第一章：集合与常用逻辑用语章末重点题型复习（章末单元练习）（解析版）

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第一章：集合与常用逻辑用语章末重点题型复习题型一 元素与集合的关系判断1．（23-24高一上·河北唐山·月考）给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】是实数，故①正确；是无理数，故②错误；是整数，故③错误；是自然数，故④正确；是有理数，故⑤错误，即正确的个数为2个，故选：B.2．（23-24高一上·湖南怀化·月考）设集合，则下列结论正确的是（    ）A．且 B．且 C．且 D．且【答案】C【解析】集合，则且.故选：C.3．（23-24高一上·江西·月考）若集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，令，解得，又，则，化简得.故选：B.4．（23-24高一上·江西·月考）（多选）已知集合，，，且，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因为，可设，，，选项A，，则，故A正确；所以，则，故B正确；所以，其中，则，故C错误；所以，其中，则，故D正确.故选：ABD.题型二 根据元素与集合的关系求参数1．（23-24高一上·广东惠州·月考）若，且，则的取值范围为 .【答案】【解析】由于，所以，解得，故答案为：2．（23-24高一上·湖南长沙·月考）（多选）设集合，且，则x的值可以为（    ）A．3 B． C．5 D．【答案】BC【解析】∵，则有：若，则，此时，不符合题意，故舍去；若，则或，当时，，符合题意；当时，，符合题意；综上所述：或.故选：BC.3．（23-24高一上·黑龙江大庆·开学考试）（多选）已知集合A中有个元素，，，且当时，，则可能为（    ）A．2 B．4 C．6 D．或或【答案】AB【解析】对于A，当时，，满足题意，A正确；对于B，当时，，满足题意，B正确；对于C，当时，，不合题意，C错误；对于D，由ABC知：或，D错误.故选：AB.4．（23-24高一上·江苏南京·月考）（多选）设非空集合满足:当时,有,下列命题中,正确的有（    ）A．若,则 B．的取值范围为C．若,则 D．【答案】ACD【解析】对于A,当时,,此时.若,则,满足题意;若,则,综上，若，则，故A正确；对于B，因为,则,所以,解得或,故B错误;对于C,若,,此时,则,解得，综上,故C正确;对于D,因为,则,所以，所以,故D正确.故选:ACD.题型三 子集与真子集的个数1．（23-24高一上·云南曲靖·月考）集合的真子集个数为（    ）A．4 B．7 C．8 D．16【答案】B【解析】因为，所以该集合的真子集的个数为.故选：B2．（23-24高一上·内蒙古赤峰·月考）已知集合满足，则所有满足条件的集合的个数是（    ）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】D【解析】由已知可得，1和2一定是集合的元素，所以只需要考虑剩余元素3，4，5，6的情况即可.又集合的子集个数为，所以所有满足条件的集合的个数是16.故选：D.3．（23-24高一上·四川宜宾·月考）已知集合，则的真子集的个数为（    ）A．4 B．8 C．15 D．16【答案】C【解析】由题，，当时，或或或，所以，则集合真子集的个数为个，故选：4．（23-24高一上·福建泉州·月考）已知集合.(1)写出集合M的子集、真子集;(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数;(3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?【答案】(1)；；(2)8个子集，7个真子集，6个非空真子集；(3)个子集，个真子集，个非空真子集.【解析】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为；（2）由题意可知，所以其子集为：，共个，真子集为：，共个，非空真子集为：，共个；（3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个，非空真子集个数为个.题型四 判断两个集合间的包含关系1．（23-24高一上·山东青岛·月考）下列说法正确的是（    ）．A． B． C． D．【答案】C【解析】表示有理数集，表示自然数集，表示整数集，表示实数集；故：.故选：C2．（23-24高一上·广东·月考）下列四个写法：①；②；③；④.其中正确写法的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】对于①，，故①错误；对于②，，故②正确；对于③，，故③错误；对于④，为数集，为点集，故④错误，所以正确写法的个数为1个.故选：A3．（23-24高一上·新疆·期中）已知集合，，那么（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【解析】当时，，显然，A正确，C错误；由，得，而，因此或，BD错误.故选：A4．（23-24高一上·广东茂名·期中）集合 之间的关系是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵集合∴，，∴，故选：A题型五 根据集合包含关系求参数1．（23-24高一上·广东东莞·月考）已知真包含于，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由解得，或，所以，当时，方程无解，则 ，满足题意；当时，由解得，，所以或3，解得或，综上，实数的取值范围是，故选:D.2．（23-24高一上·江苏连云港·月考）若集合，，，则实数 .【答案】【解析】∵集合，，，当时，，元素之间不满足互异性，舍去；当时，，符合题意；当时，或，集合或集合元素之间不满足互异性，舍去；综上所述，.故答案为：.3．（23-24高一上·河南郑州·月考）设集合，若，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】由题意，，所以，又因为，所以，从而，所以实数的取值范围为.故答案为：.4．（23-24高一上·山东聊城·月考）已知集合，，若，求实数的取值范围．【答案】【解析】由，当时，，解得；当时，，解得，综上所述.题型六 集合相等及应用1．