广西钦州市第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份广西钦州市第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 使函数满足：对任意的，都有”的充分不必要条件为（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
分情况讨论在R上单调减及在单调增结合分段函数单调性求解充要条件再判断即可
【详解】当时，在上递减，在递减，且在上递减，
若在上递减，在上递增，任意，都有，
当不合题意，故函数满足：对任意的，都有”的充分必要条件为或则或是充分不必要条件
故选：B
【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查分类讨论思想，准确判断每段函数的单调性是关键，是中档题
2. 有下列几个命题：①“若p，则q”的否命题是“若，则”；②p是q的必要条件，r是q的充分不必要条件，则p是r的必要不充分条件；③若“”为真命题，则命题p，q中至多有一个为真命题；④过点的直线和圆相切的充要条件是直线斜率为.其中为真命题的有（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】由否命题的定义可知①正确；由推出关系可知②正确；由非命题和且命题的真假性可确定真假性，得到③正确；由斜率不存在直线也为切线可知充要条件不成立，④错误.
【详解】①由否命题定义可知①正确；
②，， ，
是必要不充分条件，②正确；
③为真 为假 至少有一个假命题
即至多有一个真命题，③正确；
④当过点直线斜率不存在时，即直线方程为，此时直线与圆相切
④中所说充要条件不成立，④错误.
故选：
【点睛】本题考查命题与简易逻辑部分的相关命题的判定，涉及到四种命题的形式、充分条件与必要条件的判断、非命题与且命题真假性的判断等知识，属于综合应用类问题.
3. 下列命题正确的是（ ）
A. 若为假命题，则p、q都是假命题
B. 是的充分不必要条件
C. 命题“若，则”的逆否命题为真命题
D. 命题“，”的否定是“，”
【答案】D
【解析】
【分析】利用复合命题的真假判断A的正误；充要条件判断B的正误；四种命题的逆否关系判断C的正误；命题的否定判断D的正误.
【详解】对于A中，为假命题，则p、q至少一个是假命题，所以A不正确；
对于B中，是的充分不必要条件，所以B不正确；
对于C中，命题“若，则”的逆否命题为：，则，反例，，不正确，所以C不正确；
对于D中，命题“，”的否定是“，”，满足命题的否定形式，所以D正确；
故选：D.
【点睛】本题主要考查了命题的真假的判断与应用，涉及复合命题，充要条件判定，以及四种命题的逆否关系等基本知识的考查，着重考查了推理与论证能力.
4. 已知，若在区间上单调时，的取值集合为，对不等式恒成立时，的取值集合为，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】化简函数，由题意知，从而可知，由不等式恒成立，分离参数可知恒成立，可求出，由充分条件、必要条件的定义即可判断“”是“”的充分非必要条件.
【详解】，可知函数周期，由题可知函数在区间上单调，故该区间长度需小于等于半个周期，及，∴，
对于不等式，；设，，；
∴不等式等价于恒成立，及，
对于，，
∴，及集合，
∴，
“”是“”的充分非必要条件，
故选：A
【点睛】本题主要考查了三角函数单调区间求解，不等式恒成立问题，基本不等式、充分必要条件的判断,属于难题.
5. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B. 或
C D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的解集求出、和的关系，代入不等式中，化简求出不等式的解集．
【详解】解：不等式的解集为，
方程的实数根为和2，且；
，
解得，；
则不等式变为，
即，
解得：，
所求不等式的解集为．
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，属于基础题．
6. ，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式确定集合，解分式不等式确定集合，然后由交集定义求解．
【详解】或，，
因此，.
故选：C．
【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合的元素．
7. 已知为实数，且，则下列不等式一定成立的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】给实数在其取值范围内任取值，，，，代入各个选项进行验证，A、B、D都不成立，由此可得选项.
【详解】令，，，，
选项A，，， ， A错误；
选项B，，， ，B错误；
选项C，，， ，根据不等式的加法性质，C正确.；
选项D，，，，D错误.
故选：C．
【点睛】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
8. 已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A. a≥﹣2B. a＜3C. ﹣2≤a＜3D. ﹣2≤a≤3
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式≥0，解得a≥﹣2；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出答案．
【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）图象与x轴有交点，
∴＝（﹣2a）2﹣4×1×（a2﹣2a﹣4）≥0
解得：a≥﹣2；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，
且当x＞3时，y随x的增大而增大，
∴a≤3，
∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤3．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数的图象与性质，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 对于实数，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用不等式的性质，分析、推理判断ABC；举例说明判断D作答.
【详解】对于A，，两边同时除以，则，A正确；
对于B，，，则，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，因为，则，C正确；
对于D，取，满足，而，D错误.
故选：ABC
10. 已知集合A={2，3}，B={x|mx-6=0}，若B⊆A，则实数m可以是（ ）
A. 3或2B. 1C. 0D. -1
【答案】AC
【解析】
【分析】本题先根据题意判断B是A的子集，有3种可能性，再分情况讨论即可.
