湖南省永州市第一中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题（每道题只有一个正确的选项，每小题5分，共40分）
1. 双曲线的虚轴长为（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由双曲线的方程求出的值，即可得答案．
【详解】因为，所以，所以双曲线的虚轴长为.
故选：D.
2. 已知，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用两个向量垂直的性质，数量积公式即求得的值．
【详解】向量
若，
则，
．
故选：C．
3. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接法求解抛物线的准线方程.
【详解】抛物线即，它的的准线方程为.
故选：A.
4. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ）

A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合数量积运算求模长.
【详解】由题意可知：，
则
，
所以.
故选：C.
5. 已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出直线，并与抛物线联立，得到，再根据抛物线的定义建立等式即可求解.
【详解】因为直线l的方程为，即，
由消去y，得，
设，则，
又因为弦的中点到抛物线的准线的距离为3，所以，
而，所以，
故，解得，所以抛物线的方程为
故选：B.
6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解.
【详解】记，则为直线的斜率，
故当直线与半圆相切时，斜率最小，
设，则，解得或（舍去），
即的最小值为.
故选：C.

7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与轴交于点，与的右支交于点，且满足，若点四点共圆（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断出，根据已知条件求得，然后利用勾股定理列方程，化简求得双曲线的离心率.
【详解】因为点四点共圆，，是圆的直径，
所以，即，
所以，即，
又因为，所以，即，
所以，又，所以，
又因为，所以，即，
所以，所以，所以.
故选：D
【点睛】方法点睛：求解双曲线离心率有关的问题，可以利用直接法来进行求解，也即通过已知条件求得和，从而求得双曲线的离心率.也可以利用构造齐次式的方法来进行求解，也即通过已知条件求得或的等量关系式，由此来求得离心率.
8. 如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得点轨迹是平面内以点为圆心，半径为的圆，可得，进而可得出题中所求角等于直线与直线的夹角，然后过点作平面于点，过点作于点，连接，找出使得最大和最小时的位置，进而可求得所求角的余弦值的取值范围.
【详解】连接交平面于点，延长线段至点，使得，连接、、，如下图所示：

已知在正方体中，底面，平面，，
又四边形为正方形，所以，，
，平面，平面，，
同理，，平面，
三棱锥的体积为，
，，
可得，
所以，线段的长被平面与平面三等分，且与两平面分别垂直，
而正方体的棱长为，所以，，如下图所示：

其中，不妨设，由题意可，
所以，，可得，
所以，点在平面内以点为圆心，半径为的圆上.
因为，所以，直线与直线的夹角即为直线与直线所成角.
接下来要求出线段与的长，然后在中利用余弦定理求解.
如图，过点作平面于点，过点作于点，连接，

根据题意可知，，且，
所以，，.
如图所示，，当点在处时，最大，当点在处时，最小.

这两种情况下直线与直线夹角的余弦值最大，为；
当点在点处时，为直角，此时余弦值最小为.
综上所述，直线与直线所成角的余弦值的取值范围是.
故选：A.
【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求解，解题的关键就是确定点的轨迹，考查推理能力与计算能力，属于难题.
二、多选题（每道题至少有2个或2个以上的答案正确，每小题6分，共18分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C. 直线的倾斜角的取值范围是
D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B：由题意可得，进而可得倾斜角的范围；对于C：根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D：根据图形结合斜率公式分析求解.
【详解】对于选项A：当时，直线与直线斜率分别为1，，
斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立；
若“直线与直线互相垂直”，
则，故或，
所以得不到，即必要性不成立，故A错误；
对于选项B：由直线平行得，解得，
所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确；
对于选项C：直线的倾斜角为，则，
因为，所以，故C正确；
对于选项D：如图所示：

