九年级上学期第一次月考数学试题 (22)

这是一份九年级上学期第一次月考数学试题 (22)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高常数是2整式方程是一元二次方程．对每个方程进行分析，作出判断．
【详解】解：A：化简后不含二次项，不是一元二次方程；
B：当a=0时，不是一元二次方程；
C：是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程；
D：符合一元二次方程的定义，是一元二次方程．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，根据定义对每个方程进行分析，作出判断．
2. 如果关于的一元二次方程的一个根是，则常数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】设关于的一元二次方程的两个实数根为，，其中，
∴，即，
解得，
故选：．
3. 用配方法解关于的一元二次方程，配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，化成完全平方的形式即可得出答案．
【详解】解：x2+4x=3，
x2+4x+4=7，
（x+2）2=7，
故选C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键；配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4. 一元二次方程4x2+1＝4x的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】C
【解析】
【分析】先求出△的值，再判断即可．
【详解】解：原方程可化为：4x2﹣4x+1＝0，
∵△＝（－4）2﹣4×4×1＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：C．
【点睛】此题考查一元二次方程的根的情况，熟记判别式公式及根的三种情况是解题的关键.
5. 下列抛物线的顶点坐标为（0，1）的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据二次函数的性质确定各抛物线的顶点坐标，然后进行判断．
【详解】解：抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），故A选项符合题意；
抛物线y=x2-1的顶点坐标为（0，-1），故B选项不符合题意；
抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（-1，0），故C选项不符合题意；
抛物线y=（x-1）2顶点坐标为（1，0），故D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为(，) ．
6. 关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2﹣x﹣n的顶点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到，再求解抛物线y＝x2﹣x﹣n的顶点坐标，再判断顶点位置即可.
【详解】解： 关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n＝0没有实数根，
解得：
抛物线y＝x2﹣x﹣n，
抛物线的顶点坐标为：
由，
可得，
在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，抛物线的顶点坐标，掌握“一元二次方程根的判别式，抛物线的顶点坐标公式”是解本题的关键.
7. 对于抛物线，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为；当时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，根据二次函数顶点式的性质解题即可，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
【详解】解：由，
∵，
∴抛物线的开口向下，故正确；
对称轴为直线，故错误；
顶点坐标，故正确；
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大，故错误；
综上可知正确，共个，
故选：．
8. 已知关于的方程，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，方程无解
B. 当时，方程有一个实数解
C. 当时，方程有两个相等的实数解
D. 当时，方程总有两个不相等的实数解
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：当时，方程为一元一次方程有唯一解，．
当时，方程为一元二次方程，解的情况由根的判别式确定：
∵，
∴当时，方程有两个相等的实数解，
当且时，方程有两个不相等的实数解．
综上所述，说法C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数与一次函数的图象可知，，，从而判断出二次函数的图象．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴，
∵次函数的图象经过一、三、四象限，
∴，，
对于二次函数的图象，
∵，开口向上，排除A、B选项；
∵，，
∴对称轴，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出，，是解题的关键．
10. 已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2开口向下，（﹣2，y1）、（3，y2）、（0，y3）为抛物线上的三个点，则（ ）
A. y3＞y2＞y1B. y1＞y2＞y3C. y2＞y1＞y3D. y1＞y3＞y2
【答案】A
【解析】
【分析】将抛物线解析式配方成顶点式，得到其对称轴位置，再根据开口向下知离对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大，据此求解可得．
【详解】∵y=ax2-2ax-2=a（x-1）2-a-2，且抛物线开口向下，
∴离对称轴x=1的水平距离越小，对应的函数值越大，
∴y3＞y2＞y1，
故选A．
【点睛】考查的是二次函数的性质，在解答此题时要先确定出抛物线的对称轴及开口方向，再根据离对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大进行解答．
11. 某旅游景点8月份共接待游客万人次，月份共接待游客万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设游客每月的平均增长率为x，根据该旅游景点8月份及月份接待游客人次数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】设游客每月的平均增长率为x，