（22-23高一上·贵州铜仁·月考）下列各组集合中，表示同一集合的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】选项A表示点的集合，与不同，故A选项不正确，集合中元素具有无序性，所以集合与集合相等，故B选项正确，选项C中集合研究点集，集合研究单一的实数集，故不同，故C不正确，选项D中集合研究点集，集合研究单一的实数集，故不同，故D不正确，故选：B.2．（23-24高一上·广西南宁·期中）（多选）下列各组中表示相同集合的是（    ）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】对于A，集合M，P含有的元素相同，只是顺序不同，由于集合的元素具有无序性，因此它们是相同集合，A是；对于B，因为，则，因此集合M，P都表示所有偶数组成的集合，B是；对于C，，即，C是；对于D，因为集合M的元素是实数，集合P中元素是有序实数对，因此集合M，P是不同集合，D不是.故选：ABC3．（23-24高一上·山西太原·月考）设集合，，若，则（    ）A．1 B．0 C．-1 D．1或-1【答案】A【解析】由题意，当时，，此时不满足集合中元素互异性；当时，且，则，此时满足条件.故.故选：A4．（23-24高一上·贵州遵义·月考）已知，，若集合，则的值为（    ）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】根据题意,,故，则,则，由集合的互异性知且， 故，则， 即或（舍），当时，，符合题意，所以.故选：B.题型七 集合的交并补运算1．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，得．故选：C．2．（23-24高一上·重庆·期中）已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】集合为点集，且为直线上的点构成的集合，为集合上的点构成的集合，所以为两条直线的交点构成的集合，解方程，解得，所以，故选：A3．（23-24高一上·浙江·期中）已知集合，，则（    ）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】由可得或，所以，故选：B4．（23-24高三上·江苏南通·期中）设全集，集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意知，，又，所以.故选：B.题型八 根据交并补运算求参数1．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，若，则的值是（    ）A．0 B．3 C． D．3，0【答案】D【解析】因为，所以，当时，此时，，符合题意；当时，解得或，当时，，符合题意；当时，与集合元素的互异性矛盾，不符合题意，综上：或，故选：D.2．（23-24高一上·江西九江·月考）已知集合，，且，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，得，解得.故.又因为，所以得.代入得，解得：，综上可得：.故选：C.3．（23-24高一上·天津红桥·月考）已知集合. 若，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，则，若，则，解得；若，则，解得；综上所述：实数a的取值范围为.故选：C.4．（23-24高一上·安徽滁州·月考）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，所以，因为，所以，故．故选：C．题型九 韦恩图在运算中的应用1．（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知全集，集合，则如图阴影部分表示的集合是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意或，图中阴影部分为，故选：C．2．（22-23高一上·吉林长春·月考）集合A，B，C是全集U的子集，且满足，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】若，如下图示，由图知：、、不成立，A、B、D排除；故选：C3．（23-24高一上·四川成都·期中）如图，为全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）  A． B．C． D．【答案】A【解析】由韦恩图知：阴影部分表示对应元素不属于，但属于，所以阴影部分所表示的集合是.故选：A4．（23-24高一上·上海·月考）如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由图可知阴影部分为集合的交集与的补集的交集，即，故C正确.故选：C题型十 集合的新定义及应用1．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知集合，，记.则下列等式成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得可能的取值有，即，均满足，故.对于A项，，故A项错误；对于B项，，故B项错误；对于C项，因，故，故C项正确；对于D项，依题有，,则，故D项错误.故选：C.2．（23-24高一上·江苏南京·开学考试）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【解析】对于①中，由，所以①正确；对于②中，由且，同理可得：,则，所以，所以表示的集合为图（1）中阴影部分所表示的集合，如图所示，同理，也表示图（1）中阴影部分所表示的集合，所以，所以②正确；对于③中，由，所以③正确；对于④中，如图（2）所示，可得，所以④错误.故选：B.  3．（23-24高一上·湖北宜昌·期中）用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则 （    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得，因为，所以或．当时，若要满足题意，则有一个实根，即，此时没有实根，所以符合题意；当时，若要满足题意，有两个不等实根，则有两个相等且异于上面两个根的实根，即且，所以，此时的三个根为，符合题意．综上，或，故．故选：B．4．（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题：①若为“完美集合”，则一定有；②“完美集合”一定是无限集；③集合为“完美集合”；④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”.