数学2 线段垂直平分线随堂练习题

这是一份数学2 线段垂直平分线随堂练习题，共35页。

知识点01 线段垂直平分线的定义
线段垂直平分线的定义：
过线段的 中点 且与线段 垂直 的直线是这条线段的垂直平分线。如图，若点C是AB的中点且MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线。

知识点02 线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质：
①线段垂直平分线 垂直且平分 线段。如图：∠PCA＝∠PCB＝ 90°， AC ＝ BC。
②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。即PA ＝ PB。所以△PAB是等腰三角形。
在Rt△PAC与Rt△PBC中

∴Rt△PAC≌Rt△PBC
∴∠A ＝ ∠B；∠APC ＝ ∠BPC。
【即学即练1】
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为（ ）
A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm
【分析】利用线段垂直平分线的性质得AD＝BD，再利用已知条件三角形的周长计算．
【解答】解：∵△DBC的周长＝BC+BD+CD＝35cm（已知）
又∵DE垂直平分AB
∴AD＝BD（线段垂直平分线的性质）
故BC+AD+CD＝35cm
∵AC＝AD+DC＝20（已知）
∴BC＝35﹣20＝15cm．
故选：C．
【即学即练2】
2．如图，DE是△ABC中边AC的垂直平分线，若BC＝18cm，AB＝10cm，则△ABD的周长为（ ）
A．16 cmB．28 cmC．26 cmD．18 cm
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝CD，然后求出△ABD的周长＝AB+BC，代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC，
∵BC＝18cm，AB＝10cm，
∴△ABD的周长＝18+10＝28cm．
故选：B．
【即学即练3】
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．求∠EBC的度数．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线得出AE＝BE，求出∠ABE，相减即可求出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝36°，
∴∠ABC＝90°﹣36°＝54°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝54°﹣36°＝18°．
知识点03 作已知线段的垂直平分线
作已知线段的垂直平分线：
具体步骤：
①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图①
②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图②
垂直平分线的证明：
如图③，连接MA，MB，NA，NB。
由作图过程可知
MA＝MB＝NA＝NB
在△MAN与△MBN中

∴△MAN≌△MBN
∴∠AMO＝∠BMO
在△AMO与△BMO中

∴△AMO≌△BMO
∴OA＝OB，∠AOM＝∠BPM＝90°
∴MN垂直平分AB。
【即学即练1】
4．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．则∠ACD的大小为（ ）
A．60°B．75°C．65°D．70°
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DC＝DB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：由尺规作图可知，线段BC的垂直平分线交AB于D，
∴DC＝DB，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∵∠A＝45°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝75°，
故选：B．
【即学即练2】
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则BE等于（ ）
A．2B．C．D．
【分析】连接EA，根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：连接EA，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，
由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
则AC2+CE2＝AE2，即32+（4﹣BE）2＝BE2，
解得，BE＝，
故选：C．
知识点04 线段的垂直平分线的判定
线段垂直平分线的判定
方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。
方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的 垂直平分线 上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。
【即学即练1】
6．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点
D．三边垂直平分线的交点
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．
【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．
故选：D．
【即学即练2】
7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
【分析】根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答．
【解答】证明：设AD、EF的交点为K，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF．
∵AD是△ABC的角平分线
∴AD是线段EF的垂直平分线．
题型01 利用线段垂直平分线的性质求线段（长度与周长）
【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，则BE的长为（ ）
A．5B．10C．12D．13
