九年级上学期第二次月考数学试题 (18)

这是一份九年级上学期第二次月考数学试题 (18)，共33页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（全卷共25个大题，满分150分，考试时间120分钟）
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 的相反数是（ ）
A. 2022B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】该题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义；
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据定义即可得到答案；
【详解】解：的相反数是，
故选：A．
2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；依次进行判断即可．
【详解】解：图形中是轴对称图形的是．
故选：B
3. 下列调查中，调查方式选择正确的是（ ）
A. 为了了解某班学生的视力情况，选择抽样调查
B. 为了了解中央电视台《开学第一课》的收视情况，选择全面调查
C. 为了检测乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品，选择抽样调查
D. 为了对载人航天飞船“神舟十五号”的零部件进行检查，选择全面调查
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而且抽样调查得到的调查结果不准确，只是近似值．
【详解】解：A、为了了解某班学生的视力情况，选择全面调查，故此选项原说法不合题意；
B、为了了解中央电视台《开学第一课》的收视情况，选择抽样调查，故此选项原说法不合题意；
C、为了检测乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品，选择全面调查，故此选项原说法不合题意；
D、为了对载人航天飞船“神舟十五号”的零部件进行检查，选择全面调查，故此选项原说法符合题意．
故选：D．
4. 与最接近的整数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，先估算的大小，然后得出最接近的整数．
【详解】解：∵，
∴，且比较接近4，
∴，且比较接近2．
故选：B
5. 重庆实施垃圾分类行动，某超市销售甲、乙两种型号的“垃圾分类”垃圾桶在6-10月间的盈利情况统计图如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. 甲型垃圾桶的利润逐月减少
B. 乙型垃圾桶在11月份的利润必然超过甲超市
C. 乙型垃圾桶的利润逐月增加
D. 8月份两种型号的垃圾桶利润相同
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查折线统计图．根据折线统计图所反映数量的增减变化情况进行判断即可．
【详解】解：A、甲型垃圾桶的利润6月至9月逐月减少，9月以后又出现增长，因此本选项不符合题意；
B、11月份甲、乙型垃圾桶的利润无法预测，因此本选项不符合题意；
C、乙型垃圾桶的利润6月至9月逐月增加，9月以后又出现减小，因此本选项不符合题意；
D、8月份两种垃圾桶的利润相同，因此本选项符合题意；
故选：D．
6. 如图，与是位似图形，且位似中心为，，若的面积为9，则的面积为（ ）．
A. 4B. 6C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是位似图形．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：与是位似图形，
，，
，
，
，
的面积为9，
的面积为4，
故选：A．
7. 如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，则依题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，由图形可发现小长方形墙砖的一个长与两个宽的和为，五个宽的和为，据此即可列方程组．
【详解】解：设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，根据题意，得
．
故选：C
8. 如图，是由一些火柴棒搭成的图案：摆第1个图案用5根火柴，摆第2个图案用9根火柴，……按照这样的方式摆下去，摆第2022个图案需要用的火柴根数为（ ）
A. 8081B. 8086C. 8088D. 8089
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了图形变化的规律，解题关键是找到规律．根据所给图形总结规律求解即可．
【详解】解：摆第1个图案需要5根火柴棒，而，
摆第2个图案需要9根火柴棒，而，
摆第3个图案需要13根火柴棒，而，
……，
∴摆第n个图案需要根火柴棒，
故摆第2022个图案需要火柴棒根数为．
故选：D．
9. 如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，且交于点，若，求的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理．连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理求出，进而求出，得到答案．
【详解】解：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
