九年级上学期第二次月考数学试题 (16)

这是一份九年级上学期第二次月考数学试题 (16)，共34页。
注意事项：
1． 试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2． 作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3． 作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4． 考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数比较大小的法则：正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值大的反而小解答即可．本题考查了有理数大小比较的法则，熟练运用有理数大小比较的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴最小的数为，
故选．
2. 下列图形是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形解答即可．本题考查了轴对称图形的定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，理解轴对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：∵项不是轴对称图形，
∴项不符合题意；
∵项是轴对称图形，
∴项符合题意；
∵项不是轴对称图形，
∴项不符合题意；
∵项不是轴对称图形，
∴项不符合题意；
故选．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方的运算法则分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、a3和a2不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
B、a2⋅a3=a5原式计算错误，该选项不符合题意；
C、正确，该选项符合题意；
D、原式计算错误，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则进行判断．
4. 如图，曲线表示某地某日空气质量指数I随时间t（h）的变化情况，则I最大时，对应的t的值约为（ ）
A. 8B. 12C. 16D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，直接根据函数图象，即可解答．
【详解】解：由图可知，I最大时，对应的t的值约为12，
故选：B．
5. 如图，四边形EFGH与四边形位似，其位似中心为点，且相似比为，若四边形的周长为，则四边形EFGH周长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据位似图形的性质：位似图形的周长比等于相似比解答即可．本题考查了位似图形的性质，熟练运用位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形EFGH与四边形位似，且相似比为，
∴，
∵，
∴，
故选．
6. 用字母“C”，“H”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个“H”，第②个图案中有6个“H”，第③个图案中有8个“H”，按此规律排列下去，则第④个图案中字母“H”的个数为（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
根据题意可得第①个图案中有个“”，第②个图案中有个“”，第③个图案中有个“”，……，由此发现规律，即可求解．
【详解】解：第①个图案中有个“”，
第②个图案中有个“”，
第③个图案中有个“”，
……
第n个图案中字母“”个数为，
所以第④个图案中字母“”的个数为．
故选：A
7. 估计的值在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
【答案】C
【解析】
【分析】首先对进行估算，再根据不等式的性质对进行估算，即可判定．
【详解】解：，
，
，即，
故在6和7之间，
故选：C.
【点睛】本题考查了无理数的估算及不等式的性质，熟练掌握和运用无理数的估算方法是解决本题的关键．
8. 如图，在中，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理，能熟记圆周角定理是解此题的关键，在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．连接，根据圆周角定理求出，，求出和，再求出答案即可．
【详解】解：连接，
，，
，，
，，
，
故选：B．
9. 快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，设快马x天可以追上慢马，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
利用天快马走的路程天慢马走的路程慢马先走12天的路程，即可得出关于的一元一次方程，此题得解
【详解】解：根据题意得，
故选：D．
10. 如图，正方形的面积为3，点E，F分别在边，上，连接，，，若点M，N分别是，的中点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质以及中位线性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．连接，根据正方形的性质得到，求出，再由中位线的性质得到答案即可．