【分析】根据勾股定理求出EA，根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，EC＝5，
由勾股定理得，EA＝＝＝13，
∵ED垂直平分AB，
∴EB＝EA＝13，
故选：D．
【变式1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，且DE＝2，则CE＝（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】连接AE，先利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠BAC＝60°，然后再利用线段垂直平分线的性质得出AE＝EB，故可得出∠DAE＝∠B＝30°，得出AE平分∠BAC，由角平分线的性质可得出结论．
【解答】解：连接AE，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝EB，
∴∠DAE＝∠B＝30°，
∴∠DAE＝∠CAE＝30°
∴AE平分∠BAC，
∴EC＝ED＝2，
故选：C．
【变式2】如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）cm．
A．9B．12C．15D．18
【分析】求△ABC的周长，已经知道AE＝3cm，则知道AB＝6cm，只需求得BC+AC即可，根据线段垂直平分线的性质得AD＝BD，于是BC+AC等于△ADC的周长，代入求出即可．
【解答】解：∵AB的垂直平分AB，
∴AE＝BE，BD＝AD，
∵AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，
∴△ABC的周长是9cm+2×3cm＝15cm，
故选：C．
【变式3】
如图，在△ABC中，BC＝6，边AB的垂直平分线交BC于M，点N在MC上，连接AM，AN，∠C＝∠NAC，则△MAN的周长为（ ）
A．6B．4C．3D．12
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到MB＝MA，根据等腰三角形的判定得到NA＝NC，再根据三角形周长公式计算即可．
【解答】解：∵边AB的垂直平分线交BC于M，
∴MB＝MA，
∵∠C＝∠NAC，
∴NA＝NC，
∴△MAN的周长＝MA+MN+NA＝MB+MN+NC＝BC＝6，
故选：A．
【变式4】
如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，BC＝13cm，则△AEG的周长为（ ）
A．6.5cmB．13cmC．26cmD．15cm
【分析】根据题意可推出AE＝BE，AG＝CG，所以△AEG的周长＝AE+AG+EG＝BE+EG+GC＝BC＝13cm．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴AE＝BE，AG＝CG，
∵△AEG的周长＝AE+AG+EG，
∴△AEG的周长＝BE+EG+GC＝BC，
∴△AEG的周长＝13cm．
故选：B．
【变式5】如图，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝6，CB＝6.5，EF垂直平分AC，点P为直线EF上的任一点则△ABP周长的最小值是（ ）
A．8.5B．9C．12D．12.5
【分析】设EF交BC于点D，连接AD，CP，根据垂直平分线的性质得出DA＝DC，PA＝PC，当P点与D点重合时，△APB的周长最小，据此即可求解．
【解答】解：如图所示，设EF交BC于点D，连接AD，CP，
∵EF垂直平分AC，
∴DA＝DC，PA＝PC，
∵△APB的周长为AB+AP+BP＝AB+BP+PC≥AB+BC，
当P点与D点重合时，△APB的周长最小，最小值为AB+BC＝9，
故选：B．
题型02 利用线段垂直平分线的性质求角度
【典例1】如图：Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB＝2：1，则∠B的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．30°
【分析】由DE是AB的垂直平分线，利用线段的垂直平分线的性质得∠B＝∠BAD，结合∠CAD：∠DAB＝2：1与直角三角形两锐角互余，可以得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中
∵DE是AB的垂直平分线
∴∠B＝∠BAD
∵∠CAD：∠DAB＝2：1
∴4∠B＝90°
∴∠B＝22.5°
故选：B．
【变式1】如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝36°，则∠ACD的度数为（ ）
A．36°B．38°C．48°D．52°
【分析】根据中垂线的性质，得到AD＝CD，等边对等角得到∠ACD＝∠A即可．
【解答】解：∵线段AC的垂直平分线交AB于点D，
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A，
∵∠A＝36°，
∴∠ACD＝36°；
故选：A．
【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝70°，点D为BC中点，过点D作BC的垂线，交AB于点E，连接CE，作∠ACE的平分线，与DE的延长线交于点F，则∠F的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．55°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠ACB＝110°，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，得到∠ECB＝∠B，再根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
【解答】解：∵∠A＝70°，
∴∠B+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∵点D为BC中点，ED⊥BC，
∴ED是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴∠ECB＝∠B，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF＝∠ECF，
∴∠FCD＝∠ECB+∠ECF＝55°，
∴∠F＝90°﹣55°＝35°，
故选：B．
【变式3】如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（ ）
A．100°B．105°C．110°D．120°
