湖南省娄底市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份湖南省娄底市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，四象限D. 当时，y有最小值为，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程中是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0的整式方程的选项即可．
【详解】解：A、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、是分式方程，故本选项错误；
C、化简得：是一元二次方程，故本选项正确；
D、是二元二次方程，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 若反比例函数的图象上有两点，，则与的大小关系（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根据反比例函数的增减性比较反比例函数值或自变量的大小，；对于反比例函数，当时，图象在一、三象限均有随的增大而减小；当时，图象在二、四象限均有随的增大而增大．据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象在一、三象限均有随的增大而减小；
∵，
∴，
故选：A
3. 如果(其中，)，那么下列式子中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，则可以变形为．分别代入各个选项检验即可得到结论．
【详解】解：设，则可以变形为．
A、，，该选项正确，故不符合题意；
B、，，该选项正确，故不符合题意；
C、，，该选项正确，故不符合题意；
D、，，该选项错误，故符合题意．
故选：D．
【点睛】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分求值．
4. 方程解是（ ）
A. B. C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
方程移项得，，分解因式得，解得，，．
【详解】解：原方程移项得，，
∴，
解得：，．
故选：C．
5. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A. 时，y随x的增大而减小B. 当时，
C. 它的图象位于第二、四象限D. 当时，y有最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的单调性、所在的象限进行判断即可．
【详解】解：A、∵，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；故本选项正确，不符合题意；
B、∵，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x增大而减小；当时，，故本选项正确，不符合题意；
C、∵，反比例函数位于第一、三象限，故本选项错误，符合题意；
D、∵，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当时，，则y有最小值为，故本选项正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
6. 如图，若直线，且，，则（ ）