依题意，得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12. 如图是抛物线图象的一部分．抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点是，直线与抛物线交于、两点．下列结论：
；
；
方程有两个相等的实数根；
抛物线与轴的另一个交点是；
当时，有．其中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由根据图象特征可确定，，的符号，即可判定；根据对称轴，确定，的关系，然后判定即可；方程的根，就是直线与抛物线交点的横坐标，判定即可；根据对称性判断即可；由图象可得，当时，抛物线总在直线的上面，则；熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴在右侧，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，故错误；
∵抛物线的顶点坐标，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，故正确；
∵抛物线的顶点坐标，
∴时，二次函数有最大值，
∴方程有两个相等的实数根，故正确；
∵抛物线与轴的一个交点为，而抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，故错误；
∵抛物线与直线交于，，
∴当时，，故正确，
综上可知：正确，
故选：．
二、填空题（每小题4分，共32分）
13. 若函数y=（m+2）是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2+m=2，求出m即可．
【详解】解：∵函数y=（m+2）xm2+m是关于x的二次函数，
∴m+2≠0且m2+m=2，
解得：m≠-2且m=-2，m=1，
∴m=1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了对二次函数的定义的理解和运用，注意：若y=axm+bx+c（a b c都是常数）是二次函数，那么a≠0且m=2．
14. 已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】把点代入抛物线的解析式求解即可．
【详解】解：点代入，得，解得：m=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，属于基本题型，正确代入、准确计算是关键．
15. 设，是方程的两个实数根，则的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】∵一元二次方程的两个根分别为，，
∴，，
∴，
∴，
，
，
故答案为：．
16. 关于的一元二次方程有一个解是，则__________．
【答案】-3
【解析】
【详解】∵方程的一个解为，
∴将代入原方程，
得：，则，
∵是关于的一元二次方程．
∴，即，
∴．
17. 若二次函数 (a≠0)的图象如图所示，则a的值是__________．
【答案】-1
【解析】
【分析】把原点坐标代入二次函数（a≠0），即可求出a的值．注意开口方向向下．
【详解】解：由图象得：
∵开口方向向下，
∴a＜0
∵函数过原点，
∴，解得a=±1，
∴a=-1．
故答案为：-1．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是找到条件：开口向下，函数过原点．
18. 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴为直线x=2，且过点P（3，0），则a+b+c=______．
【答案】0
【解析】
【分析】根据抛物线的对称轴方程得到-=2，则b=-4a①，又P（3，0）在抛物线上，则9a+3b+c=0②，①代入②得，c=3a，即可得到a+b+c=a-4a+3a=0．
【详解】∵对称轴为直线x=-，
而对称轴为直线x=2，
∴-=2，即b=-4a①，
把P（3，0）代入y=ax2+bx+c，
得9a+3b+c=0②，
①代入②得，c=3a，
∴a+b+c=a-4a+3a=0．
故答案为0．
【点睛】本题考查了抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-，以及点在图象上，则点的横纵坐标满足函数的解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.
19. 已知二次函数与一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为_______________.

【答案】1＜x＜3
【解析】
【分析】根据二次函数与一次函数的图像的交点的横坐标以及两个函数图象的上下位置关系，可得的解集，进而得到答案.
【详解】∵二次函数与一次函数的图像的交点的横坐标是：x=1，x=3，
∴结合图象，可知：的解集是：1＜x＜3
∴的解集是：1＜x＜3，
故答案是：1＜x＜3.
【点睛】本题主要考查函数图象和不等式的解集的关系，掌握数形结合的思想方法，是解题的关键.
20. 我们把函数的图象记为C，若直线y＝x+b与图象C有且只有三个公共点，则b的取值是_____．
【答案】或﹣3．
【解析】
【分析】画出分段函数的图象，结合图象找到直线与该图象有三个交点的两端情况：直线经过点（0，﹣3）时；直线y＝x+b与y＝x2+2x﹣3（x≤0）部分只有一个交点时．
【详解】解：根据函数解析式分别画出函数图象，如图所示：
当直线经过点（0，﹣3）时，此时函数与直线y＝x+b恰有三个交点，
∴b＝﹣3，
当直线y＝x+b与y＝x2+2x﹣3（x≤0）部分只有一个交点时，
∴x2+2x﹣3＝x+b，
∴b；
∴b＝﹣3或b时两图象有三个交点；
故答案为或﹣3．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
三、解答题
21. 解下列方程：
（1）直接开方法：；
（2）配方法：；
（3）公式法：；
（4）因式分解法：．
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【解析】
【分析】（）利用直接开平方法求解即可；
（）利用配方法求解即可；
（）利用公式法求解即可；
（）利用因式分解法求解即可；
本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
【小问1详解】
解：，
，
，
∴，；
【小问2详解】
解：
，
，
，
或，
∴，；
【小问3详解】
解：
，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，；
【小问4详解】
解：
，
或，
∴，．
22. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式的最小值．
解：
，，
的最小值是4．
(1)求代数式的最小值；
(2)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园 ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成，如图，设 AB=x (m)，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）-6；（2）当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