故选：A．
10. 如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（ ）．
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意证明，所以，则是等腰直角三角形；过点F作，得出是等腰直角三角形，推出，进而根据勾股定理可求出．
【详解】解：在正方形中，和为对角线，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
过点F作，如图，
AI
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，含的直角三角形的三边关系，勾股定理，解题关键是得出是等腰直角三角形．
11. 若关于的分式方程的解为正数，且关于的一元一次不等式组的解集为，则满足条件的整数的乘积是（ ）．
A. 24B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程，解一元一次不等式组，不等式的整数解．解分式方程求得分式方程的解，依据已知条件列出不等式得到的取值范围；解不等式组求得的取值范围，得到关于的不等式组，解不等式组并取的整数解后再相加，即可得出结论．
【详解】解：，
去分母得：
，
移项，合并同类项得：
，
．
分式方程有可能产生增根3，
，
．
关于的分式方程的解为正数，
，
．
关于的一元一次不等式组的解集为，
，
，
综上，的取值范围为且，
为整数，
，，，．
所有满足条件的整数的乘积是，
故选：A．
12. 有依次排列的两个整式，，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式B作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②整式与整式结果相同；③当时，；④；其中，正确的说法有（ ）个
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减以及探索规律，正确理解题意和熟练进行整式的运算是关键．根据依次进行作差、求和的交替操作可知6个一循环，然后再依次判断即可．
【详解】解：由题意依次计算可得：
，
，
，
，
，
，
．
以此类推，6个一循环，
当时，，故①错误，
整式与整式结果相同，整式与结果相同，故②错误，
当时，则，
或，
或0，
故③正确，
，，，
，
，故④错误，
故选：D．
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 计算：________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的加法．利用算术平方根的定义，绝对值的定义，零指数幂计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：1．
14. 一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查画树状图或列表法求概率，解题的关键是画出所有的情况，再用概率公式进行求解．
根据题意画出树状图，再利用概率公式进行求解．
【详解】解：画树状图为
由此可得，一共有9种等可能的情况，两次摸出的球都是“红球”的有4种，
∴两次摸出的球都是“红球”的概率为．
故答案为：
15. 如图，扇形的顶点在上，边、分别与交于点、．若的直径为2，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留）
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积的计算和圆周角定理．连接，根据，可知为直径，可得，再根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，
，
为直径，
，
，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
16. 我校九年级的同学们准备征订2023年的课外杂志．结合各班级的调查结果，发现同学们最喜爱的杂志有以下三种：《读者》、《中学生数理化》和《博物》．经过了解，三种杂志的意向征订数之比依次为，其中女生对三种杂志的意向征订数之比依次为，男生和女生对三种杂志的意向总征订数之比为．但在实际的征订过程中，数量均发生了变化：其中《读者》杂志的总征订数提升了，女生的《中学生数理化》征订数提升了，男生的《博物》征订数下降了，男生的《读者》实际征订数恰好是女生的《中学生数理化》实际征订数的2倍，男生的《中学生数理化》实际征订数与女生的《博物》实际征订数之比为．在统计中，发现男生的《博物》实际征订数比女生的《博物》实际征订数多了不少于100本且不大于150本且《博物》的实际总征订数为1320本，则男生与女生对三种杂志的实际总征订数之比为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次方程组的应用，解答此题的关键是读懂题目，弄清题意，通过设置适当的未知数列出实际征订数，找出等量关系列出方程，求出实际征订数．
通过设置适当的未知数，把意向征订数之比转化为具体数量，用字母表示，再根据题目条件列出变化后的征订数，最后通过等量关系列出方程，然后解出方程，最后求出男生与女生对三种杂志的实际总征订数即可得出答案．
【详解】解：∵《读者》、《中学生数理化》和《博物》 三种杂志的意向征订数之比依次为，
∴可设三种杂志意向征订数依次为：，，
∴，
∵女生对三种杂志的意向征订数之比依次为，
∴可设女生对三种杂志的意向征订数依次为：，，，
∴女生对三种杂志的意向总征订数为：，
