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    通用版数学中考复习【一轮复习使用】【共计148份】 学案74大招专题突破学生版+教师版

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    • 原卷
      专题60 二次函数背景下的特殊平行四边形存在性问题(原卷版).docx
    • 原卷
      专题55 一次函数背景下的图形存在性问题(原卷版).docx
    • 原卷
      专题64 反比例函数k的八种几何模型及解法(原卷版).docx
    • 原卷
      专题59 二次函数背景下的等腰三角形、直角三角形存在性问题(原卷版).docx
    • 原卷
      专题74 圆中的新定义问题(原卷版).docx
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      模型12 脚拉脚模型(原卷版).docx
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      专题72 三角形中的新定义问题(原卷版).docx
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      专题73 四边形中的新定义问题(原卷版).docx
    • 原卷
      专题61 二次函数背景下的相似三角形问题(原卷版).docx
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      专题71 函数中的新定义问题(原卷版).docx
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      模型40 动态角旋转问题(原卷版).docx
    • 原卷
      模型27 托勒密定理(原卷版).docx
    • 原卷
      模型39 数轴上动点问题(原卷版).docx
    • 原卷
      专题62 二次函数与圆综合性问题(原卷版).docx
    • 原卷
      专题58 二次函数中的面积问题(原卷版).docx
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      专题63 二次函数背景下的倍、半角角度问题(原卷版).docx
    • 原卷
      模型37 四边形对角互补模型(原卷版).docx
    • 原卷
      模型03 全等三角形中的常见五种基本模型(原卷版).docx
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      专题53 一次函数背景下的搭桥模型(原卷版).docx
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      模型45 折叠变换模型(原卷版).docx
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      模型32 三角形中的四心问题(重心、外心、内心、垂心)(原卷版).docx
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      模型13 半角模型(原卷版).docx
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      模型20 加权费马点模型(原卷版).docx
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      模型50 12345模型(原卷版).docx
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      专题67 反比例函数背景下的全等、相似问题(原卷版).docx
    • 原卷
      模型07 将军饮马模型(原卷版).docx
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      专题57 二次函数中的线段最值问题(原卷版).docx
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      模型28 阿基米德折弦定理(原卷版).docx
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      专题56 一次函数中的倍、半角问题(原卷版).docx
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      模型24 辅助圆系列最值模型(原卷版).docx
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      模型11 手拉手模型(原卷版).docx
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      专题65 反比例函数背景下的面积问题(原卷版).docx
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      模型35 垂美四边形模型(原卷版).docx
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      模型05 相似三角形中的常见五种基本模型(原卷版).docx
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      模型29 圆内最大张角之米勒角问题(原卷版).docx
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      模型26 圆幂定理(原卷版).docx
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      模型21 瓜豆原理之直线型(原卷版).docx
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      专题68 分段函数在生活实际中的应用(原卷版).docx
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      模型41 单中点、双中点模型(原卷版).docx
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      专题54 一次函数中的45°角问题(原卷版).docx
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      模型43 几何中等分面积问题(原卷版).docx
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      模型19 费马点最值模型(原卷版).docx
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      模型17 阿氏圆最值问题(原卷版).docx
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      专题66 反比例函数中的动点最值问题(原卷版).docx
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      模型38 梅涅劳斯定理、塞瓦定理(原卷版).docx
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      模型42 单、多角平分线模型(原卷版).docx
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      专题51 一次函数的平行、垂直、面积问题(原卷版).docx
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      模型04 一线三等角模型(原卷版).docx
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      专题70 方程与不等式中的新定义问题(原卷版).docx
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      模型10 加权逆等线最值模型(原卷版).docx
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      模型16 胡不归最值问题(原卷版).docx
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      模型30 探照灯模型(原卷版).docx
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      专题52 一次函数背景下的将军饮马问题(原卷版).docx
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      模型15 十字架模型(原卷版).docx
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      模型46 勾股定理之蚂蚁行程、弦图模型(原卷版).docx
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      模型33 两垂一圆构造直角三角形(原卷版).docx
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      模型22 瓜豆原理之曲线型(原卷版).docx
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      模型01 平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型(原卷版).docx
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      模型18 奔驰模型(原卷版).docx
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      模型08 垂线段最短模型(原卷版).docx
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      模型09 逆等线最值模型(原卷版).docx
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      模型14 截长补短模型(原卷版).docx
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      模型36 中点四边形模型和梯形中位线定理(原卷版).docx
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      模型06 射影定理模型(原卷版).docx
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      模型02 飞镖、8字模型(原卷版).docx
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      专题69 数与式中的新定义问题(原卷版).docx
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      模型34 两圆中垂构造等腰三角形(原卷版).docx
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      模型44 三角板拼接模型(原卷版).docx
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      模型31 正、余弦定理与正弦面积公式(原卷版).docx
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      模型23 隐圆系列之点圆最值模型(原卷版).docx
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      模型47 勾股定理之大树折断、风吹荷花模型(原卷版).docx
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      模型48 梯子最值与斜边中点模型(原卷版).docx
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      模型49 等边三角形的378和578模型(原卷版).docx
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      专题60 二次函数背景下的特殊平行四边形存在性问题(解析版).docx
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      专题61 二次函数背景下的相似三角形问题(解析版).docx
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      专题59 二次函数背景下的等腰三角形、直角三角形存在性问题(解析版).docx
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      专题63 二次函数背景下的倍、半角角度问题(解析版).docx
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      专题74 圆中的新定义问题(解析版).docx
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      专题62 二次函数与圆综合性问题(解析版).docx
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      专题64 反比例函数k的八种几何模型及解法(解析版).docx
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      专题72 三角形中的新定义问题(解析版).docx
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      专题56 一次函数中的倍、半角问题(解析版).docx
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      专题53 一次函数背景下的搭桥模型(解析版).docx
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      模型12 脚拉脚模型(解析版).docx
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      专题54 一次函数中的45°角问题(解析版).docx
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      模型37 四边形对角互补模型(解析版).docx
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      专题71 函数中的新定义问题(解析版).docx
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      模型45 折叠变换模型(解析版).docx
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      模型27 托勒密定理(解析版).docx
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      模型32 三角形中的四心问题(重心、外心、内心、垂心)(解析版).docx
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      模型50 12345模型(解析版).docx
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      模型20 加权费马点模型(解析版).docx
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      专题58 二次函数中的面积问题(解析版).docx
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      专题67 反比例函数背景下的全等、相似问题(解析版).docx
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      模型40 动态角旋转问题(解析版).docx
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      模型13 半角模型(解析版).docx
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      模型29 圆内最大张角之米勒角问题(解析版).docx
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      专题57 二次函数中的线段最值问题(解析版).docx
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      模型39 数轴上动点问题(解析版).docx
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      模型07 将军饮马模型(解析版).docx
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      模型15 十字架模型(解析版).docx
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      模型33 两垂一圆构造直角三角形(解析版).docx
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      模型17 阿氏圆最值问题(解析版).docx
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      模型24 辅助圆系列最值模型(解析版).docx
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      模型26 圆幂定理(解析版).docx
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      模型05 相似三角形中的常见五种基本模型(解析版).docx
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      专题65 反比例函数背景下的面积问题(解析版).docx
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      专题66 反比例函数中的动点最值问题(解析版).docx
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      模型21 瓜豆原理之直线型(解析版).docx
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      模型03 全等三角形中的常见五种基本模型(解析版).docx
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      模型16 胡不归最值问题(解析版).docx
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      专题52 一次函数背景下的将军饮马问题(解析版).docx