【分析】由线段垂直平分线的性质得DB＝DA，EA＝EC，则∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，再由三角形内角和定理得∠BAD+∠CAE＝80°，于是得到结论．
【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC，
∴DB＝DA，EA＝EC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，
∵∠DAE＝20°，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠EAC＝180°﹣20°＝160°，
∴2∠BAD+2∠EAC＝160°，
∴∠BAD+∠CAE＝80°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAE+∠DAE＝80°+20°＝100°．
故选：A．
【变式4】如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（ ）
A．115°B．116°C．117°D．118°
【分析】根据三角形的内角和得到∠BMN+∠BNM＝128°，根据线段的垂直平分线的性质得到AM＝PM，PN＝CN，由等腰三角形的性质得到∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN，由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”得∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN，可得∠MPA＝∠BMN，∠CPN＝∠BNM，推出∠MPA+∠CPN＝∠BMN+∠BNM＝×128°＝64°，从而由平角定义得到结论．
【解答】解：∵∠ABC＝52°，
∴∠BMN+∠BNM＝128°．
∵M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，
∴AM＝PM，PN＝CN．
∴∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN．
∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN，
∴∠MPA＝∠BMN，∠CPN＝∠BNM．
∴∠MPA+∠CPN＝（∠BMN+∠BNM）＝×128°＝64°．
∴∠APC＝180°﹣64°＝116°．
故选：B．
题型03 根据作图痕迹判断并解决问题
【典例1】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝5，观察图中尺规作图的痕迹，则△ADC的周长是（ ）
A．8B．10C．12D．14
【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到AD＝BD，进而得出AD+CD＝BC＝5，即可得到△ADC的周长．
【解答】解：如图，DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴AD+CD＝BD+DC＝BC＝5，
又∵AC＝3，
∴△ADC的周长＝5+3＝8，
故选：A．
【变式1】如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】根据内角和定理求得∠BAC＝95°，由中垂线性质知DA＝DC，即∠DAC＝∠C＝30°，从而得出答案．
【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
由作图可知MN为AC的中垂线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，
故选：C．
【变式2】如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径面弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E．若AC＝5，△AEC的周长为17，则BC的长为（ ）
A．7B．10C．12D．17
【分析】由题意可得MN是线段AB的垂直平分线，根据其性质可得AE＝BE，再结合已知条件求得AE+CE＝17﹣5＝12，继而求得BC的长度．
【解答】解：由题意可得MN是线段AB的垂直平分线，
则AE＝BE，
∵△AEC的周长为17，
∴AC+AE+CE＝17，
∵AC＝5，
∴AE+CE＝17﹣5＝12，
∵AE＝BE，
∴BE+CE＝17﹣5＝12，
即BC＝12，
故选：C．
【变式3】如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD．若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【分析】根据作图过程可得MN是线段BC的垂直平分线，得CD＝BD，进而可得△ACD的周长．
【解答】解：根据作图过程可知：
MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+BD+AD＝AC+AB＝4+8＝12．
故选：D．
题型04 线段的垂直平分线的判定
【典例1】如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．
【分析】求出DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，根据HL证Rt△AED≌Rt△AFD，推出AE＝AF，根据等腰三角形性质推出即可．
【解答】证：∵AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分EF．
【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE相交于F．试判断AF所在直线与BC的位置关系并说明理由．
【分析】由等腰三角形的性质和垂线定义证∠FBC＝∠FCB，再由等腰三角形的判定即可得出FB＝FC；证直线AF是BC的垂直平分线，即可得出结论．
【解答】解：直线AF是BC的垂直平分线，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠CEB＝∠BDC＝90°，∠BCE＝90°﹣∠ABC，∠DBC＝90°﹣∠ACB，
∴∠BCE＝∠DBC，
∴BF＝CF，
∵AB＝AC，
∴直线AF是BC的垂直平分线，
∴直线AF⊥BC．
【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BE＝DE，根据等腰三角形的性质得到∠BEG＝∠DEG，根据平行线的性质得到∠BEG＝∠BAC，∠DEG＝∠AFE，等量代换得到∠EAF＝∠AFE，根据得到结论．
【解答】解：∵EG垂直平分BD，