∴男生对三种杂志的意向总征订数为：，
∵男生和女生对三种杂志的意向总征订数之比为，
∴，
解得：，
∴三种杂志的意向征订数依次为：，，，
实际征订时，《读者》杂志的总征订数提升了，
∴《读者》杂志的实际总征订数为
∵实际征订时，女生的《中学生数理化》征订数提升了，
∴女生的《中学生数理化》实际总征订数为：
∵实际征订时，男生的《博物》征订数下降了，
∴男生的《博物》实际总征订数为：，
又∵男生的《读者》实际征订数恰好是女生的《中学生数理化》实际征订数的2倍，
∴男生的《读者》实际征订数为：，
∵男生的《中学生数理化》实际征订数与女生的《博物》实际征订数之比为．
∴可设男生的《中学生数理化》实际征订数为，女生的《博物》实际征订数为，
男生的《博物》实际征订数比女生的《博物》 实际征订数多了不少于100本且不大于150本，
∴ ，
∵《博物》的实际总征订数为1320本，
∴，
联立得：，其中，均为正整数，
解得：，
∵男生对三种杂志的实际总征订数为：
，
∵男生对三种杂志的实际总征订数为：
，
∴男生与女生对三种杂志的实际总征订数之比为：．
故答案为：
三、解答题：（本大题共7小题，17题8分，18题8分，19-23题各10分，共66分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查分式的混合运算，单项式乘多项式，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）先进行乘法的运算，再合并同类项即可；
（2）先通分，把除法转为乘法，最后约分即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 在几何学习中，我们遇到这样一个题目：“在四边形中，．若平分，，求证：．”结合学过的知识，可以知道：首先过点C分别作出、的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决．请根据上述的思路，完成下面的作图与填空：
（1）尺规作图：用直尺和圆规，过点C分别作出、的垂线，垂足分别是点 E、F（只保留作图痕迹）；
（2）证明：∵，，
∴，
又∵平分，
∴ ．
在和中，
∴
∴ ．
又 ．
∴．
【答案】（1）见详解 （2），，，
【解析】
【分析】本题主要考查了用尺规作图、全等三角形的判定与性质和角平分线的性质，
（1）过点C以长为半径画圆弧与相交于两点，以交点为圆心大于其一半为半径画弧相交于一点，连接点C和交点即可，同理可过C点作的垂线；
（2）先根据角平分线的性质得到，再证明得到，然后利用得到．
【小问1详解】
解： 如图，、为所作直线，
【小问2详解】
证明：∵，
∴
又∵平分，
∴，
在和中，
，
，
∴．
又，
∴．
故答案为∶ ，，，．
19. 体考，是同学们一定要攻下的“中考第一关”．为了提升体育成绩，我校九年级的同学们加强了“高抬腿”、“开合跳”这两个项目的训练．在12月12日的体锻课上，九年级的同学们进行了这两个项目的30秒快速练习．九年级（1）班的10位同学主动结成“体育运动小组”，小明对他们的训练结果进行了整理、描述和分析（完成个数用x表示，其中A：，B：，C：），下面给出了部分信息：
10位同学30秒“高抬腿”的个数：57，63，63，69，59，66，70，65，65，63．
10位同学30秒“开合跳”中B等级包含的所有数据为：62，62，62，64．
10位同学体育训练项目完成个数统计表
（1）填空：（1）______，______，______；
（2）若九年级共有3000名同学，估计12月12日“开合跳”训练得到A等级的人数；
（3）根据以上数据，你认为九年级的同学们应该加强哪一个项目的练习？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）63，62，20
（2）1200 （3）应加强“开合跳”项目的练习，见解析
【解析】
【分析】（1）根据众数，中位数定义求出a，b的值，利用百分比计算公式求出m即可；
（2）用总人数乘以“开合跳”训练得到A等级的百分比即可；
（3）利用表格进行分析即可．
【小问1详解】
解：10位同学30秒“高抬腿”的个数由低到高排列为：57，59，63，63，63，65，65，66，69，70，出现次数最多的是63，
∴众数，
“开合跳”中A等级的人数为，
∴“开合跳”的第5和第6个数据为62，62，
∴“开合跳”的中位数；
∵“开合跳”中A等级有4人，B等级有4人，
∴，
即，
故答案为：63，62，20；
【小问2详解】
，
∴“开合跳”训练得到A等级人数为1200人；
【小问3详解】
由表格可知：两种练习方式中，平均数相同，“开合跳”的中位数、低于“高抬腿”的中位数；众数小于“高抬腿”的众数；方差大于“高抬腿”的方差，故应加强“开合跳”项目的练习．
【点睛】此题考查了统计表与扇形统计图的结合，求众数，中位数，个体的百分比，利用部分的比例求总体中的比例，利用中位数，众数，方差作出决策，正确理解表格并得到相应的结论是解题的关键．
20. 如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点，已知点的纵坐标为2，点的纵坐标为．
（1）求一次函数的表达式，并在网格中画出一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出方程的解；
（3）已知直线与轴交于点，若点是点关于轴的对称点，连接、，求的面积．
【答案】（1）；图见解析
（2）或；
（3）
【解析】
【分析】（1）由反比例函数的解析式求得、的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）根据图象即可求解；
