九年级上学期第一次月考数学试题 (16)

这是一份九年级上学期第一次月考数学试题 (16)，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟）
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. ﹣6的倒数是（ ）
A. ﹣B. C. ﹣6D. 6
【答案】A
【解析】
【详解】解：﹣6的倒数是﹣．故选A．
2. 下列分别为北京、重庆、武汉和杭州四个城市的轨道交通标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的概念是做题的关键；“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，由此逐项判断即可；
【详解】A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意；
故答案为：C．
3. 抛物线的图象一定经过的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．把点的坐标代入判断即可．
【详解】解：A、时，，故选项A不合题意；
B、时，，故选项B符合题意；
C、时，，故选项C不合题意；
D、时，，故选项D不合题意；
故选：B．
4. 如图，，，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，同位角相等．根据平行线的性质，，经过计算可求．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
，
故答案为：B．
5. 估计的值应在（ ）
A. 7和8之间B. 8和9之间C. 9和10之间D. 10和11之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算及估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．先根据二次根式乘法运算法则进行运算，再估算出代数式的取值范围即可．
【详解】解：
；
，
，
，
，
故选：C．
6. 下图是由一些小三角形和小正方形组成的美丽图案，由图形组成规律可知第⑨个图形中小三角形和小正方形共有（ ）个．
A. 91B. 99C. 101D. 121
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图形的规律探究，解题的关键是找出图形变化的规律；通过图形之间的变化，由特殊规律推出一般性的规律，即可得解；
【详解】第1个图形小三角形和小正方形共有（个），
第2个图形小三角形和小正方形共有（个），
第3个图形小三角形和小正方形共有（个），
第4个图形小三角形和小正方形共有（个），
．．．，
第n个图形小三角形和小正方形共有（个），
当时，（个），
故选：C．
7. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 一组对边平行且相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
C. 对角线相等的平行四边形是菱形
D. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．利用平行四边形及特殊平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形但不一定是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、一组对边平行另一组对边相等的四边形可能会是等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
8. 如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点F在边上，且，连接、，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键；由正方形的性质可以证，得，，进而可证，由等腰三角形的性质可以求出，再由求出，再通过互余关系可以求出．
【详解】连接，如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
9. 已知二次函数的图象如图所示，给出四个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，能根据所给图象得出a，b，c的正负并巧妙地利用抛物线的对称性是解题的关键．根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称轴为直线和开口向下，即可解决问题．
详解】解：由图象可知，，
．故①正确．
抛物线的对称轴是直线，
时与时的函数值相等．
又由图象可知，时，函数值大于0．
时，函数值也大于0．即．故②错误．
抛物线与x轴有两个交点，
，即．故③正确．
抛物线对称轴为直线，
，即，故④正确．
由图象可知时，，
，即．故⑤正确．
故选：A．
10. 在多项式中，对任意相邻几项（至少两项）直接添加一个括号（每次只加一个括号），同时改变括起的部分最后一项的符号，然后按去括号法则进行去括号运算，称此为“加括操作”．例如：，，…．
①有2种“加括操作”的运算结果与原多项式相等；
②若，则运算结果为0的共有两种“加括操作”；
③所有的“加括操作”共有4种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，解题关键理解已知条件中的“加括操作”的含义，列出所有“加括操作”的算式．逐一判断即可．
【详解】解：根据题意，所有可能的“加括操作”有：
第一种：；
第二种：；
第三种：；
第四种：；
第五种：；
第六种：；
∴共有6种不同运算结果，故③的说法错误；
其中，有2种“加括操作”的运算结果与原多项式相等，故①说法正确；
若，
第一种：；
第二种：；
第三种：；
第四种：；
第五种：；
第六种：；
则运算结果为0的共有两种“加括操作”， 故②说法正确；
∴正确的有2个；
故选：C．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将正确答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，先进行乘方和开方运算，再进行加法运算即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
12. 数据1，5，2，4，3的方差是 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】先求出平均数，再根据方差公式：若一组数据，，，的平均数为，则该组数据的方差为，计算即可．
【详解】解：这组数据的平均数为，
方差为，