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      模型30 探照灯模型(解析版).docx
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      模型41 单中点、双中点模型(解析版).docx
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      模型11 手拉手模型(解析版).docx
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      模型35 垂美四边形模型(解析版).docx
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      模型38 梅涅劳斯定理、塞瓦定理(解析版).docx
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      模型14 截长补短模型(解析版).docx
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      模型43 几何中等分面积问题(解析版).docx
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      模型19 费马点最值模型(解析版).docx
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      模型10 加权逆等线最值模型(解析版).docx
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      专题51 一次函数的平行、垂直、面积问题(解析版).docx
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      模型42 单、多角平分线模型(解析版).docx
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      模型04 一线三等角模型(解析版).docx
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      模型09 逆等线最值模型(解析版).docx
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      模型22 瓜豆原理之曲线型(解析版).docx
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      专题70 方程与不等式中的新定义问题(解析版).docx
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      模型23 隐圆系列之点圆最值模型(解析版).docx
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      模型08 垂线段最短模型(解析版).docx
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      专题68 分段函数在生活实际中的应用(解析版).docx
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      模型36 中点四边形模型和梯形中位线定理(解析版).docx
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      模型34 两圆中垂构造等腰三角形(解析版).docx
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      模型06 射影定理模型(解析版).docx
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      模型31 正、余弦定理与正弦面积公式(解析版).docx
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      模型18 奔驰模型(解析版).docx
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      模型01 平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型(解析版).docx
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      模型46 勾股定理之蚂蚁行程、弦图模型(解析版).docx
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      模型48 梯子最值与斜边中点模型(解析版).docx
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      专题69 数与式中的新定义问题(解析版).docx
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      模型02 飞镖、8字模型(解析版).docx
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      模型44 三角板拼接模型(解析版).docx
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      模型49 等边三角形的378和578模型(解析版).docx
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    专题60 二次函数背景下的特殊平行四边形存在性问题(原卷版)第1页
    专题60 二次函数背景下的特殊平行四边形存在性问题(原卷版)第2页
    专题60 二次函数背景下的特殊平行四边形存在性问题(原卷版)第3页
    专题55 一次函数背景下的图形存在性问题(原卷版)第1页
    专题55 一次函数背景下的图形存在性问题(原卷版)第2页
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    专题64 反比例函数k的八种几何模型及解法(原卷版)第1页
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    专题59 二次函数背景下的等腰三角形、直角三角形存在性问题(原卷版)第1页
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    专题74 圆中的新定义问题(原卷版)第1页
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    模型12 脚拉脚模型(原卷版)第1页
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    专题72 三角形中的新定义问题(原卷版)第1页
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    专题73 四边形中的新定义问题(原卷版)第1页
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    专题61 二次函数背景下的相似三角形问题(原卷版)第1页
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    专题71 函数中的新定义问题(原卷版)第1页
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    模型40 动态角旋转问题(原卷版)第1页
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    模型27 托勒密定理(原卷版)第1页
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    模型39 数轴上动点问题(原卷版)第1页
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    专题62 二次函数与圆综合性问题(原卷版)第1页
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    专题58 二次函数中的面积问题(原卷版)第1页
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    专题63 二次函数背景下的倍、半角角度问题(原卷版)第1页
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    模型37 四边形对角互补模型(原卷版)第1页
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    模型03 全等三角形中的常见五种基本模型(原卷版)第1页
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    专题53 一次函数背景下的搭桥模型(原卷版)第1页
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    模型45 折叠变换模型(原卷版)第1页
    模型45 折叠变换模型(原卷版)第2页
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    模型32 三角形中的四心问题(重心、外心、内心、垂心)(原卷版)第1页
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    模型13 半角模型(原卷版)第1页
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    模型20 加权费马点模型(原卷版)第1页
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    模型50 12345模型(原卷版)第1页
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    专题67 反比例函数背景下的全等、相似问题(原卷版)第1页
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    专题67 反比例函数背景下的全等、相似问题(原卷版)第3页
    模型07 将军饮马模型(原卷版)第1页
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    专题57 二次函数中的线段最值问题(原卷版)第1页
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    模型28 阿基米德折弦定理(原卷版)第1页
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    专题56 一次函数中的倍、半角问题(原卷版)第1页
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    模型24 辅助圆系列最值模型(原卷版)第1页
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    模型11 手拉手模型(原卷版)第1页
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    专题65 反比例函数背景下的面积问题(原卷版)第1页
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    模型29 圆内最大张角之米勒角问题(原卷版)第1页
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    模型26 圆幂定理(原卷版)第1页
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    模型21 瓜豆原理之直线型(原卷版)第1页
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    专题68 分段函数在生活实际中的应用(原卷版)第1页
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    模型41 单中点、双中点模型(原卷版)第1页
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    专题54 一次函数中的45°角问题(原卷版)第1页
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    模型43 几何中等分面积问题(原卷版)第1页
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    模型19 费马点最值模型(原卷版)第1页
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    模型17 阿氏圆最值问题(原卷版)第1页
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    专题66 反比例函数中的动点最值问题(原卷版)第1页
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    模型42 单、多角平分线模型(原卷版)第1页
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    专题51 一次函数的平行、垂直、面积问题(原卷版)第1页
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    模型04 一线三等角模型(原卷版)第1页
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    专题70 方程与不等式中的新定义问题(原卷版)第1页
    专题70 方程与不等式中的新定义问题(原卷版)第2页
    专题70 方程与不等式中的新定义问题(原卷版)第3页
    模型10 加权逆等线最值模型(原卷版)第1页
    模型10 加权逆等线最值模型(原卷版)第2页
    模型10 加权逆等线最值模型(原卷版)第3页
    模型16 胡不归最值问题(原卷版)第1页
    模型16 胡不归最值问题(原卷版)第2页
    模型16 胡不归最值问题(原卷版)第3页
    模型30 探照灯模型(原卷版)第1页
    模型30 探照灯模型(原卷版)第2页
    模型30 探照灯模型(原卷版)第3页
    专题52 一次函数背景下的将军饮马问题(原卷版)第1页
    专题52 一次函数背景下的将军饮马问题(原卷版)第2页
    专题52 一次函数背景下的将军饮马问题(原卷版)第3页
    模型15 十字架模型(原卷版)第1页
    模型15 十字架模型(原卷版)第2页
    模型15 十字架模型(原卷版)第3页
    模型46 勾股定理之蚂蚁行程、弦图模型(原卷版)第1页
    模型46 勾股定理之蚂蚁行程、弦图模型(原卷版)第2页
    模型46 勾股定理之蚂蚁行程、弦图模型(原卷版)第3页
    模型33 两垂一圆构造直角三角形(原卷版)第1页
    模型33 两垂一圆构造直角三角形(原卷版)第2页
    模型33 两垂一圆构造直角三角形(原卷版)第3页
    模型22 瓜豆原理之曲线型(原卷版)第1页
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    模型22 瓜豆原理之曲线型(原卷版)第3页
    模型01 平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型(原卷版)第1页
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    模型01 平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型(原卷版)第3页
    模型18 奔驰模型(原卷版)第1页
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    模型18 奔驰模型(原卷版)第3页
    模型08 垂线段最短模型(原卷版)第1页
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    模型09 逆等线最值模型(原卷版)第1页
    模型09 逆等线最值模型(原卷版)第2页
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    模型14 截长补短模型(原卷版)第1页
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    模型14 截长补短模型(原卷版)第3页
    模型36 中点四边形模型和梯形中位线定理(原卷版)第1页
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    模型06 射影定理模型(原卷版)第1页
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    模型02 飞镖、8字模型(原卷版)第1页
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    专题69 数与式中的新定义问题(原卷版)第1页
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    模型34 两圆中垂构造等腰三角形(原卷版)第1页
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    模型44 三角板拼接模型(原卷版)第1页
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    模型31 正、余弦定理与正弦面积公式(原卷版)第1页
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    模型23 隐圆系列之点圆最值模型(原卷版)第1页
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    模型47 勾股定理之大树折断、风吹荷花模型(原卷版)第1页
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    模型48 梯子最值与斜边中点模型(原卷版)第1页
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    模型49 等边三角形的378和578模型(原卷版)第1页
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    专题60 二次函数背景下的特殊平行四边形存在性问题(解析版)第1页
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    专题60 二次函数背景下的特殊平行四边形存在性问题(解析版)第3页
    专题55 一次函数背景下的图形存在性问题(解析版)第1页
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    专题55 一次函数背景下的图形存在性问题(解析版)第3页
    专题61 二次函数背景下的相似三角形问题(解析版)第1页
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    专题59 二次函数背景下的等腰三角形、直角三角形存在性问题(解析版)第1页
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    专题63 二次函数背景下的倍、半角角度问题(解析版)第1页
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    专题63 二次函数背景下的倍、半角角度问题(解析版)第3页
    专题74 圆中的新定义问题(解析版)第1页
