广西钦州市第四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份广西钦州市第四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 某小组有三名女生，两名男生，先从这个小组中任意选一人当组长，则女生小丽当选为组长的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据古典概型的概率公式可得.
【详解】从这个小组中任选一人当组长，有5种选法，其中选小丽当组长只有一种选法，
根据古典概型的概率公式可得所求概率为.
故选：B
【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题.
2. 法国有个名人叫做布莱尔·帕斯卡，他认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出一个问题，他们说，他们下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金700法郎，赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了.假设每局两赌徒输赢的概率各占，每局输赢相互独立，那么这700法郎如何分配比较合理（ ）
A. 甲400法郎，乙300法郎B. 甲500法郎，乙200法郎
C. 甲525法郎，乙175法郎D. 甲350法郎，乙350法郎
【答案】C
【解析】
【分析】通过分析甲可能获胜的概率来分得奖金，假定再赌一局，甲获胜的概率为；若再赌两局，甲才获胜的概率为，从而得甲获胜的概率为，可得出奖金的分配金额.
【详解】假定再赌一局，甲获胜的概率为；若再赌两局，甲才获胜的概率为，
∴甲获胜的概率为，∴甲应分得：（法郎），乙应分得：（法郎）.
故选：C.
【点睛】本题考查概率知识的实际应用，关键在于明确概率的原理，以达到理论联系实际，属于中档题.
3. 下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是
A. 频率就是概率B. 频率是随机，与试验次数无关
C. 概率是稳定的，与试验次数无关D. 概率是随机的，与试验次数有关
【答案】C
【解析】
【分析】根据频率、概率的概念，可得结果.
【详解】频率指的是：在相同条件下重复试验下，
事件A出现的次数除以总数，是变化的
概率指的是： 在大量重复进行同一个实验时，
事件A发生的频率总接近于某个常数，
这个常数就是事件A的概率，是不变的
故选：C
【点睛】本题考查频率与概率的区别，属基础题.
4. 已知复数与在复平面内对应的点关于原点对称，且，则虚部为（ ）
A B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算，先求解，根据复数在复平面内对应的点求解，即可求解的虚部.
【详解】解：因为，故，
所以在复平面对应的点为，则在复平面对应的点为，故，
的虚部为-1.
故选：A.
5. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的运算求解复数，得到，根据复数的几何意义即可求解.
【详解】，
则，在复平面上对应的点的坐标为，位于第四象限.
故选：D．
6. 在复平面内，下列命题是真命题的是（ ）
A. 若复数z满足R，则R
B. 若复数z满足R，则R
C. 若复数，满足R，则
D. 若复数R，则
【答案】A
【解析】
【分析】A选项，设复数为，表达出，根据得到，A正确；BCD选项，举出反例；
【详解】A选项，设复数，，
则，
若，则，所以，A为真命题；
B选项，若复数，则，但，故B为假命题；
C选项，若复数，，满足，但，C为假命题；
D选项，如果，则无意义，D为假命题.
故选：A.
7. 已知复数z=（为虚数单位），则|z|=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简得，即得解.
【详解】解：由题得z=，
所以|z|=.
故选：A
8. 已知为虚数单位，在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【详解】先化简复数得到复数为，即得解.
【点睛】解：，
所以该复数对应的点为，在第四象限.
故选：D
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则
C. 若，则的虚部为
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
【答案】BD
【解析】
【分析】举反例可判断A；根据复数相等列方程组可解p、q，然后可判断B；由虚部概念可判断C；利用两圆面积相减可判断D.
【详解】A中，令，则，故A错误；
B中，若点Z的坐标为，则，所以，
整理得，所以，解得，
所以，故B正确；
C中，易知的虚部为，故C错误；
D中，记，则
所以，
圆的面积为，圆的面积为，
所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确.
故选：BD
10. 已知复数z满足，则（ ）
A. z的虚部为-3B. z在复平面内对应的点位于第二象限
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用复数的乘除运算求解复数，根据复数的性质判断各项正误.
【详解】解：由可得，故z的虚部为3，A错误；
z在复平面内对应的点为，位于第二象限，B正确；
，C正确；
，故D错误.
故选：BC.
11. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，为共扼复数，则为实数
B. 若为虚数单位，为正整数，则
C. 复数在复平面内对应的点在第三象限
D. 复数的共轭复数为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据共轭复数的概念可判断A项；利用复数的乘方运算可判断B项；利用复数的几何意义可判断C项；利用复数的除法运算结合共轭复数的概念可判断D项.
【详解】解：设，则，故，故A正确；
因为，故B错误；
因为复数在复平面内对应点的坐标为，所以在第三象限，故C正确；
因为，其共轭复数为，故D错误；
故选：AC.
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知复数满足，的虚部为－2，所对应的点在第二象限，则_________．
【答案】##
【解析】
【分析】设复数，根据题干中的条件列方程组求解的值即可.
【详解】解：设复数，则，所以，
又，且的虚部为-2，则，
因为所对应的点在第二象限，即点在第二象限，所以，
故，解得，故.
故答案为：.
13. 若|，则的最小值为_____.
【答案】1
【解析】
【分析】设，根据复数的几何意义可得，则，即可求解.
【详解】设，则.
所以，即，所以，
所以，
故当时，的最小值为1.
故答案为：1.
14. 已知为虚数单位，复数，则的实部为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的除法运算化简复数，进而确定其实部.
【详解】由，
则实部为：，
故答案为：.
四、解答题（共77分）
15. 化简：，，，，，，，．
【答案】.
【解析】
【分析】由复数的乘方法则即可求解.
【详解】由复数乘方法则可知，
所以，，，，
，，，.
16. 求适合下列方程的实数x，y的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】根据复数相等即可得到方程组，解出即可.
【小问1详解】
由题意得，解得.
【小问2详解】
由题意得，解得.
17. 已知复数z满足，的虚部是2，z对应的点A在第一象限，
（1）求z的值；
（2）若在复平面上对应点分别为A，B，C，求cs∠ABC.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出，利用复数的模和的虚部列出方程组，求出z的值；
（2）在（1）的基础上，得到和对应的复数，利用复数的除法运算的三角表示及其几何意义求出答案.
【小问1详解】
设，，则，
由题意得，
故，
因为z对应的点A在第一象限，所以，
解得，故；
【小问2详解】
由（1）知，，，
对应的复数为，对应的复数为，
因为，且的辐角为，
所以
18. 一个小组的3个学生在分发数学作业时，从他们3人的作业中各随机地取出了一份作业．
（1）每个学生恰好拿到自己作业的概率是多少？
（2）3个学生不都拿到自己作业的概率是多少？
（3）每个学生拿的都不是自己作业的概率是多少？
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）首先确定3人拿作业的情况包含种可能，再求概率；（2）根据（1）的结果，利用对立事件求概率；（3）首先列举基本事件，再求概率.
【详解】（1）由题意可知，每个学生恰好拿到自己作业的概率；
（2）3个学生不都拿到自己作业的概率；
（3）三个学生分别设为，则每个学生拿的都不是自己的作业包含的基本事件是或，共2个基本事件，
所以每个学生拿都不是自己作业的概率.
19. 古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调查，统计了他们一周课外读书时间（单位：）的数据如下：
（1）根据表格中提供的数据，求，，的值并估算一周课外读书时间的中位数.
（2）如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人.
①求每层应抽取的人数；
②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率.
【答案】（1），，，中位数；（2）①三层中抽取的人数分别为2，5，13；②
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方表的性质，即可求得，得到，，再结合中位数的计算方法，即可求解.
（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，根据抽样比，求得在三层中抽取的人数；
②由①知，设内被抽取学生分别为，内被抽取的学生分别为，利用列举法得到基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，可得，所以，.
设一周课外读书时间的中位数为小时，
则，解得，
即一周课外读书时间的中位数约为小时.
（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为，
又因为，，的频数分别为20，50，130，
所以从，，三层中抽取的人数分别为2，5，13.
②由①知，在，两层中共抽取7人，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为，
若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，共有21种，
其中2人不在同一层的情况为，，，，，，，，，，共有10种.
设事件为“这2人不在同一层”，
由古典概型的概率计算公式，可得概率为.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方表的性质，中位数的求解，以及古典概型的概率计算等知识的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
一周课外读书时间/
合计
频数
4
6
10
12
14
24
46
34
频率
0.02
0.03
0.05
0.06
0.07
0.12
0.25
0.17
1