故答案为：2
【点睛】本题考查了求方差，熟练掌握方差公式计算是解题的关键．
13. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的内角和为_________．
【答案】##1080度
【解析】
【分析】本题主要考查了多变形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式，正确求出多边形的边数是解题的关键．首先根据外角和与一个外角的度数可得多边形的边数，再根据多边形的内角和公式进行计算即可．
【详解】解：一个多边形的每一个外角都等于，
这个多边形的边数为：，
这个多边形的内角和为：，
故答案为：．
14. 以方程的两根分别为腰和底的等腰三角形的周长为______．
【答案】7
【解析】
【分析】解方程求得方程的两个解，结合构成三角形的条件确定等腰三角形的底与腰，则可求得周长．
【详解】解得：，；
当腰为1，底边为3时，，不能构成三角形，不合题意；
当腰为3，底边为1时，，能构成三角形，则周长为：；
故答案为：7．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，注意要验证三边能否构成三角形．
15. 直线经过第一、二、四象限，则抛物线不经过第______象限．
【答案】四
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质的性质，关键要知道k和b对图象的决定作用．由直线经过一、二、四象限可分析，由此判定抛物线不经过第三象限．
【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限，
∴，
∴抛物线开口向上，对称轴在y轴的左侧，经过原点，
∴抛物线不经过第四象限．
故答案为：四．
16. 如图，在中，，分别以点A、B、C为圆心，以为半径画弧，三条弧与边所围成的阴影部分的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积公式：以及考查了等腰直角三角形的性质，由于三条弧所对的圆心角的和为，根据扇形的面积公式可计算出三个扇形的面积和，而三条弧与边所围成的阴影部分的面积三个扇形的面积和，再利用三角形的面积公式计算出，然后代入即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
∵三条弧所对的圆心角的和为，
三个扇形的面积和，
∴三条弧与边所围成的阴影部分的面积三个扇形的面积和．
故答案为：．
17. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的平均数是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式组，熟练掌握分式方程、一元一次不等式组的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．解一元一次不等式组，根据解集为得到m的值；解分式方程，根据解是非负解，且不是增根，得到m的最终范围，这个范围内能使y是非负整数的m确定出来求和即可．
【详解】解：将一元一次不等式组整理得到：，
∵不等式组的解集为，
；
分式方程两边都乘以得：，
，
．
∵y有非负整数解，且，
∴，且，
解得：，且．
∴，且，
∴所有满足条件的整数m的有：．
平均数是，
故答案为：．
18. 如果一个自然数N的个位数字不为0，且能分解成，其中A与B都是两位数，A的个位数字比B的个位数字大3，A、B的十位数字之和为10，则称数N为“合十数”，并把数N分解成的过程，称为“合十分解”．那么最小的“合十数”为______，若将一个四位“合十数”N进行“合十分解”，即分解成，A的各个数位数字之和的2倍与B的各个数位数字之和的和能被11整除，则满足条件的最大的“合十数”为______．
【答案】 ①. 1034 ②. 3078
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，根据数的整除性分类讨论，弄清定义是解题的关键．设，，则，且x、y是整数，由题意可知，A的十位数字与B的十位数字相加为10，代入运算可知，当A与B的十位数字为1和9的组合时候，1的数字最小为900，就有两组组合，分别是 或，代入运算即可；由题意可得，被11整除，则是整数，再由x、y的取值范围可确定即或33，再分两种情况求解即可．
【详解】解：设，，且x、y是整数，
，，
，
由题意可知，A的十位数字与B的十位数字相加为10，代入运算可知，
当A与B的十位数字为1和9的组合时候，1的数字最小为900，
又A的个位数字比B的个位数字大3，求最小的合十数，
A的个位数字为4，B的个位数字为1，
就有两组组合，分别是 或，代入运算，
，，
当时候， 合十数最小为1034；
由题意可得：被11整除，
则是整数，
当时，，则，
此时，，，
；
当时，，则，
此时，，，
；
当时，，则，
此时，，，
；
当时，，则，
此时，，，
；
满足条件的最大的“合十数”为3078，
故答案为：1034，3078．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用整式的乘法法则展开后，再合并同类项即可；
（2）先计算括号内的减法运算，再计算除法运算即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
原式
【点睛】此题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算顺序和法则是解题的关键．
20. 如图，在平行四边形中，平分交于E．
（1）用尺规作图完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点M，N．连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论．）
（2）根据（1）中作图，证明四边形是菱形，请你补全证明过程．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∴
又∵平分
∴ ①
∴
∴ ②
∴点A在直线上
又∵
∴ ③
∴
又∵，
∴四边形是平行四边形
又∵
∴ ④
【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④四边形是菱形
【解析】
【分析】（1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，在两侧分别得到一个交点，过这两个交点的直线即为的垂直平分线，由此作图即可；
（2）观察所给证明过程可知，先利用平行四边形和平行线的性质证明，再利用角平分线的定义得出，进而得出，根据等角对等边得出，证明点A在直线上；再利用证明，推出，结合证明四边形是平行四边形，再根据，证明四边形是菱形．
【小问1详解】
解：作图如下：