【详解】当m=0时，方程mx-6=0无解，B=⌀，满足B⊆A;当m≠0时，B=，因为B⊆A，所以=2或=3，解得m=3或m=2．
【点睛】本题考查集合的基本关系求参数，是基础题.
11. 对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（ ）
A. 如果，那么
B. 若，对于任意的，则
C. 如果，那么
D. 如果，那么
【答案】AC
【解析】
【分析】根据集合的表示法特点，对选项进行一一判断，即可得答案；
【详解】对A，，总是有，则，故A正确；
对B，，若，则存在，使得，因为当一个是偶数，一个是奇数时，是奇数，也是奇数，所以也是奇数，显然是偶数，故，故，故B错误；
对C，若，不妨设，则，故，故C正确；对D，设，则
，不满足集合的定义，故D错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查集合描述法特点，数论的有关知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. “”是“不都为”的________条件.
【答案】充分非必要
【解析】
【分析】根据逆否命题的等价性先判断是充分非必要条件即可得到结论
【详解】解：令命题，命题，不都为；
，，都是，
则当，都是时，满足，
反之当，时，满足，但，都是不成立，
即是充分非必要条件，则根据逆否命题的等价性知是的充分非必要条件，
故答案为：充分非必要．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据逆否命题的等价性先判断是充分不必要条件是解决本题的关键．
13. 关于的不等式的解集是或，则___________.
【答案】-2
【解析】
【分析】根据不等式的解集，结合其对应二次方程的根与系数的关系，列出满足的方程，求得，则问题得解.
【详解】因为关于的不等式的解集是或，
显然a>0，故其对应二次方程的两根为或,
则，解得，
故.
故答案为：-2.
14. 已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为_________.
【答案】
【解析】
【分析】数形结合，根据二次函数的图象，求得参数，再求一元二次不等式即可.
【详解】根据二次函数的图象可知，为方程的两根，
故，即，
则即，也即，
，解得或.
故不等式解集为.
故答案为：.
四、解答题（共77分）
15. 已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集为，求实数、的值；
（2）若，求此不等式的解集.
【答案】（1），
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数、的值；
（2）将原不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集.
【小问1详解】
解：由题意可知，关于的方程的两根分别为、，所以，，
由韦达定理可得，解得.
【小问2详解】
解：因为，原不等式即为.
当时，原不等式即为，解得；
当时，方程的两个根分别为、.
①当时，解不等式可得或；
②当时，若时，即，即时，
解不等式可得；
若时，即当时，原不等式即为，即，原不等式的解集为；
若时，即，即当时，解不等式可得.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或.
16. 设，，均为正数，且1．
（1）求的最小值；
（2）证明：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件；
（2）法一：应用柯西不等式证明，注意等号成立条件；法二：应用分析法，将问题转化为证，再结合基本不等式求证，注意等号成立条件；
【小问1详解】
，均为正数，且，
，
当且仅当，即 时等号成立，
故的最小值为．
【小问2详解】
法一：由柯西不等式得，，
即，
故不等式成立，当且仅当等号成立．
法二：要证明
只需证明
只需证明
只需证明
因为，当且仅当，即时等号成立.
综上所述：.
17. 已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③．
（1）求函数的解析式；
（2）若，，求：
①的最小值；
②讨论关于m方程的解的个数．
【答案】（1）
（2）①；②答案见解析
【解析】
【分析】（1）由得，对称轴为，然后设，利用另外两个条件列出方程组求解即得；
（2）①根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论研究最小值；
②根据①中求得的函数的解析式，分析各段上的函数值的正负，从而得到函数的解析式，画出函数的图象，利用数形结合方法讨论方程的实数根的个数.
【小问1详解】
（1）由得，对称轴为，
设，
∴，得，
∴．
【小问2详解】
（2）①，，对称轴，
ⅰ当即时，在单调递增，
，
ⅱ即时，在单调递减，在单调递增，
∴，
ⅲ当即时，在单调递减，
，
综上：
②画出函数的图象图下图所示：

利用图象的翻转变换得到函数的图象如图所示：

方程的根的个数为函数的图象与直线的交点个数，由图象可知：
当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解.
18. 学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?
【答案】3人,9人
【解析】
【分析】利用韦恩图列方程计算即可.
【详解】解:如图.
设同时参加田径和球类比赛的有x人,则,
,
即同时参加田径和球类比赛的有3人,
而只参加游泳一项比赛的有(人).
【点睛】本题考查韦恩图解决集合问题，是基础题.
19. 根据下述事实,分别写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题:
(1).
(2)如图,在中,AD,BE与CF分别为BC,AC与AB边上的高,则AD,BE与CF所在的直线交于一点O.
【答案】(1);
(2)任意三角形的三条高交于一点.
【解析】
【分析】
观察，发现规律，再根据量词的意义来书写.
【详解】(1);
(2)任意三角形的三条高交于一点.
【点睛】本题考查全称量词的概念及书写，是基础题.