第一章：集合与常用逻辑用语（单元测试）（解析版）

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第一章：集合与常用逻辑用语（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________ 班级_________ 考号_______________________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，.故选：C.2．（23-24高一上·广东潮州·期中）命题“”的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】“”的否定为“”.故选：A3．（22-23高一上·湖南邵阳·期中）下列关系中正确的个数是（    ）①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对①：为有理数，则成立，①正确；对②：为实数，则不成立，②错误；对③：为自然数，成立，③正确；对④：是无理数，不是整数，则不成立，④错误；故正确的有2个.故选：B.4．（23-24高一上·贵州贵阳·月考）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ）A．所有的素数都是奇数 B．有些平行四边形是菱形C．有一个实数，使 D．，【答案】D【解析】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，例如2是素数，但2是偶数，所以A错误；对于B，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意；对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意；对于D，易知“，”是全称量词命题，且由可得，所以是真命题，即D正确；故选：D5．（23-24高一上·吉林通化·月考）已知，则集合M的子集的个数是（    ）A．8 B．64 C．32 D． 16【答案】D【解析】因为，所以，又，所以，所以集合，所以集合的子集个数为个．故选：D．6．（23-24高一上·重庆·月考）“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】或，，故“”是“”的必要不充分条件．故选：B.7．（23-24高一下·海南·期末）已知集合，若，则的值可以为（    ）A．1 B．0 C．0或1 D．1或2【答案】A【解析】对于集合，由元素的互异性知且，则．由得．若，则，满足；若，则，矛盾，舍去．故选：A8．（23-24高一上·山东青岛·月考）已知命题：“，使”是假命题，则命题成立的必要不充分条件是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵“，使”是假命题，即“，”是真命题，即方程没有实数根，∴∴，即命题：“，使”是假命题等价于，设有集合，命题：，命题的必要不充分条件为命题：，则命题，而不能，∴集合是集合的真子集，选项B中集合满足要求，∴选项B正确.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）图中阴影部分用集合表示正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由图可得图中阴影部分表示为，又，，，故符合题意的有A、B、C.故选：ABC10．（23-24高一上·河北衡水·期中）的一个充分条件是（    ）A． B． C． D．【答案】BD【解析】对于A：当时，满足，此时，所以不是的充分条件；对于B：，则，所以，所以是的充分条件；对于C：当时，满足，此时，所以不是的充分条件；对于D：，则，所以，即，所以是的充分条件，故选：BD11．（23-24高一上·河南开封·期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（    ）A．-2 B． C．0 D．1【答案】BCD【解析】当时，，当时，，对选项A：若，，此时，不满足；对选项B：若，，此时，满足；对选项C：若，，此时，满足；对选项D：若，，此时，满足；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（23-24高一上·福建泉州·期中）“锐角三角形等边三角形”的否定是 ．【答案】锐角三角形，等边三角形【解析】命题“锐角三角形等边三角形”为存在量词命题，其否定为： 锐角三角形，等边三角形.故答案为：锐角三角形，等边三角形13．（23-24高一上·四川成都·期中）树德中学对高一强基班的学科培优进行了调查．调查结果显示：参加物理培优的有60人，参加数学培优的有80人，参加化学培优的有50人，三科培优都参加的有24人，只选择两科培优参加的有22人，不参加其中任何一科培优的有15人，则接受调查的高一强基班学生共有 人．【答案】135【解析】由文恩图可得；参加培优的人数为，又不参加其中任何一科培优的有15人，所以接受调查的高一强基班学生共有.故答案为：.14．（23-24高一下·北京·期末）已知集合、．若，则 ．【答案】【解析】由，解得，或，或，或，当时，、，满足，则；当时，，构不成集合，舍去；当时，，构不成集合，舍去；当时，、，满足，则；由，解得，或，或，或，当时，，构不成集合，舍去； 当时， ，构不成集合，舍去；当时， 、，满足，则；当时，、，满足，则，综上，，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（23-24高一上·四川资阳·月考）设集合，，，求：(1)；(2).【答案】(1)；(2)【解析】（1）由已知，，可得.（2）由题意，得或，所以.16．（23-24高一上·广东深圳·期中改编）已知，是实数，求证：成立的充要条件是.【答案】证明见解析【解析】先证充分性：若，则成立，充分性成立； 再证必要性：若，则，即，，即，又，，即成立，必要性成立；综上：成立的充要条件是．17．（23-24高一上·广东公关·月考）已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根.(1)若命题为真，求实数的取值范围；(2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】（1）若方程有两个不等的负根，则，解得；因为命题为真，所以实数的取值范围为.（2）若方程无实根，则，解得.若真假时，，解得；若假真时，，解得.综上，得.18．（23-24高一上·河南周口·月考）已知集合（1）若，求实数的取值范围；（2）若A中至多有一个元素，求实数的值，并写出相应的集合；（3）若A中至少有两个元素，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）实数的取值为；当时，；当时，；当时，；（3）【解析】（1）若A是空集，则方程无解，此时 且，即，所以的取值范围为；（2）若A中至多有一个元素，则方程有且只有一个实根或者无解，若方程有且只有一个实根，则当时，方程为一元一次方程，满足条件，当时，此时，解得：，若方程无解，由（1）可知，综上可知：若A中至多有一个元素，则实数的取值为；当时，；当时，；当时，；（3）若A中至少有两个元素，则有两个不等的实数根，此时 且，解得且，所以a的取值范围是.19．（23-24高一上·安徽铜陵·月考）已知n元有限集（，），若，则称集合A为“n元和谐集”.(1)写出一个“二元和谐集”（无需写计算过程）；(2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2；(3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由.【答案】(1)；(2)证明过程见解析；(3)存在1个，，理由见解析【解析】（1）不妨令，此时，满足要求；（2）法一：假设命题不成立，即元素，均小于等于2，因为，故可设，，两边同时除以得，，因为，所以，与矛盾，不合要求，故假设不成立，元素，中至少有一个大于2；法二；集合是“二元和谐集”，设，则可以看成一元二次方程的两正根，则，解得：（舍）或，即，所以至少有一个大于2.（3）设正整数集为“三元和谐集”，则，不妨设，则，解得，因为，故只有满足要求，综上，满足要求，其他均不合要求，存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即.