【小问2详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵平分，
∴①，
∴，
∴②，
∴点A在直线上．
又∵，
∴③，
∴，
又∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形④．
故答案为：①；②；③；④四边形是菱形．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的作法，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等，解题的关键是能够综合运用上述知识．
21. 为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“防自然灾害知识测评”，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数x均为整数，A、B、C、D、E五个等级分别是：A：，B：，C：，D：，E：．七年级学生防自然灾害知识测评分数见条形统计图，八年级学生防自然灾害知识测评分数见扇形统计图，两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下表；七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的；八年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75．
（1）直接写出a，m的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；
（3）若分数不低于80分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级700人，八年级有800人，求两个年级对防自然灾害知识掌握较好的共有学生人数．
【答案】（1）补全条形统计图见解析，
（2）七年级的学生对近视防控知识掌握较好．理由见解析
（3）两个年级对防自然灾害知识掌握较好的共有学生人数是564人
【解析】
【分析】本题考查用样本估计总体、统计图、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据题意和统计图中的数据、表格中的数据可以分别得到a、m的值，根据七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的求出七年级D等级的学生人数，再求出E等级的学生人数，即可补全条形统计图；
（2）根据表格中的数据，由中位数的定义写出即可；
（3）分别求出该校七、八年级不低于80分的人数，再相加即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴八年级A，B等级共有（人），
∴中位数，
七年级D等级的学生人数为：（人），
E等级的学生人数为：（人），
补全条形统计图如图：
答：；
【小问2详解】
解：七年级的学生对防自然灾害知识掌握较好，
理由：虽然七、八年级的平均数相同，但是七年级的中位数和众数比八年级的高，因此七年级的成绩较好；
【小问3详解】
解：
（人），
答：两个年级对防自然灾害知识掌握较好的共有学生人数是564人．
22. 甲、乙两支队伍计划自驾去旅游．两队计划同一天出发，沿不同路线前往目的地汇合．甲队走路线，全程1600千米，乙队走路线，全程2000千米，由于路线高速公路较多，乙队平均每天行驶的路程是甲队的1.5倍，这样乙队用以比甲队提前1天到达目的地．
（1）求甲、乙两队分别多少天到达目的地？
（2）在他们的旅行计划中，乙队每人每天的平均花费始终为336元．甲队最开始计划有13个人同行，计划每人每天花费400元，后来又有若干个人一起加入甲队，经过计算，甲队实际每增加1人时，每人每天的平均花费将减少40元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共需花费48000元，后来有多少人加入甲队？
【答案】（1）甲队花了6天到达目的地，乙队花了5天
（2）后来有7人加入甲队
【解析】
【分析】（1）设甲队花了x天到达，则乙队花了天，由题意，列出分式方程求解即可得到答案；
（2）设后来有人加入甲队，由题意，列一元二次方程方程求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：设甲队花了x天到达，则乙队花了天，由题意可得
，解得，
经检验，为原方程的解且符合题意，
∴（天），
答：甲队花了6天到达目的地，乙队花了5天；
【小问2详解】
解：设后来有人加入甲队，由题意可得
，
整理得，即，
解得∴，（舍去）
答：后来有7人加入甲队．
【点睛】本题考查分式方程和一元二次方程解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键．
23. 2023年的政府工作报告中传递出文旅发展新动态，某区政府积极响应，对辖区内的景点设施和交通等硬件进行改造和升级，提升消费者的满意程度．如图，该区有A、B、C、D四个景点，景点A、D、C依次在东西方向的一条直线上，景点B在景点D的正北方向、且在景点C的西北方向上，现有公路、、、，已知千米，千米．

（1）求公路的长度；
（2）区政府准备在景点C、B之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D、E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道、的费用均是每千米100万元，请求出修建互通大道、的总费用约是多少万元？（参考数据：，）
【答案】（1）公路的长度为10千米；
（2）修建互通大道、的总费用约是1692万元．
【解析】
【分析】（1）由方位角可知，再利用勾股定理，即可求出公路的长度；
（2）由方位角可知，易证是等腰直角三角形，得到的长度，利用勾股定理，得到的长度，再根据三角形的面积公式，求得的长度，即可计算总费用．
【小问1详解】
解：景点B在景点D的正北方向上，
，
千米，千米，
由勾股定理得：千米，
即公路的长度为10千米；
【小问2详解】
解：景点B景点C的西北方向上，
，
，
是等腰直角三角形，
千米，
由勾股定理得：千米，
，
千米，
修建互通大道、的费用均是每千米100万元，
万元，
即修建互通大道、的总费用约是1692万元．
【点睛】本题考查了方位角，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确理解方位角，熟练掌握勾股定理是解题关键．
24. 如图，在四边形中，，，E是线段上从点A向点B运动的一个动点（不含A、B），F是线段上从点B向点C运动的一个动点（不含B、C），点E、F同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接．已知点E在其运动路径上的速度始终为每秒1个单位长度，点F在其运动路径上的速度始终为每秒2个单位长度，设点E的运动时间为x秒，△BEF的面积为y1，△DFC的面积为y2