【详解】解：连接，
正方形的面积为3，
，
，
，
，
在中， ，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
点M，N分别是，的中点，
．
故选D．
11. 若关于的分式方程的解为非负数，且关于的一元一次不等式组有且只有个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的解为非负数得到的取值范围，再根据不等式组的整数解的个数确定的取值范围即可．
【详解】解：，
去分母，得，，
解得：，
∵关于的分式方程的解为非负数，
∴，
解得：且，
∵，
由①得，，
由②得，，
∵关于的一元一次不等式组有且只有个整数解，
∴，
解得：，
∴且，
∴符合题意有，
∴；
故选．
【点睛】本题考查了一元一次不等式，分式方程，掌握求一元一次不等式组的整数解及解分式方程是解题的关键．
12. 有依次排列的3个整式：a，，，将任意相邻的两个整式相加，所得之和写在这两个整式之间，可以产生一个整式串：a，，，，，这称为第1次“取和操作”；将第1次“取和操作”后的整式串按上述方式再做一次“取和操作”，可以得到第2次“取和操作”后的整式串；以此类推．下列说法：
①当时，第1次“取和操作”后，整式串中所有整式的积为负数；
②第3次“取和操作”后，整式串中倒数第二个整式为；
③第4次“取和操作”后，整式串中所有整式之和为；
其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是正确理解题目所给“取和操作”的定义．
根据，判断第1次“取和操作”后，各个式子的正负，即可判断①；根据“取和操作”的定义，得出第3次“取和操作”后，整式串中倒数第二个整式，即可判断②；得出第四次“取和操作”所有整式，相加即可判断③．
【详解】解：①∵，
∴，，，，
∴第1次“取和操作”后，有3个正数，2个负数，
∴整式串中所有整式的积为正数，故①不正确；
②第一次“取和操作”后，整式串中倒数二个整式为，，
第二次“取和操作”后，整式串中倒数二个整式为，，
第三次“取和操作”后，整式串中倒数二个整式为，，
∴第3次“取和操作”后，整式串中倒数第二个整式为，故②正确；
③第一次“取和操作”所有整式为：a，，，，，
第二次“取和操作”所有整式为：a，，，，，，，，，
第三次“取和操作”所有整式为：a，，，，，，，，，，，，，，，，，
第四次“取和操作”所有整式为：a，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
∴第4次“取和操作”后，整式串中所有整式之和为；故③不正确，
综上：正确的有1个，
故选：B．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 计算：_____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据零指数幂以及绝对值的意义进行运算即可作答．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了零指数幂的计算，掌握任何非零实数的零指数幂都等于1，是解答本题的关键．
14. 经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐，假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，则两人都右拐的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有9种等可能的结果，其中两人都右拐的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两人都右拐的结果有1种，
∴两人都右拐的概率为，
故答案为：．
15. 如图，中，，点为边上一点，以为圆心，长为半径的半圆与AB相切于点，与交于点，则图中阴影部分的面积为______．（结果不取近似值）
【答案】
【解析】
【分析】连接，利用等腰三角形的判定与性质可知，再利用直角三角形的性质可知，再根据锐角三角函数可知，最后利用直角三角形的面积公式及扇形的面积公式解答即可．
【详解】解：如图，连接，
∵在中，，
∴△ABC是等腰三角形，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∵长为半径的半圆与AB相切于点，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，直角三角形的面积公式，扇形的面积公式，圆的基本性质，熟练运用等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
16. 在2022卡塔尔世界杯期间，以吉祥物拉伊卜为主题元素的纪念品手办、毛绒公仔、徽章套组深得广大球迷喜爱．某官方授权网店销售的手办、毛绒公仔、徽章套组售价之比为，三种纪念品售价均为整数，售价之和大于300元且小于360元，每种纪念品每人购买不超过6件．甲乙二人分别在该网店购买纪念品，结算时，两人购物车中均有三种纪念品若干，已知两人购买的毛绒公仔数相同，徽章套组数不同，乙购买的手办数量大于甲购买的手办数量，甲选购的纪念品合计1200元，乙选购的纪念品合计1440元，则两人购买手办的费用之和最多是______元．
【答案】2000
【解析】
【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程组和不等式解答．