∴BE＝DE，
∴∠BEG＝∠DEG，
∵∠ACB＝90°，
∴EG∥AC，
∴∠BEG＝∠BAC，∠DEG＝∠AFE，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴AE＝EF，
∴点E在AF的垂直平分线上．
【变式3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＝∠BAM，根据角平分线的定义求出∠DAM＝∠CAD，求出∠BAD＝∠ADB，得出△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得出即可．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB＝90°，
∴∠ABC+∠BAM＝90°，
∴∠C＝∠BAM，
∵AD平分∠MAC，
∴∠MAD＝∠CAD，
∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴AB＝BD，
∵BE平分∠ABC，
∴BF⊥AD，AF＝FD，
即线段BF垂直平分线段AD．
【变式4】如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．
（1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）已知∠FAN＝56°，求∠FPN的度数．
【分析】（1）连接BP，AP，PC，根据线段垂直平分线的性质证明PB＝PA＝PC，从而证明结论即可；
（2）先根据相等垂直平分线的性质证明FA＝FB，NA＝NC，∠AEP＝∠AMP＝∠BEF＝∠CMN＝90°，再设∠B＝x，∠C＝y，然后根据三角形ABC的内角和是180°，求出x+y，再根据直角三角形的性质求出∠BFE和∠CNM，再根据对顶角的性质求出∠PFN，∠PNF，最后利用三角形内角和定理求出答案即可．
【解答】（1）证明：如图所示：连接BP，AP，PC，
∵PE⊥AB，PM⊥AC，
∴PA＝PB，PA＝PC，
∴PB＝PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）解：∵PE⊥AB，PM⊥AC，
∴FA＝FB，NA＝NC，∠AEP＝∠AMP＝∠BEF＝∠CMN＝90°，
∴∠B+∠BFE＝∠C+∠MNC＝90°，
设∠B＝x，∠C＝y，
∴∠B＝∠BAF＝x，∠C＝∠CAN＝y，∠BFE＝90°﹣x，∠MNC＝90°﹣y，
∴∠PFN＝∠BFE＝90°﹣x，∠PNF＝∠MNC＝90°﹣y，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∠FAN＝56°
∴2x+2y+56°＝180°，
2（x+y）＝124°，
x+y＝62°，
∵∠PFN+∠PNF+∠FPN＝180°，
∴90°﹣x+90°﹣y+∠FPN＝180°，
∴∠FPN＝180°﹣180°+（x+y）＝62°．
题型05 线段的垂直平分线的实际应用
【典例1】如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三个内角的角平分线的交点
D．三角形三条边的垂直平分线的交点
【分析】根据线段垂直平分线的性质进行判断．
【解答】解：∵该地铁站到三座商场的距离相等，
∴该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点处．
故选：D．
【变式1】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可．
【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上．
故选：B．
【变式2】如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．
【分析】连接AB．根据“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”知，点P应是AB线段的垂直平分线与直线m的交点．
【解答】解：如图所示，点P是AB线段的垂直平分线与直线m的交点．
【变式3】如图所示，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，有关部门计划建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，学校的位置应设在何处？请说明理由．
【分析】作出AC，BC的中垂线相交于点P，则点P是所求的点．
【解答】解：如图，作出AC和BC的中垂线，相交于点P，则点P是所求的到三村距离相等的点．
理由：∵点P在线段AC的垂直平分线上，
∴PA＝PC．
∵点P在线段BC的垂直平分线上，
∴PB＝PC，
∴PA＝PB＝PC．
【变式4】作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．
【分析】先连接MN，根据线段垂直平分线的性质作出线段MN的垂直平分线DE，再作出∠AOB的平分线OF，DE与OF相交于P点，则点P即为所求．
【解答】解：如图所示：
（1）连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线；
（2）以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线（或∠AOB的外角平分线）；
（3）DE与OF相交于点P，则点P即为所求．
1．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，进而得出答案．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，
∴AD＝BD，
∵BC＝4，AC＝3，
∴CD+AD＝CD+BD＝BC＝4，
∴△ACD的周长为：4+3＝7．
故选：A．
2．兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三个角的角平分线的交点
【分析】用线段垂直平分线性质判断即可．
【解答】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边垂直平分线的交点．
故选：C．
3．在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．60°B．70°C．75°D．85°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠C＝35°，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，