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    专题62 二次函数与圆综合性问题(解析版)第1页
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    专题64 反比例函数k的八种几何模型及解法(解析版)第1页
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    专题72 三角形中的新定义问题(解析版)第1页
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    专题56 一次函数中的倍、半角问题(解析版)第1页
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    专题73 四边形中的新定义问题(解析版)第1页
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    专题53 一次函数背景下的搭桥模型(解析版)第1页
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    模型12 脚拉脚模型(解析版)第1页
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    专题54 一次函数中的45°角问题(解析版)第1页
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    模型37 四边形对角互补模型(解析版)第1页
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    专题71 函数中的新定义问题(解析版)第1页
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    模型45 折叠变换模型(解析版)第1页
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    模型27 托勒密定理(解析版)第1页
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    模型32 三角形中的四心问题(重心、外心、内心、垂心)(解析版)第1页
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    模型50 12345模型(解析版)第1页
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    模型20 加权费马点模型(解析版)第1页
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    专题58 二次函数中的面积问题(解析版)第1页
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    专题67 反比例函数背景下的全等、相似问题(解析版)第1页
    专题67 反比例函数背景下的全等、相似问题(解析版)第2页
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    模型40 动态角旋转问题(解析版)第1页
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    模型40 动态角旋转问题(解析版)第3页
    模型13 半角模型(解析版)第1页
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    模型29 圆内最大张角之米勒角问题(解析版)第1页
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    专题57 二次函数中的线段最值问题(解析版)第1页
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    模型39 数轴上动点问题(解析版)第1页
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    模型07 将军饮马模型(解析版)第1页
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    模型15 十字架模型(解析版)第1页
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    模型33 两垂一圆构造直角三角形(解析版)第1页
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    模型17 阿氏圆最值问题(解析版)第1页
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    模型24 辅助圆系列最值模型(解析版)第1页
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    模型26 圆幂定理(解析版)第1页
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    模型05 相似三角形中的常见五种基本模型(解析版)第1页
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    模型28 阿基米德折弦定理(解析版)第1页
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    专题65 反比例函数背景下的面积问题(解析版)第1页
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    专题66 反比例函数中的动点最值问题(解析版)第1页
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    模型21 瓜豆原理之直线型(解析版)第1页
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    模型03 全等三角形中的常见五种基本模型(解析版)第1页
    模型03 全等三角形中的常见五种基本模型(解析版)第2页
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    模型16 胡不归最值问题(解析版)第1页
    模型16 胡不归最值问题(解析版)第2页
    模型16 胡不归最值问题(解析版)第3页
    专题52 一次函数背景下的将军饮马问题(解析版)第1页
    专题52 一次函数背景下的将军饮马问题(解析版)第2页
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    模型30 探照灯模型(解析版)第1页
    模型30 探照灯模型(解析版)第2页
    模型30 探照灯模型(解析版)第3页
    模型41 单中点、双中点模型(解析版)第1页
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    模型11 手拉手模型(解析版)第1页
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    模型11 手拉手模型(解析版)第3页
    模型35 垂美四边形模型(解析版)第1页
    模型35 垂美四边形模型(解析版)第2页
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    模型38 梅涅劳斯定理、塞瓦定理(解析版)第1页
    模型38 梅涅劳斯定理、塞瓦定理(解析版)第2页
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    模型14 截长补短模型(解析版)第1页
    模型14 截长补短模型(解析版)第2页
    模型14 截长补短模型(解析版)第3页
    模型43 几何中等分面积问题(解析版)第1页
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    模型19 费马点最值模型(解析版)第1页
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    模型10 加权逆等线最值模型(解析版)第1页
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    专题51 一次函数的平行、垂直、面积问题(解析版)第1页
    专题51 一次函数的平行、垂直、面积问题(解析版)第2页
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    模型42 单、多角平分线模型(解析版)第1页
    模型42 单、多角平分线模型(解析版)第2页
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    模型04 一线三等角模型(解析版)第1页
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    模型09 逆等线最值模型(解析版)第1页
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    模型22 瓜豆原理之曲线型(解析版)第1页
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    专题70 方程与不等式中的新定义问题(解析版)第1页
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    模型23 隐圆系列之点圆最值模型(解析版)第1页
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    模型08 垂线段最短模型(解析版)第1页
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    专题68 分段函数在生活实际中的应用(解析版)第1页
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    模型36 中点四边形模型和梯形中位线定理(解析版)第1页
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    模型34 两圆中垂构造等腰三角形(解析版)第1页
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    模型06 射影定理模型(解析版)第1页
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    模型31 正、余弦定理与正弦面积公式(解析版)第1页
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    模型18 奔驰模型(解析版)第1页
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    模型01 平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型(解析版)第1页
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    模型44 三角板拼接模型(解析版)第1页
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    模型49 等边三角形的378和578模型(解析版)第1页
    模型49 等边三角形的378和578模型(解析版)第2页
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    这是一份通用版数学中考复习【一轮复习使用】【共计148份】 学案74大招专题突破学生版+教师版,文件包含专题60二次函数背景下的特殊平行四边形存在性问题原卷版docx、专题55一次函数背景下的图形存在性问题原卷版docx、专题64反比例函数k的八种几何模型及解法原卷版docx、专题59二次函数背景下的等腰三角形直角三角形存在性问题原卷版docx、专题74圆中的新定义问题原卷版docx、模型12脚拉脚模型原卷版docx、专题72三角形中的新定义问题原卷版docx、专题73四边形中的新定义问题原卷版docx、专题61二次函数背景下的相似三角形问题原卷版docx、专题71函数中的新定义问题原卷版docx、模型40动态角旋转问题原卷版docx、模型27托勒密定理原卷版docx、模型39数轴上动点问题原卷版docx、专题53一次函数背景下的搭桥模型原卷版docx、模型03全等三角形中的常见五种基本模型原卷版docx、专题63二次函数背景下的倍半角角度问题原卷版docx、模型37四边形对角互补模型原卷版docx、专题62二次函数与圆综合性问题原卷版docx、专题58二次函数中的面积问题原卷版docx、模型45折叠变换模型原卷版docx、模型32三角形中的四心问题重心外心内心垂心原卷版docx、模型13半角模型原卷版docx、模型20加权费马点模型原卷版docx、模型5012345模型原卷版docx、专题67反比例函数背景下的全等相似问题原卷版docx、模型07将军饮马模型原卷版docx、专题57二次函数中的线段最值问题原卷版docx、模型26圆幂定理原卷版docx、模型29圆内最大张角之米勒角问题原卷版docx、模型05相似三角形中的常见五种基本模型原卷版docx、模型21瓜豆原理之直线型原卷版docx、模型35垂美四边形模型原卷版docx、模型28阿基米德折弦定理原卷版docx、模型11手拉手模型原卷版docx、模型24辅助圆系列最值模型原卷版docx、专题56一次函数中的倍半角问题原卷版docx、专题65反比例函数背景下的面积问题原卷版docx、专题68分段函数在生活实际中的应用原卷版docx、模型41单中点双中点模型原卷版docx、专题54一次函数中的45°角问题原卷版docx、模型43几何中等分面积问题原卷版docx、模型19费马点最值模型原卷版docx、模型17阿氏圆最值问题原卷版docx、专题66反比例函数中的动点最值问题原卷版docx、专题52一次函数背景下的将军饮马问题原卷版docx、模型30探照灯模型原卷版docx、模型16胡不归最值问题原卷版docx、模型15十字架模型原卷版docx、模型10加权逆等线最值模型原卷版docx、模型38梅涅劳斯定理塞瓦定理原卷版docx、模型04一线三等角模型原卷版docx、专题51一次函数的平行垂直面积问题原卷版docx、专题70方程与不等式中的新定义问题原卷版docx、模型42单多角平分线模型原卷版docx、模型36中点四边形模型和梯形中位线定理原卷版docx、模型14截长补短模型原卷版docx、模型09逆等线最值模型原卷版docx、模型08垂线段最短模型原卷版docx、模型18奔驰模型原卷版docx、模型46勾股定理之蚂蚁行程弦图模型原卷版docx、模型22瓜豆原理之曲线型原卷版docx、模型01平行线拐点之猪蹄锯齿铅笔模型原卷版docx、模型33两垂一圆构造直角三角形原卷版docx、模型06射影定理模型原卷版docx、模型02飞镖8字模型原卷版docx、专题69数与式中的新定义问题原卷版docx、模型34两圆中垂构造等腰三角形原卷版docx、模型44三角板拼接模型原卷版docx、模型31正余弦定理与正弦面积公式原卷版docx、模型23隐圆系列之点圆最值模型原卷版docx、模型47勾股定理之大树折断风吹荷花模型原卷版docx、模型48梯子最值与斜边中点模型原卷版docx、模型49等边三角形的378和578模型原卷版docx、专题60二次函数背景下的特殊平行四边形存在性问题解析版docx、专题55一次函数背景下的图形存在性问题解析版docx、专题61二次函数背景下的相似三角形问题解析版docx、专题59二次函数背景下的等腰三角形直角三角形存在性问题解析版docx、专题63二次函数背景下的倍半角角度问题解析版docx、专题74圆中的新定义问题解析版docx、专题62二次函数与圆综合性问题解析版docx、专题64反比例函数k的八种几何模型及解法解析版docx、专题72三角形中的新定义问题解析版docx、专题56一次函数中的倍半角问题解析版docx、专题73四边形中的新定义问题解析版docx、专题53一次函数背景下的搭桥模型解析版docx、模型12脚拉脚模型解析版docx、专题54一次函数中的45°角问题解析版docx、模型37四边形对角互补模型解析版docx、专题71函数中的新定义问题解析版docx、模型45折叠变换模型解析版docx、模型27托勒密定理解析版docx、模型32三角形中的四心问题重心外心内心垂心解析版docx、模型5012345模型解析版docx、模型20加权费马点模型解析版docx、专题58二次函数中的面积问题解析版docx、专题67反比例函数背景下的全等相似问题解析版docx、模型40动态角旋转问题解析版docx、模型13半角模型解析版docx、模型29圆内最大张角之米勒角问题解析版docx、专题57二次函数中的线段最值问题解析版docx、模型39数轴上动点问题解析版docx、模型07将军饮马模型解析版docx、模型15十字架模型解析版docx、模型33两垂一圆构造直角三角形解析版docx、模型17阿氏圆最值问题解析版docx、专题66反比例函数中的动点最值问题解析版docx、专题65反比例函数背景下的面积问题解析版docx、模型28阿基米德折弦定理解析版docx、模型24辅助圆系列最值模型解析版docx、模型26圆幂定理解析版docx、模型05相似三角形中的常见五种基本模型解析版docx、模型21瓜豆原理之直线型解析版docx、模型03全等三角形中的常见五种基本模型解析版docx、模型16胡不归最值问题解析版docx、专题52一次函数背景下的将军饮马问题解析版docx、模型30探照灯模型解析版docx、模型41单中点双中点模型解析版docx、模型11手拉手模型解析版docx、模型35垂美四边形模型解析版docx、模型38梅涅劳斯定理塞瓦定理解析版docx、模型14截长补短模型解析版docx、模型43几何中等分面积问题解析版docx、模型19费马点最值模型解析版docx、模型10加权逆等线最值模型解析版docx、模型09逆等线最值模型解析版docx、模型04一线三等角模型解析版docx、专题51一次函数的平行垂直面积问题解析版docx、模型42单多角平分线模型解析版docx、模型22瓜豆原理之曲线型解析版docx、专题70方程与不等式中的新定义问题解析版docx、模型23隐圆系列之点圆最值模型解析版docx、模型08垂线段最短模型解析版docx、专题68分段函数在生活实际中的应用解析版docx、模型36中点四边形模型和梯形中位线定理解析版docx、模型34两圆中垂构造等腰三角形解析版docx、模型06射影定理模型解析版docx、模型31正余弦定理与正弦面积公式解析版docx、模型18奔驰模型解析版docx、模型01平行线拐点之猪蹄锯齿铅笔模型解析版docx、模型46勾股定理之蚂蚁行程弦图模型解析版docx、模型48梯子最值与斜边中点模型解析版docx、专题69数与式中的新定义问题解析版docx、模型02飞镖8字模型解析版docx、模型44三角板拼接模型解析版docx、模型49等边三角形的378和578模型解析版docx、模型47勾股定理之大树折断风吹荷花模型解析版docx等146份试卷配套教学资源,其中试卷共3712页, 欢迎下载使用。
    全等三角形的模型种类多,其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解,这里就不在重复.
    模型一、截长补短模型
    ①截长:在较长的线段上截取另外两条较短的线段。
    如图所示,在BF上截取BM=DF,易证△BMC≌△DFC(SAS),则MC=FC=FG,∠BCM=∠DCF,
    可得△MCF为等腰直角三角形,又可证∠CFE=45°,∠CFG=90°,
    ∠CFG=∠MCF,FG∥CM,可得四边形CGFM为平行四边形,则CG=MF,于是BF=BM+MF=DF+CG.
    ②补短:选取两条较短线段中的一条进行延长,使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。
    如图所示,延长GC至N,使CN=DF,易证△CDF≌△BCN(SAS),
    可得CF=FG=BN,∠DFC=∠BNC=135°,
    又知∠FGC=45°,可证BN∥FG,于是四边形BFGN为平行四边形,得BF=NG,
    所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.
    模型二、平移全等模型