其中真命题是（    ）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【解析】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对；对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错；对于③，集合，在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数，则，，，集合为“完美集合”，③对；对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错.故选：A.题型十一 充分必要条件的判断1．（23-24高一上·陕西西安·期末）“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由得，由可以推出，但不一定有，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.2．（23-24高一上·云南昆明·期末）“”是“”的（    ）A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件【答案】D【解析】当时,，所以是的充分条件；当时，得或，不一定，所以不是的必要条件．综上：是的充分不必要条件．故选：D．3．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知实数x，y，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当,取,可得,充分条件不成立;,必要条件成立;故选：B.4．（23-24高一上·河南·月考）巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”，若小迪是一只鸟，则“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的（    ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】会游泳的鸟有很多种，巴布亚企鹅是其中的一种，则“小迪是巴布亚企鹅”可以推出“小迪会游泳”，但“小迪会游泳”并不能推出“小迪是巴布亚企鹅”.所以“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的充分不必要条件.故选：B题型十二 根据充分必要条件求参数1．（23-24高一上·山东菏泽·期中）若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ．【答案】【解析】由题设，即，故答案为：2．（23-24高一上·上海·月考）已知且的充分不必要条件是，则的取值范围是 .【答案】【解析】由题意知当时,当时，则的取值范围是故答案为：3．（23-24高一上·江苏淮安·开学考试）“”是“”的必要不充分条件，若，则m取值可以是 ．【答案】2（答案不唯一，满足且均可）【解析】因为“”是“”的必要不充分条件，则，又，所以且，故可取，故答案为：2（答案不唯一，满足且均可）.4．（23-24高一上·辽宁·月考）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是 .【答案】.【解析】由题设得或，设{或}，同理可得，设，因为是的充分不必要条件，所以，因此.故答案为：.题型十三 全称(存在)量词命题的否定1．（23-24高一上·山东济南·月考）命题“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】命题“，”的否定是“，”，C正确.故选：C2．（23-24高一上·新疆·月考）命题“，”的否定为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为，.故选：B3．（23-24高一下·云南红河·开学考试）命题“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】命题“，”的否定为，.故选：C.4．（23-24高一上·四川南充·月考）存在量词命题：有的三角形的垂心在其外部；命题的否定是（    ）A．有的三角形的垂心在其内部. B．任意三角形的垂心在其内部.C．有的三角形的垂心在其内部或边上. D．任意三角形的垂心在其内部或边上.【答案】D【解析】量词命题的否定步骤为：改量词，否结论，所以存在量词命题：有的三角形的垂心在其外部，其否定为：任意三角形的垂心在其内部或边上.故选：D.题型十四 根据含量词命题真假求参数1．（23-24高一上·河南安阳·月考）已知命题：“”，命题：“”，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围．【答案】【解析】由，可得，即；由，可得，解之得；由是真命题，是假命题，可得，解之得故实数的取值范围为.2．（23-24高一上·河北石家庄·月考）（1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A.（2）若命题“， ”为真命题，求实数a的最小值.【答案】（1）且；（2）【解析】（1）方程有两个不同的实数解，则当为唯一解，不合题意舍去；所以且，解得且，故集合且（2）命题“， ”为真命题，则对恒成立，即，故实数a的最小值为2.3．（22-23高一上·河南平顶山·月考）已知集合，，且．(1)若是真命题，求实数的取值范围；(2)若是真命题，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于是真命题，所以．而，所以，解得，故的取值范围为．（2）因为，所以，解得．由为真命题，得，当时，或，解得．因为，所以当时，；所以当时，．故的取值范围为．4．（23-24高一上·天津东丽·月考）已知命题，命题.(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；(2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】（1）若命题为假命题，则命题为真命题，即在恒成立，所以，即实数的取值范围是.（2）当命题为真命题时，因为，所以，解得或，因为为真命题，则，又由（1）可知，命题为真命题时，所以且，即实数的取值范围是.