由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝35°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣35°＝60°，
故选：A．
4．如图，△ACB中，∠ACB＝90°，DF垂直平分AC，E为CF中点，连接DE，若DE＝2，则BF的长为（ ）
A．3B．C．4D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FC，DF⊥AC，证明∠B＝∠FCB，得到FC＝BF，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出FC，进而求出BF．
【解答】解：∵DF垂直平分AC，
∴FA＝FC，DF⊥AC，
∴∠A＝∠FCA，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠FCA+∠FCB＝90°，
∴∠B＝∠FCB，
∴FC＝BF，
在Rt△FDC中，E为CF中点，DE＝2，
∴FC＝2DE＝4，
∴BF＝4，
故选：C．
5．如图，在△ABC中，BC＝12，AB的垂直平分线交BC边于点F，AC的垂直平分线交BC边于点H，则△AFH的周长是（ ）
A．B．10C．12D．
【分析】由FD是AB的垂直平分线，HG是AC的垂直平分线，得出AF＝BF，AH＝CH，即可求解．
【解答】解：∵FD是AB的垂直平分线，HG是AC的垂直平分线，
∴AF＝BF，AH＝CH，
∵BC＝12，
∴△AFH的周长＝AF+FH+AH＝BF+FH+CH＝BC＝12，
故选：C．
6．如图，在△ABC中，∠A＝58°，P为△ABC内一点，过点P的直线EF分别交AB，AC于点E，F．若点E，F分别在PB，PC的垂直平分线上，则∠BPC的度数为（ ）
A．122°B．120°C．119°D．116°
【分析】由线段垂直平分线的性质可知∠EBP＝∠EPB，∠FCP＝∠FPC．再根据平角和三角形内角和定理计算即可得出答案．
【解答】解：∵点E，F分别在PB，PC的垂直平分线上，
∴∠EBP＝∠EPB，∠FCP＝∠FPC．
∵∠EPB+∠BPC+∠FPC＝180°，
∴∠EBP+∠BPC+∠FCP＝180°．
∵∠PBC+∠BPC+∠PCB＝180°，
∴∠EBP+∠FCP＝∠PBC+∠PCB．
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，即∠A+∠EBP+∠FCP+∠PBC+∠PCB＝180°，
∵∠A＝58°，
∴∠EBP+∠FCP+∠PBC+∠PCB＝122°，
∴，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝119°．
故选：C．
7．点M是△ABC三边垂直平分线的交点，连接MA、MB、MC，若∠MBC+∠ACM＝75°，则∠BAM的值是（ ）
A．45°B．30°C．25°D．15°
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得MA＝MB＝MC，从而利用等腰三角形的性质可得∠MCA＝∠MAC，∠MBC＝∠MCB，∠MAB＝∠MBA，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵点M为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴MA＝MB＝MC，
∴∠MCA＝∠MAC，∠MBC＝∠MCB，∠MAB＝∠MBA，
∵∠MBC+∠ACM＝75°，
∴∠MAC+∠MCA+∠MCB+∠MBC＝150°，
∴，
故选：D．
8．如图，△ABC中，∠BAC＝105°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF的度数为（ ）
A．65°B．50°C．30°D．45°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝75°，根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”得到EA＝EB，FA＝FC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，结合图形计算即可．
【解答】解：∵∠BAC＝105°，
∴∠B+∠C＝180°﹣105°＝75°，
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝75°，
∴∠EAF＝105°﹣75°＝30°，
故选：C．
9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的角平分线，MF垂直平分AE，垂足为点H，分别交AB、AD、AC于点N、G、F，交CB的延长线于点M，连接EF，下列结论中错误的是（ ）
A．∠M＝∠DAEB．
C．EF∥ABD．∠EFC＝2∠M+∠C
【分析】根据垂直定义可得∠ADB＝∠AHG＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠M+∠MGD＝90°，∠DAE+∠AGH＝90°，再根据对顶角相等可得∠MGD＝∠AGH，从而可得∠M＝∠DAE，然后利用角平分线的定义可得∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，从而利用角的和差关系以及三角形内角和定理进行计算可得：∠DAE＝（∠ABC﹣∠C），再利用线段垂直平分线的性质可得FA＝FE，从而可得∠CAE＝∠FEA，进而可得∠BAE＝∠FEA，最后利用内错角相等，两直线平行可得AB∥FE，从而可得∠ABC＝∠FEC，再利用等量代换可得∠M＝（∠ABC﹣∠C），从而可得2∠M＝∠ABC﹣∠C，进而可得2∠M+∠C＝∠ABC，即可解答．
【解答】解：∵AD⊥BC，FM⊥AE，
∴∠ADB＝∠AHG＝90°，
∴∠M+∠MGD＝90°，∠DAE+∠AGH＝90°，
∵∠MGD＝∠AGH，
∴∠M＝∠DAE；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD
＝∠BAC﹣∠BAD
＝（180°﹣∠ABC﹣∠C）﹣（90°﹣∠ABC）
＝90°﹣∠ABC﹣∠C﹣90°+∠ABC
＝（∠ABC﹣∠C）；
∵FM是AE的垂直平分线，
∴FA＝FE，
∴∠CAE＝∠FEA，
∴∠BAE＝∠FEA，
∴AB∥FE；
∴∠ABC＝∠FEC，
∵∠DAE＝∠M，∠DAE＝（∠ABC﹣∠C），
∴∠M＝（∠ABC﹣∠C），
∴2∠M＝∠ABC﹣∠C，
∴2∠M+∠C＝∠ABC，
∴2∠M+∠C＝∠FEC，
故A、B、C都正确，D不正确，
故选：D．