    模型三、对称全等模型

    模型四、旋转全等模型

    模型五、手拉手全等模型

    例题精讲
    模型一、截长补短模型
    【例1】.如图,AD⊥BC,AB+BD=DC,∠B=54°,则∠C= 27° .

    解:在DC上截取DE=BD,连接AE,
    ∵AD⊥BC,DE=BD,
    ∴AD是BE的垂直平分线,
    ∴AB=AE,
    ∴∠B=∠AEB=54°,
    ∵AB+BD=DC,DE+EC=DC,
    ∴AB=EC,
    ∴AE=EC,
    ∴∠C=∠EAC,
    ∵∠C+∠EAC=∠AEB=54°,
    ∴∠C=∠EAC=∠AEB=27°,故答案为:27°.
    变式训练
    【变式1-1】.如图,点P是△ABC三个内角的角平分线的交点,连接AP、BP、CP,∠ACB=60°,且CA+AP=BC,则∠CAB的度数为( )

    A.60°B.70°C.80°D.90°
    解:如图,在BC上截取CE=AC,连接PE,
    ∵∠ACB=60°,
    ∴∠CAB+∠ABC=120°
    ∵点P是△ABC三个内角的角平分线的交点,
    ∴∠CAP=∠BAP=∠CAB,∠ABP=∠CBP=∠ABC,∠ACP=∠BCP,
    ∴∠ABP+∠BAP=60°
    ∵CA=CE,∠ACP=∠BCP,CP=CP
    ∴△ACP≌△ECP(SAS)
    ∴AP=PE,∠CAP=∠CEP
    ∵CA+AP=BC,且CB=CE+BE,
    ∴AP=BE,
    ∴BE=PE,
    ∴∠EPB=∠EBP,
    ∴∠PEC=∠EBP+∠EPB=2∠PBE=∠CAP
    ∴∠PAB=2∠PBA,且∠ABP+∠BAP=60°,
    ∴∠PAB=40°,
    ∴∠CAB=80°故选:C.
    【变式1-2】.如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,
    求证:∠A+∠C=180°.