可得，，结合图象知，故D正确；
故选：BCD.
10. 已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ）
A. 当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆
B. 点的轨迹可能是一个定点
C. 点的轨迹不可能是圆
D. 当点在圆外时，点的轨迹是双曲线
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据点所在的位置分类讨论，结合椭圆、圆、双曲线的定义判断即可.
【详解】对A，如图1，连接，
由已知得，所以．
又因为点在圆内，所以，
根据椭圆的定义，点的轨迹是以、为焦点，为长轴长的椭圆，A对；
对B，如图2，
当点在圆上时，点与圆心重合，轨迹为定点，B对；
对D，如图3，连接，
由已知得，所以．
又因为点在圆外，所以，
根据双曲线的定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线，D对；
对C，当点与点重合时，如图4，
则线段的中垂线与直线的交点即为线段的中点，
此时，，即点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，C错.
故选：ABD.
11. 著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 的图象是轴对称图形B. 的值域是
C. 先减小后增大D. 方程有三个解
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题得，设，，，则，作出图形，由点在轴的移动得出的性质，从而判断各选项．
【详解】由已知，
设，，，则，如图，
由图形可得点关于对称时，的值相等，因此的图象是轴对称图形，它关于直线对称，A正确；
显然轴，当时，，即，
又，而不可能共线，即，
所以，B错；
设在轴上，且在右侧，在点右侧，与交于点，则，，
∴，
∴，在轴上点的右侧，，
∴，即
这说明点从向右移动时，递增，同理在轴从左侧向点移动时，减小，C正确；
，，
设，则的解是和，
有一个解，而有两个解，因此有三个解，D对．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：解题关键是数与形的结合，题中函数转化为轴上点到两定点距离差的绝对值，然后通过点的移动确定函数的性质，使得较为复杂的函数问题得到解决.
三、填空题（每道题5分，共15分）
12. 已知点N是点在坐标平面内的射影，则___________．
【答案】5
【解析】
【分析】由题可知，，从而可得，再根据模长公式即可求解.
【详解】由题可知，，则，．
故答案为：.
13. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解，
【详解】圆的圆心为，，
圆的圆心为，，
设动圆的圆心为，半径为，
由题意得，，则，，
由椭圆定义得的轨迹方程为，
故答案为：
14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据椭圆定义可将转化为，再根据可得的最小值为，结合两点间距离公式即得答案.
【详解】由为椭圆上任意一点，则MF1+MF2=4
又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），
∴，
当且仅当M、N、E、共线时等号成立.
∵，，则，
∴的最小值为．
故答案为：．
四、解答题（第15题13分，第16、17题每道题15分，每18、19题各17分）
15. 全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为，，，在实践技能考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格互不影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？
（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.
【答案】（1）乙的可能性最大
（2）
【解析】
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，计算甲乙丙获得执业医师证书的概率，比较大小，即得结论；
（2）分三种情况，结合互斥事件的概率加法公式以及独立事件的乘法公式，即可求得答案.
【小问1详解】
记甲乙丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件，，，
在实践考试中合格依次为，，，
则甲乙丙获得执业医师证书依次为，，，
并且与，与，与相互独立，
则，，
由于，故乙获得执业医师证书的可能性最大.
【小问2详解】
由于事件，，彼此相互独立，
“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：，
概率为.
16. 已知圆C：和定点，直线l：（）.
（1）当时，求直线l被圆C所截得的弦长；
（2）若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用点到直线的距离公式、勾股定理以及圆的几何性质求得弦长.
（2）先求得点的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
圆C：，圆心，半径，
当时，直线l的方程为，
所以圆心C到直线l的距离，
故弦长为.
【小问2详解】
设，则，
由，，得.
化简得，
所以点M的轨迹是以为圆心，8为半径的圆.
又因为点M在直线l：上，所以与圆D有公共点，
所以，
解得，
所以m的取值范围是.

17. 如图，在三棱柱中，，，，在底面ABC的射影为BC的中点，D是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求面面夹角的余弦值.
【小问1详解】
取BC的中点，连接，，
，D是的中点.，
，，
因为在底面ABC射影为BC的中点，所以平面ABC，
又平面平面，所以平面，
又面，所以，
因为，平面，所以平面；
【小问2详解】
如图，以O为坐标原点，以OA、OB、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则，，
则，，，，
，，，.
设平面的法向量为，
则，得，取，得，
因为平面，所以即为平面的一个法向量，
则，所以平面与平面的所成角的余弦值为.
18. 已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【答案】（1）；（2）证明详见解析.
【解析】
【分析】（1）由已知可得：， ，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解.
（2）方法一：设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证.
【详解】（1）依据题意作出如下图象：

由椭圆方程可得：， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）[方法一]：设而求点法
证明：设，
则直线的方程为：，即：
联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：
，解得：或
将代入直线可得：
所以点的坐标为.
同理可得：点的坐标为
当时，
直线的方程为：，
整理可得：
整理得：
所以直线过定点．
当时，直线：，直线过点．
故直线CD过定点．
[方法二]最优解】：数形结合
设，则直线的方程为，即．
同理，可求直线的方程为．
则经过直线和直线的曲线的方程可写为．
可化为．④
易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有，代入④式可得．
故，可得或．
其中表示直线，则表示直线．
令，得，即直线恒过点．
【整体点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.
第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.
19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.
（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；
（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.
【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）；（3）最大值为.
【解析】
【分析】
（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；
（2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据范围即可求出的取值范围；
（3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值.
【详解】（1）对于函数的定义域内存在，则无解，
故不是“依赖函数”.
（2）因为在上递增，故，即，，
由，故，得，
从而上单调递增，故.
（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；
②若，故在上单调递减，
从而，解得(舍)或，
从而存在.使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，
由，得.
由，可得，
又在单调递减，故当时，，
从而，解得，
综上，故实数的最大值为.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
② 数形结合( 图象在 上方即可)；
③ 讨论最值或恒成立.