2的图象沿x轴向右平移5个单位，得到的图象的解析式为( )
A. y=−3x2+5B. y=−3x2−5C. y=−3(x+5)2D. y=−3(x−5)2
4.电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达36亿元，将增长率记作x，则方程可以列为( )
A. 4+4x+4x2=36B. 4(1+x)2=36
C. (1+x)2=36D. 4+4(1+x)+4(1+x)2=36
5.如图，△ABC中，∠C=30∘，将△ABC绕点A顺时针旋转60∘得△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB的度数是( )
A. 70∘B. 90∘C. 60∘D. 55∘
6.关于y的一元二次方程y2+ny−n−2=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不确定
7.关于二次函数y=x2+2x−3的图象，下列说法正确的是( )
A. 对称轴是直线x=1B. 图象与x轴没有交点
C. 顶点坐标为(1,2)D. 当x>−1时，y随x的增大而增大
8.汽车刹车后行驶的距离S(单位：米)关于行驶时间t(单位：秒)的函数关系式是S=6t−t2则汽车从刹车到停止所用时间为( )
A. 4秒B. 3秒C. 2秒D. 1秒
9.某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y=−16(x−5)2+6.则CD的长为( )m.
A. 18B. 20C. 22D. 30
10.如图，是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b>2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为−3和1；④a−2b+c>0.其中正确的命题是( )
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.点M(4,−3)关于原点对称的点N的坐标是______.
12.若函数y=x2−6x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m=______.
13.如图，在△ABC中，∠CAB=62∘，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′//AB，则旋转角的度数为______.
14.现要在一个长为30m，宽为20m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应是______m.
15.校运会上，一名男生推铅球，出手点A距地面53m，出手后的运动路线是抛物线，当铅球运行的水平距离是4m时，达到最大高度3m，那么该名男生推铅球的成绩是______m.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
解方程：8(x−3)+4x(x−3)=0.
17.(本小题7分)
已知关于x的一元二次方程x2+x+n=0.
(1)若方程其中一个根为−2，求另一根及n值；
(2)若该方程有实数根，求n的取值范围.
18.(本小题7分)
如图，AB与CD相交于点E，EC=ED，AC//BD.
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN，使得点M在AC上，点N在BD上.
(不写作法，保留作图痕迹，标明字母)
19.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=ax2+x+m(a≠0)的图象与x轴交于A、C两点，与直线y2=−x−4交于点A、B，其中点B坐标为(0,−4)，点C坐标为(2,0).
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)根据图象，直接写出y20，
∴关于y的一元二次方程y2+ny−n−2=0有两个不相等的实数根．
故选：A.
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ=b2−4ac的值的符号就可以了．
此题主要考查了一元二次方程的判别式与根的情况，判定一元二次方程判别式的符号，即可得出结论．熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式Δ=b2−4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式Δ=b2−4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式Δ=b2−4ac0，
∴开口向上，图象与x轴有交点，当x>−1时，y随x的增大而增大．
故选项A，B，C错误．选项D正确．
故选：D.
二次函数y=x2+2x−3=(x+1)2−4，推出抛物线的对称轴是直线x=−1，顶点坐标(−1,−4)，由a=1>0，推出开口向上，图象与x轴有交点，当x>−1时，y随x的增大而增大．由此即可判断．
本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是掌握二次函数的性质．
8.【答案】B
【解析】解：∵S=6t−t2=−t2+6t=−(t−3)2+9，
∴当t=3时，S最大值为9.
∴从汽车开始刹车到汽车停止所需的时间是3秒．
故选：B.
依据题意，利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
本题主要考查了利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：当y=0时，−16(x−5)2+6=0，
解得：x1=−1(舍去)，x2=11，
∴点D的坐标为(11,0)，
∴OD=11m.
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC=OD=11m，
∴CD=OC+OD=22m.
故选：C.
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD=OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标．
10.【答案】C
【解析】解：∵x=1时，y=0，
∴a+b+c=0，所以①正确；
∵x=−b2a=−1，
∴b=2a，所以②错误；
∵点(1,0)关于直线x=−1对称的点的坐标为(−3,0)，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(−3,0)和(1,0)，
∴ax2+bx+c=0的两根分别为−3和1，所以③正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c0，
∴−3b0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=−b2a；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c).
11.【答案】(−4,3)
【解析】解：由M(4,−3)关于原点对称的点N的坐标是(−4,3)，
故答案为：(−4,3).
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．
12.【答案】9
【解析】解：根据题意得b2−4ac=(−6)2−4m=0，
解得m=9.
故答案为9，
根据△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到△=(−6)2−4m=0，然后解关于m的方程即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac30(不合题意，舍去)，
∴x=1.
答：小道进出口的宽度应为1米．
故答案为：1.
设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为864m2列出方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为864m2找到正确的等量关系并列出方程．
15.【答案】10
【解析】解：设二次函数的解析式为y=a(x−4)2+3，
把(0,53)代入y=a(x−4)2+3，
解得，a=−112，
则二次函数的解析式为：y=−112(x−4)2+3=−112x2+23x+53；
令y=0得到：−112x2+23x+53=0，
解得，x1=−2(舍去)，x2=10，
则铅球推出的距离为10m.
故答案为10.
把(0,53)代入y=a(x−4)2+3，求出a的值即可，再求出抛物线与x轴的交点即可解决问题．
本题主要考查二次函数的实际应用，孰练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
16.【答案】解：∵8(x−3)+4x(x−3)=0，
∴(x−3)(4x+8)=0，
则x−3=0或4x+8=0，
解得x1=3，x2=−2.
【解析】利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵一元二次方程x2+x+n=0的一个根是−2，
∴4−2+n=0，
∴n=−2，
∴方程为x2+x−2=0，
解得x1=−2，x2=1，
∴另一个根为1，n=−2；
(2)∵一元二次方程x2+x+n=0有实数根，
∴Δ≥0，
∴1−4n≥0，
∴n≤14.
【解析】(1)根据方程根的定义求出n的值，再解方程即可；
(2)根据Δ≥0，构建不等式求解．
本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18.【答案】(1)证明：∵AC//BD，
∴∠A=∠B，∠C=∠D，
在△AEC和△BED中，
∠A=∠B∠C=∠DEC=ED，
∴△AEC≌△BED(AAS)；
(2)如图，四边形DMCN即为所求作的菱形．
【解析】(1)根据平行，得出∠A=∠B，∠ACD=∠BDC，利用AAS证明全等；
(2)过点E作CD垂线即可．
本题考查了全等三角形的判定，菱形的构造，掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键．
19.【答案】解：(1)把点B(0,−4)，C(2,0)代入y1=ax2+x+m得m=−44a+2+m=0，
解得a=12m=−4，
∴此抛物线的函数解析式为y=12x2+x−4；
(2)把y=0代入y2=−x−4得，−x−4=0，解得x=−4，
∴A(−4,0)，
由图象可知，y2