    证明:在线段BC上截取BE=BA,连接DE,如图所示.
    ∵BD平分∠ABC,
    ∴∠ABD=∠EBD.
    在△ABD和△EBD中,,
    ∴△ABD≌△EBD(SAS),∴AD=ED,∠A=∠BED.
    ∵AD=CD,
    ∴ED=CD,∴∠DEC=∠C.
    ∵∠BED+∠DEC=180°,∴∠A+∠C=180°.
    【变式1-3】.如图,△ABC为等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,点D在线段AB上,连接CD,∠ADC=60°,AD=2,过C作CE⊥CD,且CE=CD,连接DE,交BC于F.
    (1)求△CDE的面积;
    (2)证明:DF+CF=EF.

    (1)解:在Rt△ADC中,∵AD=2,∠ADC=60°,
    ∴∠ACD=30°,
    ∴CD=CE=2AD=4,
    ∵EC⊥CD,
    ∴∠ECD=90°,
    ∴S△ECD=•CD•CE=×4×4=8.
    (2)证明:在EF上取一点M,使得EM=DF,
    ∵EC=CD,∠E=∠CDF=45°,
    ∴△ECM≌△DCF,
    ∴CM=CF,
    ∵∠ADC=60°,
    ∠FDB=180°﹣60°﹣45°=75°,
    ∴∠DFB=∠CFM=180°﹣75°﹣45°=60°,
    ∴△CFM是等边三角形,
    ∴CF=MF,
    ∴EF=EM+MF=DF+CF.
    模型二、平移全等模型
    【例2】.如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,AD∥EC,∠AED=∠B.
    (1)求证:△AED≌△EBC.
    (2)当AB=6时,求CD的长.
    (1)证明:∵AD∥EC,∴∠A=∠BEC,
    ∵E是AB中点,∴AE=EB,
    ∵∠AED=∠B,∴△AED≌△EBC.
    (2)解:∵△AED≌△EBC,∴AD=EC,
    ∵AD∥EC,∴四边形AECD是平行四边形,∴CD=AE,
    ∵AB=6,∴CD=AB=3.
    变式训练
    【变式2-1】.如图1,A,B,C,D在同一直线上,AB=CD,DE∥AF,且DE=AF,求证:△AFC≌△DEB.如果将BD沿着AD边的方向平行移动,如图2,3时,其余条件不变,结论是否成立?如果成立,请予以证明;如果不成立,请说明理由.
    解:∵AB=CD,
    ∴AB+BC=CD+BC,
    即AC=BD.
    ∵DE∥AF,
    ∴∠A=∠D.
    在△AFC和△DEB中,,
    ∴△AFC≌△DEB(SAS).
    在(2),(3)中结论依然成立.
    如在(3)中,∵AB=CD,
    ∴AB﹣BC=CD﹣BC,
    即AC=BD,
    ∵AF∥DE,
    ∴∠A=∠D.
    在△ACF和△DEB中,,
    ∴△ACF≌△DEB(SAS).
    【变式2-2】.如图,AD,BF相交于点O,AB∥DF,AB=DF,点E与点C在BF上,且BE=CF.
    (1)求证:△ABC≌△DFE;
    (2)求证:点O为BF的中点.
    证明:(1)∵AB∥DF,
    ∴∠B=∠F,
    ∵BE=CF,
    ∴BC=EF,
    在△ABC和△DFE中,

    ∴△ABC≌△DFE(SAS);
    (2)∵△ABC≌△DFE,
    ∴AC=DE,∠ACB=∠DEF,
    在△ACO和△DEO中,

    ∴△ACO≌△DEO(AAS),
    ∴EO=CO,
    ∴点O为BF的中点.
    【变式2-3】.如图,△AOB和△COD均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,D在AB上.
    (1)求证:△AOC≌△BOD;
    (2)若AD=1,∠ADC=60°,求CD的长.
    (1)证明:∵△AOB和△COD均为等腰直角三角形,
    ∴∠AOB=∠COD=90°,OA=OB,OC=OD,
    ∴∠BOD+∠AOD=90°,∠AOC+∠AOD=90°,
    ∴∠BOD=∠AOC,
    在△AOC和△BOD中,

    ∴△AOC≌△BOD(SAS);
    (2)解:∵△AOC≌△BOD,
    ∴∠CAO=∠DBO=45°,
    又∠BAO=45°,
    ∴∠CAD=90°,
    ∵AD=1,∠ADC=60°,∴CD=2AD=2.
    模型三、对称全等模型
    【例3】.如图,AD∥BC,∠D=90°,∠CPB=30°,∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P,且D,P,C在同一条直线上.
    (1)求∠PAD的度数;
    (2)求证:P是线段CD的中点.

    (1)解:∵AD∥BC,
    ∴∠C=180°﹣∠D=180°﹣90°=90°,
    ∵∠CPB=30°,
    ∴∠PBC=90°﹣∠B=60°,
    ∵PB平分∠ABC,
    ∴∠ABC=2∠PBC=120°,
    ∵AD∥BC,
    ∴∠DAB+∠ABC=180°,
    ∴∠DAB=180°﹣120°=60°,
    ∵AP平分∠DAB,
    ∴∠PAD=∠DAB=30°;
    (2)证明:过P点作PE⊥AB于E点,如图,
    ∵AP平分∠DAB,PD⊥AD,PE⊥AB,
    ∴PE=PD,
    ∵BP平分∠ABC,PC⊥BC,PE⊥AB,
    ∴PE=PC,
    ∴PD=PC,
    ∴P是线段CD的中点.
    变式训练
    【变式3-1】.如图,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,AM⊥CD于M,AN⊥BE干N.
    求证:AM=AN.
    解:∵AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,
    ∴AD=BD=AE=EC,∠B=∠C,
    在△DBC和△EBC中
    ∴△DBC≌△EBC,
    ∴∠BDC=∠BDE,
    ∵∠BDC=∠ADM,∠BEC=∠AEN,
    ∴∠ADM=∠AEN,
    在△AMD和△ANE中

    ∴△AMD≌△ANE
    ∴AM=AN.
    【变式3-2】.如图,已知点E、F分别是正方形ABCD中边AB、BC上的点,且AB=12,AE=6,将正方形分别沿DE、DF向内折叠,此时DA与DC重合为DG,求CF的长度.
    解:设CF=x,则FG=x,FB=12﹣x,
    ∵AB=12,AE=6,
    ∴BE=6,EG=6,
    ∴EF=6+x,
    在Rt△BEF中,
    BE2+BF2=EF2,
    62+(12﹣x)2=(x+6)2,
    x=4, 即CF的长为4.
    【变式3-3】.如图,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,将直角三角板的顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA、OB相交于点C、D,问PC与PD相等吗?试说明理由.