A. 5B. 6
C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．直接根据平行线分线段成比例定理即可得．
【详解】解：直线，且，
，
又，
，
故选：C．
7. 新能源汽车已逐渐成为人们喜爱的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商7月份至9月份统计，该品牌新能源汽车7月份销售1000辆，9月份销售1690辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设月平均增长率为x，根据题意列出方程即可．
【详解】解：设月平均增长率为x，
根据题意，．
故选：B．
8. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A. 2022B. 2026C. 2020D. 2019
【答案】B
【解析】
【分析】将代入一元二次方程得到，整体代入求代数式值即可得到答案．本题考查代数式求值，涉及一元二次方程根的定义，整体代入是关键．
【详解】解：∵是关于的方程的一个根，
∴，
即，
，
故选：B．
9. 验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度．
A. 150B. 200C. 250D. 300
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可．
【详解】解：设，
在图象上，
，
函数解析式为：，
当时，，
当时，，
度数减少了（度），
故选：B
10. 在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．设，，记，，，…，，则的值为（ ）
A. B. C. 100D. 5050
【答案】C
【解析】
【分析】先计算，，的值，找出规律，然后求解即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C
【点睛】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运算规律是解题的关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 如果＝3，则＝__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等式的性质可以将a用b来表示，代入所求式子中即可.
【详解】解：∵＝3
∴
代入=
故答案为：
【点睛】此题主要考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积用b表示出a是解题的关键.
12. 若，是一元二次方程两个根，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得到即可．
【详解】解：、是一元二次方程的两根，
．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．
13. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得 且，求出的取值范围即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．
14. 若函数是反比例函数，则的值等于______．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的定义，即可解答．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的三种表达式：．
15. 一个长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是，如果分别按A、B、C面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为、、（压强的计算公式为），则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据、、三个面的面积比是，设出、、三个面的面积分别是，，，再根据压强的计算公式为表示，，，计算化简即可．本题以物理上的压强为背景，考查了反比例函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．线段的比的性质．
【详解】解：∵一个长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是，
∴设、、三个面的面积分别是，，，
∵，
∴，，，
，
故答案为：．
16. 如图所示的两个四边形相似，则α的度数是________．
【答案】##67度
【解析】
【分析】此题考查了相似多边形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等定理的应用．由两个四边形相似，根据相似多边形的对应角相等，即可求得的度数，又由四边形的内角和等于，即可求得的度数．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
17. 三角形的两边长分别为4和5，第三边的长为方程的根，则此三角形的面积为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，直角三角形的判定，直角三角形的面积，求出一元二次方程的解得到三角形的第三条边是解答关键．
先求出一元二次方程的解，得到三角形第三条边，再利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，最后利用直角三角形的面积公式求解．
【详解】解：三边的长为方程的根，
，
，，
解得（不符合题意舍去），，
三角形的第三边的长为3．
，
这个三角形是以3和4为两条直角边的直角三角形，
此三角形的面积为．
故答案为：6．
18. 代数式的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了配方法的应用，整理，则当时，代数式的最大值是，据此即可作答．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴当时，，
∴代数式的最大值是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19. 解方程
（1）
（2）；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
（1）先将方程变为一般形式，然后用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）先移项，然后用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
∴，，
解得．
【小问2详解】
解：，
，
，
∴，，
解得．
20. 如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查平行线分线段成比例，利用得到，求出，，根据得到，由此求出CE．
【详解】解：∵，
，
∵，
∴，，
∵，
，
∴．
21. 如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求三角形的面积；
（3）根据图象直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为
（2）6 （3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系是解题的关键．
（1）点代入可求出反比例函数的解析式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，可求出一次函数的解析式，即可；
（2）设直线与x轴交于点C，求出点C的坐标，再根据，即可求解；
（3）直接观察函数图象，即可求解．
【小问1详解】
解：把点代入得：
，解得：，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入得：
，解得：，
∴点，
把点，代入，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：如图，设直线与x轴交于点C，
对于，当时，，
解得：，
∴点C-2,0，
∴，
∵点，，
∴；
【小问3详解】
解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的下方，
∴关于x的不等式的解集为或．
22. 为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题：
（1）分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？
【答案】（1）药物燃烧时；，药物燃烧后
（2）至少需要40分钟后学生才能回教室
【解析】
【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的实际应用；
（1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可；
（2）令，解出即可．
【小问1详解】
解：设，
∵函数经过点，
∴，，
∴；
根据函数图象可得
∴药物燃烧时；，
设，
∵函数经过点，
∴，，
∴；
根据函数图象可得
∴药物燃烧后；
【小问2详解】
令，则，，
答：至少需要40分钟后学生才能回教室．
23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．求：
（1）若商场每件衬衫降价元，则商场每天可盈利多少元？
（2）若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，因式分解法解一元二次方程，有理数的混合运算等知识点，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据题意得到每天的销售量，然后由“每天盈利每天销售量每件盈利”进行解答；
（2）设每件衬衫应降价元，根据“每天售出件数每件盈利每天盈利”，列出方程解答即可．
【小问1详解】
解：（元），
答：若商场每件衬衫降价元，则商场每天可盈利元；
【小问2详解】
解：设每件衬衫应降价元，
根据题意，得：，
整理，得：，
分解因式，得：，
解得：，，
要“扩大销售量，减少库存”，
应舍去，
，
答：若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价元．
24. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求实数的取值范围；
（2）若方程的两实数根，满足，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，根据，所以，然后解关于的方程即可得到满足条件的的值．
小问1详解】
解：根据题意得，
解得；
【小问2详解】
，，
，
，
而，
，，
，即，
解得，，
而，
．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了判别式的值．
25. 若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”．
（1）“快乐方程”的“快乐数”为________；
（2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）首先确定、、的值，然后根据“快乐数”的定义即可求出该“快乐方程”的“快乐数”；
（2）首先确定、、的表达式，然后求得判别式，根据的取值范围即可确定判别式的取值范围，由判别式是完全平方数可进一步确定判别式的取值，进而求得的值及、、的值，然后根据“快乐数”的定义即可求出该方程的“快乐数”．
【小问1详解】
解：对于“快乐方程”，
，，，
其“快乐数”为：
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：对于关于的一元二次方程，
，，，
，
，
，
是完全平方数，
或，
若，则，
若，则（与为整数相矛盾，故舍去），
，
，，，
该一元二次方程变为：，
该方程的“快乐数”为：
．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，有理数的四则混合运算，一元二次方程根的判别式，完全平方公式，计算单项式乘多项式，合并同类项，不等式的性质，完全平方数，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
26. 如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为．

（1）当__________时，四边形是矩形；
（2）当__________时，四边形是菱形；
（3）是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不存在某一时刻，使得
【解析】
【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得的值；
（2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间；
（3）根据勾股定理得到，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案；
【小问1详解】
解：如图， 过点作于点，
由矩形可知， ，， ，，
∵，
∴，
∴四边形矩形，
∴， ，由运动可知， ， 则，
当， 四边形是矩形，得到， ，
解得，
即当时，四边形是矩形，
故答案为：；
【小问2详解】
解：当四边形是菱形，
，
，
解得，
即当时，四边形是菱形，
故答案为：；
【小问3详解】
解：不存在，理由如下：
，
，

，
若存在某一时刻，使得，则存在某一时刻使得，，
即方程有解，
方程整理得
，
故方程无解，
即不存在某一时刻，使得．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．解决此题注意结合方程的思想解题．