（3）由一次函数解析式求得点的坐标，进而求得点的坐标，根据即可求解．
【小问1详解】
解：反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点，点的纵坐标为2，点的纵坐标为，
，，
，解得，
一次函数的表达式为；
画出一次函数的图象如图：
；
【小问2详解】
解：观察图象，可知方程的解是或；
【小问3详解】
解：在中，令，则，
，
点是点关于轴的对称点，
，
，
．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，函数与方程的关系，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
21. 九龙坡区有七条特色山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点．
（1）两个小队的登山速度各是多少千米/小时？
（2）到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？
【答案】（1）第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时
（2）60分钟
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用，
（1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可；
（2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可．
【小问1详解】
解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时；
【小问2详解】
解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟．
22. 重庆有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北区塔子山的文峰塔被称为是重庆的“航标”．小宇与小航准备测量塔子山文峰塔的高度，如图，小宇在点处观测到文峰塔最高点的仰角为，再沿正对文峰塔的方向前进至处测得最高点的仰角为，小航先在点处竖立长为标杆，再后退至其眼睛所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，此时测得最高点的仰角为，已知两人身高均为（头顶到眼睛的距离忽略不计）．
（1）求文峰塔的高度．（结果保留一位小数）；
（2）测量结束时小宇站在点处（点在点正下方），小航站在点处，两人相约在塔底见面，小宇的速度为，小航速度是其2倍，谁先到达塔底？请说明理由．（参考数据：）
【答案】（1）文峰塔的高度约为；
（2）小宇先到达塔底．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）设与相交于点，设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于的方程，进而求出的长，最后进行计算即可解答；
（2）设与相交于点，根据题意可得：，则，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后分别求出他们所用的时间，进行比较即可解答．
【小问1详解】
解：设与相交于点，
由题意得：
，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
文峰塔的高度约为；
【小问2详解】
解：小宇先到达塔底，
理由：设与相交于点，
由题意得：
，
，
，
在中，，，
，
中，，
，
小宇的速度为，小航速度是其2倍，
小航的速度为，
，，
，
小宇先到达塔底．
23. 一个各数位上数字均不相同的四位自然数，满足个位数字与十位数字的差等于十位数字与百位数字的和，且这个相等的结果恰为千位上的数字，则称为“等和差数”．比如对于四位数5238，因为，且5为数的千位数，所以5238是“等和差数”；对于四位数2123因为，所以2123不是“等和差数”．
（1）判断8719、3048是否是“等和差数”？并说明理由；
（2）一个“等和差数”的个位数字与百位数字的平方差记为，个位数字的72倍减去前三位数数字之和的36倍的差记为，若为整数，求出满足条件的所有数．
【答案】（1）8719是“等和差数”， 3048不是“等和差数”
（2）满足条件的数M为：6428或6517或3125或3214
【解析】
【分析】本题考查新定义，整式的加减，分式的化简，理解“等和差数”的定义是解题的关键．
（1）根据“等和差数”的定义判断即可；
（2）设M的个位数字为a，十位数字为b，则百位数字为，千位数字为，表示出，，根据为整数且a，b，，都是0到9之间的互不相等的整数，对a，b遍历取值逐一验证求解即可．
【小问1详解】
解：8719是“等和差数”， 3048不是“等和差数”．
理由：对于四位数8719，
∵，且8是数8719的千位数，
∴8719是“等和差数”．
对于四位数3048，
∵，而4不是数3048的千位数，
∴3048不是“等和差数”．
【小问2详解】
解：设M的个位数字为a，十位数字为b，则百位数字为，千位数字为，
则，
∴，
，
∵为整数，
又a，b，，都是0到9之间的互不相等的整数，
∴①当，时，，，
则，不满足各数位上数字均不相同，舍去；
②当，时，，，
则，符合题意；
③当，时，，，
则，符合题意；
④当，时，，，
则，不满足各数位上数字均不相同，舍去；
⑤当，时，，，
则，符合题意；
⑥当，时，，，
则，符合题意；
⑦当，时，，，
则，不满足各数位上数字均不相同，舍去；