    解:PC与PD相等.理由如下:
    过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F.
    ∵OM平分∠AOB,点P在OM上,PE⊥OA,PF⊥OB,
    ∴PE=PF(角平分线上的点到角两边的距离相等)
    又∵∠AOB=90°,∠PEO=∠PFO=90°,
    ∴四边形OEPF为矩形,
    ∴∠EPF=90°,
    ∴∠EPC+∠CPF=90°,
    又∵∠CPD=90°,
    ∴∠CPF+∠FPD=90°,
    ∴∠EPC=∠FPD=90°﹣∠CPF.
    在△PCE与△PDF中,
    ∵,
    ∴△PCE≌△PDF(ASA), ∴PC=PD.
    模型四、旋转全等模型
    【例4】.如图,已知:AD=AB,AE=AC,AD⊥AB,AE⊥AC.猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系,并证明你的猜想.
    解:猜想:CD=BE,CD⊥BE,
    理由如下:∵AD⊥AB,AE⊥AC,
    ∴∠DAB=∠EAC=90°.
    ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,即∠CAD=∠EAB,
    在△ACD和△AEB中,

    ∴△ACD≌△AEB(SAS),
    ∴CD=BE,∠ADC=∠ABE,
    ∵∠AGD=∠FGB,
    ∴∠BFD=∠BAD=90°,即CD⊥BE.
    变式训练
    【变式4-1】.已知△ABC和△ADE均为等腰三角形,且∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE.
    (1)如图1,点E在BC上,求证:BC=BD+BE;
    (2)如图2,点E在CB的延长线上,求证:BC=BD﹣BE.
    (1)证明:∵∠BAC=∠DAE,
    ∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE,
    即∠DAB=∠EAC,
    又∵AB=AC,AD=AE,
    ∴△DAB≌△EAC(SAS),
    ∴BD=CE,
    ∴BC=BE+CE=BD+BE;
    (2)证明:∵∠BAC=∠DAE,
    ∴∠BAC+∠EAB=∠DAE+∠EAB,
    即∠DAB=∠EAC,
    又∵AB=AC,AD=AE,
    ∴△DAB≌△EAC(SAS),
    ∴BD=CE,
    ∴BC=CE﹣BE=BD﹣BE.
    【变式4-2】.如图所示,已知P是正方形ABCD外一点,且PA=3,PB=4,则PC的最大值是 3+4 .

    解:如图,过点B作BE⊥BP,且BE=PB,连接AE、PE、PC,
    则PE=PB=4,
    ∵∠ABE=∠ABP+90°,∠CBP=∠ABP+90°,
    ∴∠ABE=∠CBP,
    在△ABE和△CBP中,

    ∴△ABE≌△CBP(SAS),
    ∴AE=PC,
    由两点之间线段最短可知,点A、P、E三点共线时AE最大,
    此时AE=AP+PE=3+4,
    所以,PC的最大值是3+4. 故答案为:3+4.
    模型五、手拉手全等模型
    【例5】.如图,△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形,且AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠CAB=90°,且线段BD、CE交于F.
    (1)求证:△AEC≌△ADB.
    (2)猜想CE与DB之间的关系,并说明理由.
    (1)证明:∵∠BAC=∠DAE,
    ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
    ∴∠BAD=∠CAE,
    在△BAD与△CAE中,

    ∴△BAD≌△CAE(SAS);
    (2)解:CE=DB,CE⊥DB.
    理由:由(1)知,△BAD≌△CAE,
    ∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,
    ∵∠BAC=90°,
    ∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB=90°,∴∠BFC=90°,∴CE⊥BD.
    变式训练
    【变式5-1】.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:①AD=BE;②AP=BQ;③DE=DP;④∠AOB=60°.恒成立的结论有几个( )
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    解:①∵正△ABC和正△CDE,
    ∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
    ∵∠ACD=∠ACB+∠BCD,∠BCE=∠DCE+∠BCD,
    ∴∠ACD=∠BCE,
    ∴△ADC≌△BEC(SAS),
    ∴AD=BE,∠DAC=∠EBC,(故①正确);
    ②又∵AC=BC,∠ACP=∠BCQ=60°,∠DAC=∠EBC,
    ∴△CDP≌△CEQ(ASA).
    ∴AP=BQ,(故②正确);
    ③∵△ACP≌△BCQ,
    ∴AP=QB,
    ∵△ADC≌△BEC
    ∴AD=BE,
    ∴AD﹣AP=BE﹣QB,
    ∴DP=EQ,
    ∵DE>QE,且DP=QE,
    ∴DE>DP,(故③错误);
    ④∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°,(故④正确).
    ∴正确的有:①②④.故选:C.
    【变式5-2】.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.
    (1)求证:△ABC≌△ADE;
    (2)求∠FAE的度数;
    (3)求证:CD=2BF+DE.
    证明:(1)∵∠BAD=∠CAE=90°,
    ∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,
    ∴∠BAC=∠DAE,
    在△BAC和△DAE中,

    ∴△BAC≌△DAE(SAS);
    (2)∵∠CAE=90°,AC=AE,
    ∴∠E=45°,
    由(1)知△BAC≌△DAE,
    ∴∠BCA=∠E=45°,
    ∵AF⊥BC,
    ∴∠CFA=90°,
    ∴∠CAF=45°,
    ∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°;
    (3)延长BF到G,使得FG=FB,
    ∵AF⊥BG,
    ∴∠AFG=∠AFB=90°,
    在△AFB和△AFG中,

    ∴△AFB≌△AFG(SAS),
    ∴AB=AG,∠ABF=∠G,
    ∵△BAC≌△DAE,
    ∴AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,
    ∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,
    ∴∠G=∠CDA,
    ∵∠GCA=∠DCA=45°,
    在△CGA和△CDA中,

    ∴△CGA≌△CDA(AAS),
    ∴CG=CD,
    ∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,
    ∴CD=2BF+DE.
    【变式5-3】.(1)如图1,等腰△ABC与等腰△DEC有公共点C,且∠BCA=∠ECD,连接BE、AD,若BC=AC,EC=DC,求证:BE=AD.
    (2)若将△DEC绕点C旋转至图2、图3、图4情形时,其余条件不变,BE与AD还相等吗?为什么?
    证明:(1)∵∠BCA=∠ECD,
    ∴∠BCA﹣∠ECA=∠ECD﹣∠ECA,
    ∴∠BCE=∠ACD,
    在△BCE和△ACD中,

    ∴△BCE≌△ACD(SAS),
    ∴BE=AD.
    解:(2)图2、图3、图4中,BE和AD还相等,
    理由是:如图图2、图3、图4,∵∠BCA=∠ECD,∠ACD+∠BCA=180°,∠ECD+∠BCE=180°,
    ∴∠BCE=∠ACD,
    在△BCE和△ACD中,

    ∴△BCE≌△ACD(SAS),
    ∴BE=AD.

    实战演练
    1.如图,已知,,且,,,则的度数为( )
    A.B.C.D.
    在△ABC和△ADE中 ∴ △ABC≌△ADE(SAS)∴∠BAC=∠DAE
    ∵∠EAB=∠BAC+∠DAE+∠CAD=120°∴∠BAC=∠DAE
    ∴∠BAF=∠BAC+∠CAD=65°∴在△AFB中,∠AFB=180°-∠B-∠BAF=90°∴∠GFD=90°
    在△FGD中,∠EGF=∠D+∠GFD=115°故选:C
    2.如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=36°.连接AC,BD交于点M,连接OM.下列结论:
    ①∠AMB=36°,②AC=BD,③OM平分∠AOD,④MO平分∠AMD.其中正确的结论个数有( )个.
    A.4B.3C.2D.1
    解:∵∠AOB=∠COD=36°,
    ∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,
    即∠AOC=∠BOD,
    在△AOC和△BOD中,
    ∴△AOC≌△BOD(SAS),
    ∴∠OCA=∠ODB,AC=BD,故②正确;
    ∵∠OAC=∠OBD,
    由三角形的外角性质得:
    ∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB,
    ∴∠AMB=∠AOB=36°,故①正确;
    法一:作OG⊥AM于G,OH⊥DM于H,如图所示,
    则∠OGA=∠OHB=90°,
    ∵△AOC≌△BOD,
    ∴OG=OH,
    ∴MO平分∠AMD,故④正确;
    法二:∵△AOC≌△BOD,
    ∴∠OAC=∠OBD,
    ∴A、B、M、O四点共圆,
    ∴∠AMO=∠ABO=72°,
    同理可得:D、C、M、O四点共圆,
    ∴∠DMO=∠DCO=72°=∠AMO,
    ∴MO平分∠AMD,
    故④正确;
    假设MO平分∠AOD,则∠DOM=∠AOM,
    在△AMO与△DMO中,

