九年级上学期第一次月考数学试题 (14)

这是一份九年级上学期第一次月考数学试题 (14)，共29页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列属于一元二次方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程）逐一判断即可．
【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故错误，不符合题意；
B、将展开后不含二次项，故错误，不符合题意；
C、不含二次项，故错误，不符合题意；
D、是一元二次方程，故正确，符合题意；
故选：D．
2. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，
故选：C．
3. 用配方法解方程，则配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了配方法，首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
【详解】解：原方程变形为
即，
∴，
即．
故选C．
4. 在抛物线上的一个点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把各点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，逐项检验即可．
【详解】解：A. 当时，，所以点不在该抛物线上，不符合题意；
B. 当时，，所以点不在该抛物线上，不符合题意；
C. 当时，，所以点不在该抛物线上，不符合题意；
D. 当时，，所以点在该抛物线上，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了点与抛物线的位置关系，熟练掌握图像过点，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．
5. 已知一元二次方程的两根分别为、，则的值为（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程两根分别是和，且，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解答此题的关键是明确．
6. 关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图像开口向上
B. y随x的增大而减小
C. 图像关于x轴对称
D. 无论x取何值，y的值总是非正数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此类问题的关键．利用二次函数的性质对各选项进行判断即可．
【详解】解：，
二次函数图像开口向下，对称轴为直线，
顶点为原点，关于轴对称，当时， y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
A、B、C选项错误，不符合题意，
无论x取何值，，
D选项正确，符合题意．
故选：D．
7. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位，则变换后的新抛物线解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位，则变换后的新抛物线解析式为：，即．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
8. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步，”设阔（宽）为x步，根据题意，列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据矩形的面积公式列出方程即可．
【详解】解：根据题意得：
故选：A．
9. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【详解】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
10. 若关于x的一元二次方程：有两个不相等的实数根，且关于x的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a之和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和分式方程．先根据一元二次方程根的判别式的意义得到，解得，解分式方程得到，再利用且得到，且，解得且，所以a的取值范围为且，然后确定整数a的值，最后计算所有满足条件的整数a之和．
【详解】解：∵有两个不相等的实数根，
∴方程化为，
∴，
解得，
对于关于x的分式方程，
去分母得，
解得，
∵且，
∴，且，
解得且，
∴a的取值范围为且，
整数a为，
∴所有满足条件的整数a之和为．
故选：C．
11. 如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（ ）
A. B. 或
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标．
【详解】解：过M点作于H点，如图，
当时，，
∴，
设，
∴是以为直角的等腰直角三角形，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴或，
即或，
解方程得（舍去），，此时M点的坐标为；
解方程得（舍去），，此时M点的坐标为；
综上所述，M点的坐标为或．
故选：C．
12. 如图，抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴负半轴交于点．若点，则下列结论中，正确的个数是（ ）
①；
②；
③，与N(x2，是抛物线上两点，若，则；
④若抛物线的对称轴是直线，为任意实数，则；
⑤若，则．

A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与y轴交点位置判断出各系数的符号，再根据二次函数的性质分别判断．
【详解】解：抛物线开口向下，与轴正半轴交于，两点，与轴负半轴交于点，
，，，异号，
．
，
①错误．
抛物线过点，
，
，
，
，
②错误．
抛物线开口向下，当，与N(x2，两点在对称轴左侧时，随的增大而增大，
若，则；
③正确．
抛物线开口向下，对称轴为，
当时，函数有最大值，
对任意实数，其对应的函数值不大于对应的函数值，
，
，
．
④正确．
当时，时，，
，
抛物线过点，
，
消去得：
，
．
⑤正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填写在答题卷中对应的横线上．
13. 方程的根是_______．
【答案】，；
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，再化为两个一次方程即可，掌握因式分解的方法解方程是解本题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得：，；
14. 若关于x的方程有一个根2，则a的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】将代入原方程即可求出a值．
【详解】解：将代入，得
．
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