（1）请求出和关于x的函数解析式，并说明x的取值范围；
（2）在图2中画出关于x的函数图象，并写出一条这一函数的性质：______；
（3）若，请结合函数图象直接写出x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1），
（2）当时，函数有最大值（答案不唯一）
（3）
【解析】
【分析】（1）作于G，可得四边形为矩形，，由题意可知：，则，再根据，，可得函数解析式，由其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，可得x的取值范围；
（2）利用描点法画出图形即可，由，根据最值或增减性可得函数性质；
（3）由，可得，结合图象只需在图象中找到在上方部分对应的x的值即可．
【小问1详解】
作于G，

∵，，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
由题意可知：，则，
∴的面积，
的面积：，
∵当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，
则点E运动时间最多为：秒，点F运动时间最多为：秒，
∴，，；
【小问2详解】
列表：
描点（用空心圆圈），
画出关于x的函数图象如图所示：

，
由此可知：①当时，函数有最大值9；
②当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小；
故答案为：当时，函数有最大值9（答案不唯一）；
【小问3详解】
∵，
∴，即，即：，
只需在图象中找到在上方部分对应的x的值即可，
由图可知两函数的交点横坐标约为，其右侧部分在上方，
∴当时，x的取值范围为．
【点睛】本题考查二次函数函数的图象与性质，涉及根据函数图象解不等式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质．
25. 平面直角坐标系中，抛物线经过和两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）如图1，若点P是直线上方的抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标及的面积最大值；
（3）在（2）的条件下，若点M是抛物线上一点，点N是x轴上一点，是否存在点M使以点A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为；直线的解析式为
（2）面积的最大值为，此时点P的坐标为
（3）存在．点M的坐标为或或
【解析】
【分析】（1）分别把点A和点B的坐标代入建立关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值即可求出抛物线解析式．先求出点C的坐标，然后用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，表示出点P的坐标，过点P作轴，交直线于点Q，表示出点Q的坐标后用含m的式子表示出线段的长，当最大时的面积最大，根据二次函数的最值即可求出最大时点P的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出的面积最大值；
（3）分两种情况：①当是平行四边形的边时；②当是平行四边形的对角线时．分别根据平行四边形的性质求出点M的坐标即可．
【小问1详解】
解：分别把和分别代入，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
把代入，得，
∴点C坐标为，
设直线的解析式为，
把点分别代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：存在．
设点P横坐标为m，则其纵坐标为，
过点P作轴，交直线于点Q，则点Q的坐标为，
∴，
由题意可知当最大时，的面积最大，
∴的最大值是，此时，
则点P的坐标为，
此时；
即面积的最大值为，此时点P的坐标为；
【小问3详解】
解：当是平行四边形的边时，轴，
∴点M的纵坐标与点P纵坐标相同，为，
把代入，得：，
解得：，
∴点M的坐标为；
当是平行四边形的对角线时，
点M到x轴的距离等于点P到x轴的距离为，
∵此时点M在第三象限，
∴点M的纵坐标为，
把代入，得：，
解得：，
∴点M的坐标为 或；
综上所述，以点A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数关系式，二次函数的性质，平行四边形的性质以及三角形面积公式，深入理解题意是解决问题的关键．
26. 已知等边，D是边上一点，连接，点E为上一点，连接．
（1）如图1，延长交于点F，若，，求的长；
（2）如图2，将绕点C顺时针旋转60°到，延长到H，使得，连接交于点N，求证：．
（3）如图3，，点K是上一点，，连接、，将沿翻折得到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）作于J，利用等腰直角三角形的性质求得，再解直角三角形即可求解；
（2）延长到点I，使，连接，过点H作，交于点M，先后证明，，，，利用全等三角形性质即可求解；
（3）过D作的垂线，交于点F，在上截取，证明，推出，设，利用含30度角的直角三角形的性质，推出，根据的周长，得到当的周长取最小值时，的值最小，根据二次函数的性质，得到，进而得到的位置，判断出折叠后点的位置，再利用面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：作于J，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
则是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴；
【小问2详解】
延长到点I，使，连接，过点H作，交于点M，
∵为等边三角形，
∴，，
由旋转的性质知，，，，，
∴，
∴，
∴，，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
同理，，
∴，，
同理可证，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：过D作的垂线，交于点F，在上截取，如图，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵的周长，
当的周长取最小值时，的值最小，
∴当时，的值最小，此时，，如图，
则：为的中点，
∴，，平分，
将沿翻折得到，
∴点在上，
且，
∴，
∴的面积．
平均数
中位数
众数
七年级
76
75
73
八年级
76
a
69
x
1
2
3
4
5
5
8
9
8
5