    ∴△AMO≌△DMO(ASA),
    ∴AO=OD,
    ∵OC=OD,
    ∴OA=OC,
    而OA<OC,故③错误;
    正确的个数有3个;故选:B.
    3.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,且AB=AC,P是△ABC内一点,若AP+BP+CP的最小值为4,则BC2= 32﹣16 .
    解:如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG.连接PG,CM,
    则AB=AC=AM,MG=PB,AG=AP,∠GAP=60°,
    ∴△GAP是等边三角形,
    ∴PA=PG,
    ∴PA+PB+PC=CP+PG+GM,
    ∴当M,G,P,C共线时,PA+PB+PC的值最小,最小值为线段CM的长,
    ∵AP+BP+CP的最小值为4,
    ∴CM=4,
    ∵∠BAM=60°,∠BAC=30°,
    ∴∠MAC=90°,
    ∴AM=AC=4,
    作BN⊥AC于N.则BN=AB=2,AN=2,CN=4﹣2,
    ∴BC2=BN2+CN2=22+(4﹣2)2=32﹣16,
    故答案为:32﹣16.
    4.正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,CE=2DE,将△ADE沿AE折叠至△AFE,延长EF交BC于点G,连接AG,CF.下列结论:①△ABG≌△AFG; ②S△FGC=6;③EG=DE+BG;④BG=GC.其中正确的有 ①③④ (填序号).
    解:∵正方形ABCD的边长为6,CE=2DE,
    ∴DE=2,EC=4,
    ∵将△ADE沿AE折叠至△AFE,
    ∴AF=AD=6,EF=ED=2,∠AFE=∠D=90°,∠FAE=∠DAE,
    在Rt△ABG和Rt△AFG中,AB=AF,AG=AG,
    ∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),
    ∴①正确;
    ∴GB=GF,∠BAG=∠FAG,
    设BG=x,则:
    GF=x,CG=BC﹣BG=6﹣x,
    在Rt△CGE中,
    GE=x+2,EC=4,CG=6﹣x,
    ∵CG2+CE2=GE2,
    ∴(6﹣x)2+42=(x+2)2,
    解得:x=3,
    ∴BG=GF=3,CG=6﹣3=3,
    ∴BG=CG,
    ∴④正确;
    ∵EF=ED,GB=GF,
    ∴GE=GF+EF=BG+DE,
    ∴③正确;
    ∵S△GCE=GC•CE=×3×4=6,
    ∵GF=3,EF=ED=2,△GFC和△FCE等高,
    ∴S△GFC:S△FCE=3:2,
    ∴S△GFC=×6=≠3,
    ∴②不正确, 故答案为:①③④.
    5.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿对角线AC折叠,点D落在D′处.
    (1)求证:AF=CF
    (2)求AF的长度.
    (1)证明:依题意可知,矩形沿对角线AC对折后有:
    ∠D′=∠B=90°,∠AFD′=∠CFB,BC=AD′,
    ∴△AD′F≌△CBF(AAS),
    ∴CF=AF;
    (2)解:设AF=CF=x,
    ∴BF=8﹣x,
    在Rt△BCF中有BC2+BF2=FC2,
    即42+(8﹣x)2=x2,
    解得x=5,
    ∴AF的长度为5.
    6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,延长AB至点D,使DB=AB,连接CD,以CD为直角边作等腰三角形CDE,其中∠DCE=90°,连接BE.
    (1)求证:△ACD≌△BCE;
    (2)若AB=3cm,则BE= 6 cm.
    (3)BE与AD有何位置关系?请说明理由.

    (1)证明:∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,
    ∴CD=CE,CA=CB,
    ∵∠ACB=90°,∠DCE=90°,
    ∴∠ECD+∠DCB=∠DCB+∠ACB,即∠ECB=∠ACD,
    在△ACD和△BCE中,

    ∴△ACD≌△BCE(SAS);
    (2)解:∵△ACD≌△BCE,
    ∴AD=BE,
    ∵DB=AB=3cm,
    ∴BE=2×3cm=6cm;
    (3)解:BE与AD垂直.理由如下:
    ∵△ACD≌△BCE,
    ∴∠1=∠2,而∠3=∠4,∴∠EBD=∠ECD=90°,∴BE⊥AD.
    7.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是AB的中点,连接CD,过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E,连接AE,过A作AF⊥AE交CD于点F.
    (1)求证:AE=AF;
    (2)求证:CD=2BE+DE.
    证明:(1)如图,∵∠BAC=90°,AF⊥AE,
    ∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°,
    ∴∠EAB=∠FAC,
    ∵BE⊥CD,
    ∴∠BEC=90°,
    ∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°,
    ∵∠EDB=∠ADC,
    ∴∠EBA=∠ACF,
    ∴在△AEB与△AFC中,,
    ∴△AEB≌△AFC(ASA),
    ∴AE=AF;
    (2)如图,过点A作AG⊥EC,垂足为G.
    ∵AG⊥EC,BE⊥CE,
    ∴∠BED=∠AGD=90°,
    ∵点D是AB的中点,
    ∴BD=AD.
    ∴在△BED与△AGD中,,
    ∴△BED≌△AGD(AAS),
    ∴ED=GD,BE=AG,
    ∵AE=AF
    ∴∠AEF=∠AFE=45°
    ∴∠FAG=45°
    ∴∠GAF=∠GFA,
    ∴GA=GF,
    ∴CF=BE=AG=GF,
    ∵CD=DG+GF+FC,
    ∴CD=DE+BE+BE,
    ∴CD=2BE+DE.
    8.如图:在等腰直角三角形中,AB=AC,点D是斜边BC上的中点,点E、F分别为AB,AC上的点,且DE⊥DF.
    (1)若设BE=a,CF=b,满足+|b﹣5|=+,求BE及CF的长.
    (2)求证:BE2+CF2=EF2.
    (3)在(1)的条件下,求△DEF的面积.
    (1)解:由题意得,
    解得m=2,
    则+|b﹣5|=0,
    所以a﹣12=0,b﹣5=0,
    a=12,b=5,
    即BE=12,CF=5;
    (2)证明:延长ED到P,使DP=DE,连接FP,CP,
    在△BED和△CPD中,

    ∴△BED≌△CPD(SAS),
    ∴BE=CP,∠B=∠DCP,
    在△EDF和△PDF中,

    ∴△EDF≌△PDF(SAS),
    ∴EF=FP,
    ∵∠B=∠DCP,∠A=90°,
    ∴∠B+∠ACB=90°,
    ∴∠ACB+∠DCP=90°,即∠FCP=90°,
    在Rt△FCP中,根据勾股定理得:CF2+CP2=PF2,
    ∵BE=CP,PF=EF,
    ∴BE2+CF2=EF2;
    (3)解:连接AD,
    ∵△ABC为等腰直角三角形,D为BC的中点,
    ∴∠BAD=∠FCD=45°,AD=BD=CD,AD⊥BC,
    ∵ED⊥FD,
    ∴∠EDA+∠ADF=90°,∠ADF+∠FDC=90°,
    ∴∠EDA=∠FDC,
    在△AED和△CFD中,