设手办、毛绒公仔、徽章套组的售价分别为，列出不等式，求出x的取值范围为，设甲够买手办、毛绒公仔、徽章套组的的数量分别为a、b、c；乙够买手办、毛绒公仔、徽章套组的的数量分别为m，b，n，根据题意列出方程组，得出，则，进而推出，根据题意得出，则，，，，即可解答．
【详解】解：设手办、毛绒公仔、徽章套组的售价分别为，
，
解得：，
∵三种纪念品售价均整数，
∴，
设甲够买手办、毛绒公仔、徽章套组的的数量分别为a、b、c；乙够买手办、毛绒公仔、徽章套组的的数量分别为m，b，n；
，
整理得：，
∵a、b、c、m、n均为整数，且1200和1440在x的取值范围内只有一个公因数40，
∴，
∴，
整理得：，
∵每种纪念品每人购买不超过6件，
∴，，，
∴，或，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴，；
∴，，，，
∴两人购买手办的费用之和最多是（元），
故答案为：2000．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. （1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则和平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
（1）先利用平方差公式和单项式乘多项式的乘法法则进行计算，再合并同类项即可；
（2）利用分式的减法法则计算括号里面的，再利用完全平方公式和分式的除法和乘法法则进行计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
18. 如图，在平行四边形中，连接对角线，过点作于点．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）问所作的图形中，连接，求证：四边形是平行四边形．
证明：
∵四边形是平行四边形，
∴ ，．
∴ ．
．
．

∴ ．
在和中：
．
∴ ．
，．
∴四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本作图，过点作的垂线即可；
（2）先根据平行四边形的性质得到，所以，再利用垂直的定义得到，接着证明，所以，然后根据平行四边形的判定方法得到四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：如图，为所作；

（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
．
．
∴BE∥DF．
在和中：
．
∴．
，．
∴四边形是平行四边形．
故答案为：， ， ， ．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 近日，学校举办了一场摄影艺术云讲座，讲座结束后进行了满分为100分的摄影知识测评，为了解测评情况，学校在八、九年级分别随机抽取了10名学生的成绩（单位：分）进行整理、分析（成绩用x表示，共分为四个等级：，，，下面给出了部分信息：
10名八年级学生的成绩为：；
10名九年级学生的成绩中C等级包含的所有数据为：．
抽取学生摄影知识成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m=___________，a=___________，b=___________；
（2）学校八年级有1600名学生参加测评，估计其中测评成绩为D等级的学生人数；
（3）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪个年级学生对摄影知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1），，
（2）
（3）九年级较好，理由：九年级学生成绩的中位数比八年级学生成绩中位数大，九年级学生成绩的众数比八年级学生成绩的众数大．
【解析】
【分析】（1）根据众数的定义得到的值，在计算出九年级学生的成绩为等级的人数、等级的人数、等级的人数，则可求出的值，然后根据中位数的定义求出的值；
（2）用乘以样本等级的人数所占的百分比即可；
（3）通过比较中位数或众数可判断哪个年级学生对摄影知识掌握较好．
【小问1详解】
解：10名八年级学生的成绩众数为87，即；
10名九年级学生的成绩等级的人数为：（人），等级的人数为：（人），所以等级的人数为：（人），
所以，即；
10名九年级学生的成绩由小到大排列，第5个数为88，第6个数为89，
所以10名九年级学生的成绩的中位数：，即；
故答案为：，，；
【小问2详解】
（人），
所以估计测评成绩为等级的人数为人；
【小问3详解】
九年级学生对摄影知识掌握较好，
理由如下：九年级学生成绩中位数比八年级学生成绩中位数大，九年级学生成绩的众数比八年级学生成绩的众数大．
【点睛】本题考查了众数、样本估计总体和中位数，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数是解题的关键．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，，点是直线AB与轴的交点．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出的解集；
（3）若点关于轴的对称点是点，连接AD，BD，求的面积．
【答案】（1）一次函数表达式为，图象见解析；
（2）解集为或；
（3）．
【解析】