15. 已知函数，当时，y随x的增大而增大，则m的范围为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．根据题干条件结合二次函数的性质解题即可．
【详解】解：，当时，y随x的增大而增大，
，
故答案为：．
16. 中秋节期间，某酒店推出甲，乙两种包装的月饼，其中甲种包装有五仁饼3个，莲蓉饼3个，豆沙饼2个，乙种包装有五仁饼1个，莲蓉饼1个，豆沙饼2个，每种包装每盒月饼的成本价为该盒中所有月饼的成本价之和，已知每个五仁饼与每个莲蓉饼的成本价之比为，每盒乙包装月饼售价91元，利润率是，两种包装的月饼共50盒总价6300元，总利润率是．中秋节后，为降价促销，甲种包装每盒每类月饼各少装一个，乙种包装每盒少装月饼后售价降为原来的一半，利润率不变，那么这样包装的两种月饼共50盒的总成本是 _____元（其中甲种包装少装月饼后的盒数与节前50盒中甲种包装月饼的盒数相同，当然乙种包装盒数也相同）．
【答案】2500
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用，设乙的成本价为a元，由题意得，则，再设五仁饼的成本价为x元，则一个莲蓉饼的成本价为元，两豆沙饼成本价为元，设甲礼盒和乙礼盒分别为m盒和n盒，由题意得，再求出，则，即可解决问题．
【详解】解：设乙的成本价为a元，
根据题意得：，
解得：，
设五仁饼的成本价为x元，一个莲蓉饼的成本价为元，
∴两豆沙饼成本价为元，
设甲礼盒和乙礼盒分别为m盒和n盒，
由题意得：，
则有，
整理得：，
得，，
中秋节后乙每盒成本为：（元），
甲每盒成本为：（元），
总成本为：（元）．
故答案为：2500．
三、解答题：（本大题共2个小题，每题8分，共16分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．
17. 请用指定方法解下列方程：
（1）公式法：；
（2）因式分解法：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据公式法求解即可；
（2）先提取公因式4，再利用平方差公式求解．
【小问1详解】
方程中，，
∴，
∴；
【小问2详解】
方程可变形为：，
即，
∴或，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，熟练掌握公式法和因式分解法解方程的方法是解题的关键．
18. 如图，在中，，点D在边上，
（1）利用尺规作图：请过B作交于点F．交于点E．
（2）求证：．
证明：∵，
∴（______）
又∵______
∴
∴______（______）
∴
【答案】（1）见详解 （2）等腰三角形底边上三线合一，，，等量代换
【解析】
【分析】（1）分别以A、C为圆心画圆弧，连接两交点交于点F，交于点E即可得到答案；
（2）根据等腰三角形底边上三线合一及平行线性质直接填写即可得到答案．
【小问1详解】
解：分别以A、C为圆心画圆弧，连接两交点交于点F，交于点E，如图所示：
；
【小问2详解】
证明：∵，
∴（等腰三角形底边上三线合一）
又∵
∴
∴（等量代换）
∴
【点睛】本题考查等腰三角形性质，平行线性质，及垂直平分线画法，解题的关键是根据等腰三角形底边上三线合一得到角度相等．
四、解答题：（本大题共7个小题，每题10分，共70分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．
19. 已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．
（3）当等腰三角形的边长，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求的周长．
【答案】（1）证明见解析
（2）能找到，
（3）9
【解析】
【分析】（1）根据方程列出判别式化简即可解题；
（2）设两根分别为，，根据题意可得，又根据根与系数的关系可得，即可求得k的值；
（3）根据题意考虑和时两种情况，结合根的判别式，方程的解，等腰三角形性质，三角形三边关系即可解题．
【小问1详解】
证明：方程表达式为，
又


无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
【小问2详解】
解：能找到，
设两根分别为，，
由题意要使方程的两实数根互为相反数，则，
，
；
【小问3详解】
解：当时，则，即，则，
此时方程为，解得，
则等腰三角形三边分别为4，1 ，1，
，不能构成三角形，
故舍去；
当时，假设或，由题意可知4是原方程的解，
，
，
原方程为，解得，，
则等腰三角形三边分别，4，4，1，能构成三角形，
所以三角形的周长为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，等腰三角形性质，方程的解，三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
20. 在初中阶段，一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图像，并结合图像研究函数的性质．请按要求完成对二次函数的研究．
（1）列表：
其中， _______．
根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图像．
（2）根据函数图像，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号）
①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是y轴；
②该函数有最小值，没有最大值；
③当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；
④当时，x的值为1．
（3）在同一平面直角坐标系中作出函数的图像，并直接写出不等式的解集．
【答案】（1），见解析
（2）①② （3）见解析，或x>2
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
（1）把代入即可求得m的值，然后根据列表，描点，连线画出函数的图象即可；
（2）观察图象即可判断；
（3）根据图象即可求得．
【小问1详解】
解：当时，，
∴，
画出函数的图象如图：
故答案为：；
【小问2详解】
解：观察图象，
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴．正确；
②该函数有最小值，没有最大值．正确；
③当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．原说法错误；
④当时，x的值为1或．错误；
故答案为：①②；
【小问3详解】
解：由图象可知，不等式的解集为或．
21. 已知一次函数y=kx+bk≠0的图像与二次函数的图像相交于点．
（1）求一次函数的表达式：
（2）若点C是抛物线的顶点，连接，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式及三角形面积等知识点，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
（1）先求出，代入一次函数表达式求出即可；
（2）先求出点C坐标，过C作轴交于D，求出点D坐标，进而求出面积．
【小问1详解】
解：由题意知在的图像上
∴，
∴
将代入一次函数，
得
∴