【解析】
【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x的值即可．
【详解】解：（1）=，
∵，
∴，
则的最小值是-6；
（2）由题意，得花园的面积是x（20-2x）=-2x2+20x，
∵-2x2+20x=-2（x-5）2+50
∵-2（x-5）2≤0，
∴-2（x-5）2+50≤50，
∴-2x2+20x的最大值是50，此时x=5，
则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
23. 某超市在销售中发现：吉祥物“海宝”平均每天可售出套，每套盈利元．国庆长假商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每套降价元，那么平均每天就可多售出套．设每件商品的售价下降元（为正整数），每天的销售利润为元．
（1）求与的函数关系式；
（2）要想平均每天在销售吉祥物上盈利元，并尽快减少库存，那么每套应降价多少元？
【答案】（1）；
（2）每套应降价元．
【解析】
【分析】（）根据题意降价元，则平均每天就可售出套，根据“利润单价销售量”，即可写出与的函数关系式；
（）当代入求解，根据尽快减少库存即可求解；
本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是找到关键描述语，找到数量关系，然后准确地列出函数关系式是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意得，
∴与的函数关系式：；
【小问2详解】
当时，即，
整理得：，
解得：，，
∵扩大销售量，减少库存，
∴，
答：每套应降价元．
24. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程的两个根；
（2）写出不等式的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据函数与方程的关系，当时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程的两个根；
（2）求不等式解集，即求二次函数图象在x轴上方时，x的取值范围，再结合图象即可解答；
（3）根据函数的性质可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，找到函数的对称轴即可得到x的取值范围；
（4）方程有两个不相等的实数根，即二次函数与直线有两个交点，再根据二次函数平移的规律，解答即可．
【小问1详解】
由图象可知该二次函数图象与x轴交于点和，
∴方程的两个根分别为：，；
【小问2详解】
求不等式的解集，即求二次函数图象在x轴上方时，x的取值范围，
由图象可知当时，二次函数图象在x轴上方，
∴不等式的解集为；
【小问3详解】
由图象可知该二次函数图象开口向下，对称轴为直线，
∴当y随x的增大而减小时，；
【小问4详解】
∵方程有两个不相等的实数根，
∴即二次函数与直线有两个交点，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式．利用数形结合思想是解题关键．
25. 已知二次函数．
（1）如果二次函数的图像与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图像过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图像的对称轴交于点P，求点P的坐标．
【答案】（1）m＞﹣1；（2）P（1，2）
【解析】
【分析】（1）由二次函数的图像与x轴有两个交点，得到△＞0于是得到m的取值范围；
（2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m的值，于是得到二次函数的解析式，再求出直线AB的解析式和对称轴方程x=1联立成方程组，即可得到结果．
【详解】解：（1）∵二次函数的图像与x轴有两个交点，
∴△=，
∴m＞﹣1；
故答案为：m＞﹣1；
（2）∵二次函数的图像过点A（3，0），
∴，
∴m=3，
∴二次函数的解析式为：，
令x=0，则y=3，∴B（0，3），
设直线AB的解析式为：，∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：，
∵抛物线的对称轴为：x=1，
∴，解得：，
∴P（1，2）．
26. 如图，在平面直角坐标系中，点、在轴上，点、在轴上，且，，抛物线经过三点，直线与抛物线交于另一点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点是直线上一动点，点为抛物线上直线下方一动点，当线段的长度最大时，请求出点的坐标和面积的最大值．
【答案】（1）抛物线的解析式为；
（2）时的周长最小；
（3）当面积最大时，点的坐标为，面积最大值为．
【解析】
【分析】（）由，，，的长度可得出点，，，的坐标，由点，，的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（）利用配方法可求出抛物线的对称轴，连接，交抛物线对称轴于点，此时和最小，即的周长最小，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标；
（）由点，的坐标可得出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点的坐标，过点P作轴，交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，进而可得出的长，由三角形的面积结合可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、轴对称（最短路径问题）、三角形的面积、二次函数的性质以及二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【小问1详解】
∵，，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ，点的坐标为 ，
将，，代入得：
，解得：，
∴这条抛物线的解析式为；
【小问2详解】
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接，交抛物线对称轴点，如图所示，
∵点，关于直线对称，
∴，
∴
∴当点，，三点共线时，取得最小值，即的周长最小，
设直线解析式为，
将，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴在这条抛物线的对称轴上存在点时的周长最小；
【小问3详解】
∵，，
∴直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
∴点的坐标为，
过点作轴，交直线于点，如图所示，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∴，
，
，
，
∵，
∴当时，的面积取最大值，最大值为，
∴当面积最大时，点的坐标为，面积最大值为．