【分析】（1）把点坐标代入反比例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出点的坐标，再将点、点坐标代入一次函数解析式即可求解，在图中找出点、点，相连即为一次函数图象；
（2）结合（1）中的图象即可得解；
（3）结合一次函数解析式求出点的坐标，由题意推得点后，根据即可求解．
【小问1详解】
解：依题得：点、点在一次函数与反比例函数的交点上，
则，
反比例函数解析式为，
，
即，，
将和代入一次函数中得，
，
解得，
一次函数的表达式为，图象如下：
【小问2详解】
解：由中图象可得：的解集为或．
【小问3详解】
解：依题得：
时，，
，
点是点的对称点，
，
，
．
【点睛】本题考查的知识点是画一次函数图象、反比例函数与一次函数综合、待定系数法求解析式、函数与不等式关系、利用网格求三角形面积，解题关键是熟练利用数形结合的方法．
21. 为推进数字校园建设工作，某区安排甲、乙两家公司合作完成1100台教学一体机的安装任务，乙公司安装的教学一体机数量比甲公司安装的教学一体机数量的两倍少台．
（1）求甲、乙两家公司各安装了多少台教学一体机？
（2）若乙公司每天比甲公司每天少安装台教学一体机，最终乙公司完成安装任务所用天数是甲公司完成安装任务所用天数的倍，求乙公司每天安装多少台教学一体机？
【答案】（1）甲公司安装的教学机为台，乙公司安装的教学机为台
（2）乙公司每天安装台教学一体机
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题，分式方程与实际问题，审清题意，找出数量关系和等量关系是解题的关键．
（1）设甲公司安装的教学机为台，乙公司安装的教学机为台根据题意列方程解方程即可；
（2）设甲公司每天安装台教学一体机，乙公司每天安装台教学一体机根据题意列方程解方程即可；
【小问1详解】
解：设甲公司安装了教学机为台，乙公司安装了教学机为台，根据题意得，
，
解得：，
∴乙公司安装的教学机为台，
答：甲公司安装的教学机为台，乙公司安装的教学机为台；
【小问2详解】
解：设甲公司每天安装台教学一体机,乙公司每天安装台教学一体机，根据题意，
，
解得：，
∴,乙公司每天安装台教学一体机，
答：乙公司每天安装台教学一体机．
22. 如图，某小区车库入口斜坡的坡角，因坡角过大易引发安全事故，该小区物业部门决定将斜坡改造为斜坡，新的坡角，已知，米．（参考数据：，，）
（1）求坡底部增加的长度是多少米（结果保留一位小数）；
（2）若点距斜坡上方悬挂的广告牌的水平距离米，米，，求广告牌下端点到斜坡的距离（结果保留一位小数），并据此判断高度为米的货车沿下坡过程中是否会撞到广告牌？
【答案】（1）坡底部增加的长度是米
（2）高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌
【解析】
【分析】（1）根据垂直的定义及等腰三角形的判定可知，再利用锐角三角函数可知即可；
（2）利用垂直的定义及矩形的判定可知四边形形是矩形，再根据矩形的性质及直角三角形的性质可知，最后利用锐角三角函数解答即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵米，
∴米，
∵，
∴在中，，
∴，
答：坡底部增加的长度是米；
【小问2详解】
解：高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌，理由如下：
过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足，
∴，
∴四边形形矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵米，
∴在中，，米 ，
∵米，
∴在中，，
∴，
∵，
∴高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌．
【点睛】本题考查了垂直的定义，等腰直角三角形判定与性质，锐角三角函数，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形的应用—坡角问题，根据题目已知条件添加适当的辅助线是解题的关键．
23. 若一个自然数能分解成，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字少2，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“暖心数”．
例如：∵，1比3小2，，∴504是“暖心数”；
又如：∵，1比8小7，∴1445不是“暖心数”．
（1）判断845，456是否是“暖心数”，并说明理由；
（2）一个四位自然数N是“暖心数”，，去掉N的千位数字，将剩余的数记为P（例如，当时，；当时，）．设A的十位数字是a，个位数字是b，若A与B的十位数字之和能被8整除，且P能被比B的个位数字大4的数整除，求出所有满足条件的“暖心数”N．
【答案】（1）845不是“暖心数”， 456是“暖心数”
（2）所有满足条件的“暖心数”N有1944，7161，7144
【解析】
【分析】本题考查了新定义，列代数式，因式分解，二次函数的性质．
（1）根据“暖心数”的定义进行判断即可；
（2）根据题意可得：，根据A与B的十位数字之和能被8整除，求出或，然后进行分类讨论：①当时，，
结合二次函数的性质，得出N的千位数字为1，则，进而解答；②和①同理即可解答．
【小问1详解】
解：∵，，
∴845不是“暖心数”；
∵，，
∴456是“暖心数”；
【小问2详解】
解：根据题意可得：，
∵为B的最高位上数字，
∵，则，
∵A与B的十位数字之和能被8整除，
∴是整数，
∴或，
①当时，，
∵，，
∴当时，N有最大值，，
当时，N有最小值，，