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
，
过C作轴交于D，
当时，
则 ，
，
∴．
22. 为防控“新冠”疫情，我巴南区启动新冠疫苗加强针接种工作．已知今年5月甲接种点平均每天接种加强针的人数比乙接种点平均每天接种加强针的人数多30%，两接种点平均每天共有460人接种加强针．
（1）求5月平均每天分别有多少人前往甲、乙两接种点接种加强针？
（2）6月份，甲接种点平均每天接种加强针的人数比5月少人，乙接种点平均每天接种加强针的人数比5月多20%，在天期间，甲、乙两接种点共有2250人接种加强针，求的值．
【答案】（1）5月平均每天有260人前往甲接种点接种，200人前往乙接种点接种加强针
（2）的值为5
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程．
（1）设5月平均每天有人前往乙接种点接种加强针，则可以表示出前往甲接种点接种的人数，再根据两接种点的总人数列出方程即可；
（2）由5月份和6月份甲、乙两接种点的每天接种人数关系可以求出6月份的站点接种人数，再根据总的接种人数列出一元二次方程求解，此时解得的值有两个，再根据6月份甲接种点的人数判断值的取舍．
【小问1详解】
解：设5月平均每天有人前往乙接种点接种加强针，则5月平均每天有人前往甲接种点接种，
由题意得：，
解得：，
∴人．
答：5月平均每天有260人前往甲接种点接种，200人前往乙接种点接种加强针；
【小问2详解】
由题意得：6月平均每天有人前往甲接种点接种，有人前往乙接种点接种，
，
解得，
当时，，符合题意；
当时， ，不符合题意，舍去．
答：a的值为5．
23. 对于任意一个四位数，如果满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，的千位上的数字与百位上的数字之差是十位上的数字与个位上的数字之差的2倍，则称这个四位数为“双减数”．对于一个“双减数”，将它的十位和千位构成的两位数为，个位和百位构成的两位数为，规定：；例如：，因为，故4075是一个“双减数”，则．
（1）判断9531，6713是否是“双减数”，并说明理由，如果是，并求出的值；
（2）若自然数为“双减数”，是3的倍数，且各个数位上的数字之和能被13整除，求的值．
【答案】（1）9531是“双减数”， 6713不是“双减数”
（2）6052或2803
【解析】
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）设，由题意可得（k是正整数），再结合题意得到或，再由M各个数位上的数字之和能被13整除，则有或，再求a、c即可求M的值．
【小问1详解】
∵，
∴9531是“双减数”，
∴，
∵，
∴6713不是“双减数”；
小问2详解】
设，
∵是3的倍数，
∴（k整数），
∴或或，
∵M为“双减数”，
∴，
∴或，
当时，
∵M各个数位上的数字之和能被13整除，
∴（m是正整数），
∴，
∴或，
当时，
∵
∴
∴
∴
当时，
∵
∴
∴
∴时不符合题意；
当时，同理可求M的值为2803；
综上所述：M的值6052或2803．
【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，弄清定义，根据数的特点分类讨论是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴、y轴分别交于A、B、C三点，其中．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，在上取两点D、F（点D在点F的左侧），过点D、F分别作y轴的平行线，交抛物线于E、P两点，连接．已知线段与线段之间的水平距离为2个单位，求当四边形面积最大时点P的坐标；
（3）在（2）问条件下，当四边形面积有最大值时，记四边形为四边形，将四边形沿直线平移，点关于直线的对称点分别是点．在平移过程中，当点中有一点落到抛物线上时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）点P坐标为
（3），或点，或，或点， ．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）过点D作于点Q，过点P作于点N，则，然后由线段与线段之间的水平距离为2个单位得到和的长，的长，设点D的坐标，得到点E、F、P的坐标，进而得到的长，然后求得四边形的面积，再由二次函数的性质求得四边形面积的最大值及此时点P坐标；
（3）由（2）得到点的坐标，从而得到直线与直线平行，则直线与直线平行，记直线和直线与y轴的交点分别为G、H，然后求得直线与直线的解析式，然后联立直线直线与抛物线求得交点的坐标，即可得点的坐标．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴、y轴分别交于A、B、C三点，其中．
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：如图2，过点D作于点Q，过点P作于点N，
∵轴，轴，
∴轴，轴，轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得，
∴直线解析式为，
设点D的坐标为，则点，
∴，
∴，
∴当时，四边形面积的最大值为3，
此时，点E的坐标为，点P坐标为；
【小问3详解】
解：由（2）得到点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴直线与直线平行，
∴直线与直线平行，
如图3，记直线和直线与y轴的交点分别为G、H，则，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴点，
∴，
∴点，
∴直线解析式为,
由，
解得：或，
当点落在抛物线上时，点，或点，；
当点落在抛物线上时，点，或点， ；
综上所述：，或点，或，或点， ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知待定系数法求得二次函数的解析式．
25. 在中，，点D在上方，连接，过D作，且．
（1）如图1，点D在右上方，连接，若，求的长．
（2）如图2，点D在左侧且在点A上方，连接交于点M，F为上一点，连接，过点F作交延长线于点G，连接．若，．求证：．
（3）如图3，已知，连接交于点M，连接，将沿直线翻折得到，当最小时，直接写出A、E两点间的距离．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形和直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
（1）由直角三角形的性质分别求出，的长，由勾股定理可求的长；
（2）先证点M是的中点，由“”可证，可得，，由“”可证，可得；
（3）可推出点A、M、C共线时，最小，根据勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：如图1，过点A作于H，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图2，作交于N，连接，
∴，
设，则，
在和中，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，连接，
则垂直平分
∵，
∴当点A，M，C共线时，最小，
又，
∴
在中，
即：A、E两点间的距离是．x
…
0
1
2
3
…
y
…
8
3
0
m
0
3
8
…