    ∴△AED≌△CFD(ASA),
    ∴AE=CF=5,DE=DF,即△EDF为等腰直角三角形,
    ∴AB=AE+EB=5+12=17,
    ∴AF=AC﹣FC=AB﹣CF=17﹣5=12,
    在Rt△EAF中,根据勾股定理得:EF==13,
    设DE=DF=x,
    根据勾股定理得:x2+x2=132,
    解得:x=,即DE=DF=,
    则S△DEF=DE•DF=××=.
    9.如图1,点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合),分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE,CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE=30°,连接AE交CD于点M,连接BD交CE于点N,AE与BD交于点P,连接CP.
    (1)线段AE与DB的数量关系为 AE=BD ;请直接写出∠APD= 30° ;
    (2)将△BCE绕点C旋转到如图2所示的位置,其他条件不变,探究线段AE与DB的数量关系,并说明理由;求出此时∠APD的度数;
    (3)在(2)的条件下求证:∠APC=∠BPC.
    (1)解:如图1中,
    ∵∠ACD=∠BCE,
    ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
    ∴∠ACE=∠DCB,
    又∵CA=CD,CE=CB,
    ∴△ACE≌△DCB.
    ∴AE=BD,∴∠CAE=∠CDB,
    ∵∠AMC=∠DMP,
    ∴∠APD=∠ACD=30°,
    故答案为AE=BD,30°
    (2)解:如图2中,结论:AE=BD,∠APD=30°.
    理由:∵∠ACD=∠BCE,
    ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
    ∴∠ACE=∠DCB,
    又∵CA=CD,CE=CB,
    ∴△ACE≌△DCB.
    ∴AE=BD,∴∠CAE=∠CDB,∵∠AMP=∠DMC,∴∠APD=∠ACD=30°.
    (3)证明:如图2﹣1中,分别过C作CH⊥AE,垂足为H,过点C作CG⊥BD,垂足为G,
    ∵△ACE≌△DCB.
    ∴AE=BD,
    ∵S△ACE=S△DCB(全等三角形的面积相等),
    ∴CH=CG,
    ∴∠DPC=∠EPC(角平分线的性质定理的逆定理),
    ∵∠APD=∠BPE,∠APC=∠DPC+∠APD,∠BPC=∠EPC+∠BPE,
    ∴∠APC=∠BPC.
    10.阅读与理解:
    折纸,常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如,在△ABC中,AB>AC(如图),怎样证明∠C>∠B呢?
    分析:把AC沿∠A的角平分线AD翻折,因为AB>AC,所以点C落在AB上的点C'处,即AC=AC',据以上操作,易证明△ACD≌△AC'D,所以∠AC'D=∠C,又因为∠AC'D>∠B,所以∠C>∠B.
    感悟与应用:
    (1)如图(a),在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD平分∠ACB,试判断AC和AD、BC之间的数量关系,并说明理由;
    (2)如图(b),在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,AC=16,AD=8,DC=BC=12,
    ①求证:∠B+∠D=180°;
    ②求AB的长.
    解:(1)BC﹣AC=AD.
    理由如下:如图(a),在CB上截取CE=CA,连接DE,
    ∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠ECD,
    又CD=CD,
    ∴△ACD≌△ECD(SAS),
    ∴DE=DA,∠A=∠CED=60°,
    ∴∠CED=2∠CBA,
    ∵∠CED=∠CBA+∠BDE,
    ∴∠CBA=∠BDE,∴DE=BE,∴AD=BE,
    ∵BE=BC﹣CE=BC﹣AC,∴BC﹣AC=AD.
    (2)①如图(b),在AB上截取AM=AD,连接CM,
    ∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠MAC,
    ∵AC=AC,
    ∴△ADC≌△AMC(SAS),
    ∴∠D=∠AMC,CD=CM=12,
    ∵CD=BC=12,∴CM=CB,∴∠B=∠CMB,
    ∵∠CMB+∠CMA=180°,∴∠B+∠D=180°;
    ②设BN=a,
    过点C作CN⊥AB于点N,
    ∵CB=CM=12,
    ∴BN=MN=a,
    在Rt△BCN中,CN2=BC2﹣BN2=122﹣a2,
    在Rt△ACN中,CN2=AC2﹣AN2=162﹣(8+a)2,
    则122﹣a2=162﹣(8+a)2,
    解得:a=3,
    即BN=MN=3,则AB=14.
    11.如图甲,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=,PC=1,求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长.
    (1)李明同学作了如图乙的辅助线,将△BPC绕点B逆时针旋转60°,如图乙所示,连接PP',可说明△APP'是直角三角形从而问题得到解决.请你说明其中理由并完成问题解答.
    (2)如图丙,在正方形ABCD内有一点P,且AP=,BP=,PC=1:类比第一小题的方法求∠BPC的度数,并直接写出正方形ABCD的面积.
    解:(1)∵△ABC是等边三角形,
    ∴∠ABC=60°,
    将△BPC绕点B逆时针旋转60°,如图乙所示,连接PP′,
    ∴AP′=CP=1,BP′=BP=,∠AP′B=∠BPC,
    由旋转得:∠P'BP=∠ABC=60°,
    ∴△BPP′是等边三角形,
    ∴PP′=PB=,∠BP′P=60°,
    ∵AP′=1,AP=2,
    ∴AP′2+PP′2=AP2,
    ∴∠AP′P=90°,
    ∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°,
    过点B作BM⊥AP′,交AP′的延长线于点M,
    ∴∠MP′B=30°,BM=P'B=,
    由勾股定理得:P′M=,
    AM=AP'+P'M=1+,
    由勾股定理得:AB=;
    (2)将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB,如图丙,
    与(1)类似:可得:AE=PC=1,BE=BP=,∠BPC=∠AEB,
    ∴∠EBP=∠ABC=90°,
    ∴∠BEP=45°,
    由勾股定理得:EP=2,
    ∵AE=1,AP=,EP=2,
    ∴AE2+PE2=AP2,
    ∴∠AEP=90°,
    ∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°,
    过点B作BF⊥AE,交AE的延长线于点F;
    ∴∠FEB=45°,
    ∴FE=BF=1,
    ∴AF=2;
    ∴在Rt△ABF中,由勾股定理,得AB=,
    ∴正方形ABCD的面积为5.
    答:∠BPC的度数是135°,正方形ABCD的面积为5.

    12.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB,点D为射线BC上任意一点,在射线CM上截取CE=BD,连接AD、DE、AE.
    (1)如图1,当点D落在线段BC的延长线上时,∠ADE的度数为 30° .
    (2)如图2,当点D落在线段BC(不含边界)上时,AC与DE交于点F,请问(1)中的结论是否仍成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;
    (3)在(2)的条件下,若AB=12,求CF的最大值.
    解:(1)如图1中,设AD交EC于点O,
    ∵AB=AC,∠BAC=120°,
    ∴∠B=∠ACB=30°,
    ∵BA=CA,∠ACE=∠ACB=∠B,BD=CE,
    ∴△ABD≌△ACE(SAS),
    ∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,
    ∴∠DAE=∠BAC=120°,
    ∴∠ADE=∠AED=(180°﹣120°)=30°,故答案为30°.
    (2)(1)中的结论还成立.
    理由:如图2中,
    ∵∠BAC=120°,AB=AC,
    ∴∠B=∠ACB=30°,
    又∵∠ACM=∠ACB,
    ∴∠B=∠ACM=30°,
    又∵CE=BD,
    ∴△ABD≌△ACE(SAS),
    ∴AD=AE,∠1=∠2,
    ∴∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=120°,即∠DAE=120°,
    又∵AD=AE,
    ∴∠ADE=∠AED=30°.
    (3)∵AB=AC,AB=12,
    ∴AC=12,
    ∵∠ADE=∠ACB=30°且∠DAF=∠CAD,
    ∴△ADF∽△ACD,
    ∴,
    ∴AD2=AF•AC,
    ∴AD2=12AF,
    ∴,
    ∴当AD最短时,AF最短、CF最长,
    易得当AD⊥BC时,AF最短、CF最长,
    此时.,
    ∴CF=AC﹣AF=12﹣3=9, ∴CF的最大值为9

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