∴N的千位数字为1，
∴，
∵P能被比B的个位数字大4的数整除，
∴是整数，
即1024能被整除，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴；
②当时，，
∵，，
∴当时，N有最大值，，
当时，N有最小值，，
∴N的千位数字为7，
∴，
∵P能被比B的个位数字大4的数整除，
∴是整数，
即224能被整除，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时， ；
当时， ；
综上：所有满足条件的“暖心数”N有1944，7161，7144．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，C0,6．点D是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），过点D作x轴的垂线，垂足为点E，直线交直线于点F．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图，当点D在第一象限时，求的最大值及此时点D的坐标；
（3）连接，作点F关于直线的对称点，当点落在y轴上时，写出所有符合条件的四边形的周长，并写出求四边形的周长的其中一种情况的过程．
【答案】（1）
（2）最大值，．
（3）四边形的周长为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
（1）把，C0,6代入，求出a和c的值，即可得出抛物线解析式；
（2）先求出B4,0，在得出的函数表达式为，设，则，，得出，，则结合二次函数的性质，即可解答；
（3）根据题意进行分类讨论：①当点在y轴正半轴时，连接交于点H，
先证明四边形是菱形，设，则，得出，，根据，列出方程求解即可；②当点在y轴正半轴时，用和①同样的方法，即可解答．
【小问1详解】
解：把，C0,6代入得：
，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：把代入得：，
解得：，
∴B4,0，
设的函数表达式为，
把B4,0，C0,6代入得：，
解得：，
∴的函数表达式为，
设，则，，
∴，，
∴ ，
∵，
∴当时，有最大值，
此时．
【小问3详解】
解：①当点在y轴正半轴时，
连接交于点H，
∵点关于直线的对称，
∴，，，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
设，则，
∵C0,6，
∴，，
∵，
∴，
解得：，（舍去），，
∴四边形的周长；

②当点在y轴正半轴时，
同理可得：四边形是菱形，
，，
∵，
∴，
解得：，（舍去），，
∴四边形的周长；

综上：四边形的周长为．
25. 如图，将绕点A顺时针旋转得，点B，C分别旋转到了点E，D．
（1）如图1，若，，，，连接，求的长；
（2）如图2，若，延长交于点F，连接并延长至点G，使得，连接，连接交于点H，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，为等腰直角三角形，，过点C作平行线l，若，延长交线段于点P，与l交于点Q，连接，当面积最小时，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）；证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求出，证明，得出；
（2）在上取点，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据，即可证明结论；
（3）作于点F，证明四边形为正方形，得出，设正方形的边长为a，证明，得出，作的外接圆O，连接，，，作于点G，设的半径为R，说明当平分，
，R最小，根据，得出当最小时，最小，的面积最小，即最小，说明此时平分，过点P作于点M，求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴根据勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
根据旋转可知：，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：，理由如下：
在上取点，使，连接，如图：
由绕点顺时针旋转得到得：，，
是等边三角形，
，
，
在中，，
由旋转性质知，
，
，
，
，，
，即，
由旋转性质知，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：作于点F，如图所示：
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
设正方形的边长为a，
将绕点A顺时针旋转至，
∵为等腰直角三角形，
∴，
根据旋转可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
作的外接圆O，连接，，，作于点G，设的半径为R，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，点O在上，
∵，
∴此时，
∴垂直平分，
∴，
∴此时平分，
∴，
∵，
∴当最小时，最小，的面积最小，即最小，
∴当时，的面积最小，
∴此时，
∴，
∴，
∴平分，
过点P作于点M，
∵，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得：
∵此时，
∴，
∴，，
∴
．平均数
中位数
众数
八年级
87
87.5
a
九年级
87
b
95