⑧当，时，，，
则，不满足各数位上数字均不相同，舍去；
综上所述，满足条件的数M为：6428或6517或3125或3214．
四、解答题：（本大题共2小题，每小题10分，共20分）解答时每小题必给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
24. 如下图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．连接，过点作交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如下图，点为直线下方抛物线上一点，连接交于，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）将抛物线沿方向平移个单位，点为平移后的抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，写出点的坐标，并写出其中一个点的求解过程；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）面积的最大值为15，此时点M的坐标为
（3）点P的坐标为或或
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法，将点A，B的坐标代入抛物线解析式，即可求解；
（2）在中，得到，从而直线的解析式为，
根据，且直线过点，求得直线解析式为，进而可得．过点M作轴，交于点K，设，则，可得，由得到，进而，根据二次函数的性质即可解答；
（3）把抛物线沿抛物线沿方向平移个单位，相当于把抛物线向右平移6个单位，再向下平移4个单位，因此可得平移后抛物线解析式为，设，则，，，分三种情况讨论：
①，②，③，代入得到方程，求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴相交于，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：在中，令，得，
∴，
设过点的直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵
∴设直线解析式为，
∵直线过点，
∴，解得，
∴直线解析式为，
解方程组得或，
∴，
过点M作轴，交于点K，
设，则，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为15，此时，
∴面积的最大值为15，此时点M的坐标为；
【小问3详解】
解：存在点P，使得为等腰三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∵把抛物线沿抛物线沿方向平移个单位，相当于把抛物线向右平移6个单位，再向下平移4个单位，
∴平移后抛物线解析式为：
∴新抛物线的对称轴为直线，
设，
∵， ，
∴，
，
，
①若，则，
解得，
∴；
②若，则，
化简为
∴方程无实数解，不成立；
③若，则
解得或，
∴或，
综上所述，点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的图形及性质，待定系数法求解析式，三角形的面积，等腰三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．
25. 如图，在中，，，点为的中点，为平面内一点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转120°得到线段，连接．
（1）如下图，，当点落在上，且时，求线段的长；
（2）如下图，点不在上，连接、，当于时，求证：；
（3）如下图，当于且点落在线段上时，若，连接，点为直线上任意一点，将沿翻折得到，连接、、，当取得最大值时，直接写出的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可知，，进而可得，设与的交点为，解即可；
（2）连接，证明，可得，进而可得；
（3）由折叠可知，由此可得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，若
最大，则点在的延长线上，延长交于点，过点作于点，易证，求出的长，即可得出的面积．
【小问1详解】
解：设与的交点为，
由旋转可知，，，
∴，
，
，
，，
，
∴，
∴
∴，
，
点是的中点，，
∴，
∴，
如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
，，
∴；
【小问2详解】
证明：∵在中，，，，
，平分，
，
如图，连接，
点为的中点，
，
是等边三角形，
，
∴，，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
∴；
【小问3详解】
解：由（2）可知，
，
，
∴，，
，
，
点为的中点，，
，
∵在中，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
，
由折叠可知，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
若最大，则点在的延长线上，如图，延长交于点，过点作于点，
由上可知，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∵，
∴
∵，
，
，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴．项目
平均数
中位数
众数
方差
A等级所占百分比
高抬腿
64
64
a
14.4
50%
开合跳
64
b
62
19
40%