10．如图，已知AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点F，交BC的延长线于点E．以下四个结论：①∠EAD＝∠EDA；②DF∥AC；③∠FDE＝90°；④∠B＝∠CAE．恒成立的结论有（ ）
A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④
【分析】根据线段的垂直平分线或平行线的判定与性质逐一推理即可．
【解答】①∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA＝ED，可证∠EAD＝∠EDA．
②∵EF是AD的垂直平分线，
∴FA＝FD，可证∠FDA＝∠FAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠CAD，
∴∠FDA＝∠CAD，
∴DF∥AC．
③∵FD与BE不一定互相垂直，
∴③不一定成立．
④由①②得∠EAD＝∠EDA，∠FAD＝∠CAD，
又∵∠EDA＝∠B+∠FAD，∠EAD＝∠CAD+∠CAE，
∴∠B＝∠CAE．
故选：C．
11．如图，在△ABC中，DE、DF分别是AC、BC边的垂直平分线，连接AD、BD、CD，若∠ACB＝40，则∠BAD的度数为 50 °．
【分析】延长CD交AB于M，由线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，BD＝CD，即得到∠DAC＝∠DCA，∠DBC＝∠DCB，AD＝BD，得到∠ADM＝2∠DCA，∠BDM＝2∠DCB，∠BAD＝∠ABD，进而由三角形外角性质可得到∠ADB＝80°，再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：延长CD交AB于M，
∵DE、DF分别是AC、BC边的垂直平分线，
∴AD＝CD，BD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，∠DBC＝∠DCB，AD＝BD，
∴∠ADM＝2∠DCA，∠BDM＝2∠DCB，∠BAD＝∠ABD，
∴∠ADM+∠BDM＝2∠DCA+2∠DCB＝2（∠DCA+∠DCB）＝2∠ACB＝80°，
即∠ADB＝80°，
∴，
故答案为：50．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE垂直平分AB，分别交AB．BC于点D、E，且DE＝2，则CE为 2 ．
【分析】先根据三角形内角和定理得出∠BAC的度数，再由DE垂直平分AB得出AE＝BE，故∠EAD＝∠B＝30°，故可得出AE是∠BAC的角平分线，据此可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
∵DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D、E，
∴AE＝BE，
∴∠EAD＝∠B＝30°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝60°﹣30°＝30°，
∴AE是∠BAC的平分线，
∵DE＝2，
∴CE＝DE＝2．
故答案为：2．
13．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF＝ 48° ．
【分析】根据角平分线定义求出∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠DBC＝∠ABD＝24°，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线性质求出FC＝FB，求出∠FCB，即可求出答案．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝24°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠DBC＝∠ABD＝24°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣48°＝72°，
∵FE是BC的中垂线，
∴FB＝FC，
∴∠FCB＝∠DBC＝24°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB＝72°﹣24°＝48°，
故答案为：48°．
14．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．若AB＝10，则△CDE的周长为 10 ．
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等直接求解即可得到答案．
【解答】解：∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴DA＝DC，EB＝EC，
∵AB＝10，
∴C△CDE＝CD+DE+CE＝AD+DE+EB＝10，
故答案为：10．
15．如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，垂足分别为E、F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，则∠OBD＝ 44 °．
【分析】连接OA、OC，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，OB＝OD，证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质得到∠ABO＝∠CBO，计算即可．
【解答】解：如图，连接OA、OC，
∵OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SSS），
∴∠ABO＝∠CBO，
∵∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，
∴∠ABO+∠OBD＝116°，∠CDO﹣∠ODB＝28°，
∴∠ABO＝72°，∠OBD＝44°，
故答案为：44．
16．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
【分析】（1）连接AE，赶紧蓄电池组平分线的性质得到AE＝BE，得到AE＝AC，根据等腰三角形的三线合一证明；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝35°，根据直角三角形的性质求出∠BAD，再根据等腰三角形的三线合一解答即可．
【解答】（1）证明：如图，连接AE，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵BE＝AC，
∴AE＝AC，
∵D为线段CE的中点，
∴AD⊥BC；
（2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°，
∴∠EAB＝∠B＝35°，
∵AD⊥BC，∠B＝35°，
∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°，
∵AE＝AC，D为线段CE的中点，
∴∠CAD＝∠EAD＝20°，
∴∠BAC＝55°+20°＝75°．
17．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
【分析】（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线DF，交CB于D，交AB于F，连接AD；作∠CAD的角平分线交BC于E，点D，射线AE即为所求．
（2）首先证明DA＝DB，推出∠DAB＝∠B＝30°，利用三角形内角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝40°．
18．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，AB＝AE，等量代换证明结论；
（2）根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC＝20cm，根据AB＝EC，BD＝DE计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝EC；
（2）解：∵△ABC的周长为20cm，
∴AB+BC+AC＝20cm，
∵AC＝7cm，
∴AB+BC＝13cm，
∵AB＝EC，BD＝DE，
∴AB+BD＝DE+EC＝DC，
∵AB+BC＝AB+BD+DC＝2DC＝13cm
∴．
19．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为23，△DEC的周长为9，求AB的长；
（2）若∠ABC＝28°，∠C＝46°，求∠CDE度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BE，AD＝DE，根据三角形周长公式即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠BAC＝106°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BD垂直平分AE，
∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为23，△DEC的周长为9，
∴AB+BE+AD+CD+CE＝23，CD+CE+DE＝9，
∴2AB＝23﹣9＝14，
∴AB＝7；
（2）∵∠ABC＝28°，∠C＝46°，
∴∠BAC＝106°，
∵AB＝BE，∠ABC＝28°，
∴∠BAE＝∠AEB＝＝76°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAE＝106°﹣76°＝30°，
∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠CDE＝2∠DAE＝60°．
20．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O．
（1）如图①，当∠ABC＝∠ACB＝25°时，直接写出∠DAE的度数为 80° ；
（2）如图①，当AB≠AC，且90°≤∠BAC＝180°．
①若∠BAC＝120°，则∠DAE＝ 135 °；
②当AD⊥AE时，求∠BAC的度数；
（3）如图②，连接OA，OB，OC．若△ADE的周长为9cm，△OBC的周长为21cm，则BC＝ 9 cm；OB＝ 6 cm．
【分析】（1）由线段的垂直平分线的性质得到∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C＝25°+25°＝50°，于是可以解决问题；
（2）①由线段的垂直平分线的性质得到∠BAD+∠EAC＝60°，即可求解；
②由条件可得∠BAD+∠EAC＝（180°﹣90°）×＝45°，即可求解；
（3）由条件可得DA+DE+EA＝BD+DE+EC＝BC，OB+OC＝12cm即可得到答案．
【解答】解：（1）∵AB边的垂直平分线l1交BC于点D，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B
同理：∠EAC＝∠C，
∴∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C＝25°+25°＝50°，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝130°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC）＝130°﹣50°＝80°，
故答案为：80°；
（2）①AB边的垂直平分线l1交BC于点D，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B，
同理：∠EAC＝∠C，
∴∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝60°，
∴∠BAD+∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC）＝120°﹣60°＝60°；
②当AD⊥AE时，∠DAE＝90°，
∵AB边的垂直平分线l1交BC于点D，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B，
同理：∠EAC＝∠C，
∴∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C，
∵∠BAD+∠EAC+∠B+∠C+∠DAE＝180°，
∴∠BAD+∠EAC＝（180°﹣90°）×＝45°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠EAC+∠DAE＝90°+45°＝135°，
故答案为：135；
（3）∵l1垂直平分线AB，
∴DA＝DB，OB＝OA，
同理：EA＝EC，OC＝OA，
∴DA+DE+EA＝BD+DE+EC＝BC，
∵△ADE的周长是9，
∴BC＝9cm，
∵△OBC的周长是21cm，
∴OB+OC+BC＝21cm，
∴OB+OC＝21﹣9＝12（cm），
∴OA＝OB＝OC＝6cm，
故答案为：9，6．
课程标准
学习目标
①线段垂直平分线的定义
②线段垂直平分线的性质
③作已知线段的垂直平分线
④线段垂直平分线的判定
掌握线段垂直平分线的定义与性质并能够运用其性质解决相关题目。
掌握线段垂直平分线的画法，能够熟练的话线段垂直平分线以及根据作图痕迹判断并解决相关问题。
掌握线段垂直平分线的判定，并能熟练进行相关证明。