深圳2024年八年级上册数学（北师大版）试卷 重难点突破 坐标与位置（2）

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专题10 位置与坐标（2）题型一 求图形面积1．已知点，，且直线与坐标轴围成的三角形面积等于28，则的值是　　．【解答】解：点，，，，，，解得：．故答案为：．2．如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为 ，，，请回答下列问题：（1）写出关于轴的对称图形△的顶点坐标．（2）求的面积．【解答】解：（1）关于轴的对称图形△的顶点坐标为：，，．（2）的面积为：．3．如图，在平面直角坐标系中，点为轴负半轴上一点，点为轴正半轴上一点，其中满足方程．（1）求点，的坐标；（2）点为负半轴上一点，且的面积为12，求点的坐标；【解答】解：（1）解方程，得到，，．（2），，，，，，点在轴的负半轴上，，．4．已知：在平面直角坐标系中，，，（1）求的面积；（2）设点在轴上，且与的面积相等，求点的坐标．【解答】解：（1）过点作轴，，垂足分别为、．．（2）设点的坐标为，则．与的面积相等，．解得：或．所以点的坐标为或．5．已知，，，则的面积为　5　．【解答】解：如图所示：的面积为：．故答案为：5．6．如图，、两点的坐标分别为，，点是轴上一点，且的面积为6，则点的坐标为　或　．【解答】解：如图，设点坐标为，根据题意得，解得或9，所以点坐标为或．故答案为：或．7．已知三角形在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积为多少？【解答】解：的坐标是，1，，的坐标是，的坐标是．则，，则，，，则；，，则；，则．8．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．（1）填空：　　，　 　；（2）如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示的面积；（3）在（2）条件下，当时，在轴上有一点，使得的面积与的面积相等，请求出点的坐标．【解答】解：（1），且，解得：，，故答案为：，3；（2）过点作轴于点，，，，又点在第三象限；（3）当时，，点有两种情况：①当点在轴正半轴上时，设点，，，解得：，点坐标为；②当点在轴负半轴上时，设点，，，，解得：点坐标为，故点的坐标为或．9．如图，已知在平面直角坐标系中，的面积为8，，，点的坐标是．（1）求三个顶点，，的坐标；（2）若点坐标为，连接，，则的面积　2　；（3）是否存在点，使的面积等于的面积？如果存在，请求出点的坐标．【解答】解：（1），，，解得，，，，，；（2）作轴于，如图1，．（3），直线的解析式是，当时，，解得．当点在第一象限，即，作轴于，如图2，；则，解得．此时点坐标为；当点在第二象限，即，作轴于，如图3，；则，解得．此时点坐标为．综上所述，点的坐标为或．10．如图， 在平面直角坐标系中， 已知，，其中，满足．（1） 求，的值；（2） 如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；（3） 在 （2） 条件下， 当时， 在坐标轴的负半轴上是否存在点，使得四边形的面积与的面积相等？若存在， 求出点的坐标；若不存在， 请说明理由 ．【解答】解： （1），满足，，，解得，．故的值是 2 ，的值是 3 ；（2） 过点作轴于点．四边形面积；（3） 当时， 四边形的面积．，①当在轴负半轴上时，设，则，解得；②当在轴负半轴上时，设，则，解得．或．题型二 找规律11．如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2020次，点依次落在点，，，，的位置，则点的横坐标为　2020　．【解答】解：观察图形结合翻转的方法可以得出、的横坐标是1，的横坐标是2.5，、的横坐标是4，的横坐标是依此类推下去，因为，，所以的横坐标为2018.5．、的横坐标是2020．故答案为：2020．12．如图，正方形的顶点，，规定把正方形 “先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，正方形的顶点的坐标为　　A． B． C． D．【解答】解：正方形的顶点，，，，一次变换后，点 的坐标为，二次变换后，点的坐标为，三次变换后，点的坐标为，，次变换后的正方形在轴下方，点的纵坐标为，其横坐标为．经过2019次变换后，正方形的顶点的坐标为．故选：．13．如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转2020次，点依次落在点、、、的位置上，则点的坐标为　　A． B． C． D．【解答】解：由题意，，，，，，，，，每4个一循环，则2020个应该在轴，坐标应该是，故选：．14．如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2019次，点依次落在点，，的位置，则点的横坐标为　2018.5　．【解答】解：由题意可知、的横坐标是1，的横坐标是2.5，、的横坐标是4，的横坐标是，依此类推下去，、的横坐标是2017，的横坐标是2018.5，故答案为2018.5．15．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，经过第1次变换后所得的坐标是，则经过第2020次变换后所得的点坐标是　　．【解答】解：点第一次关于轴对称后在第四象限，点第二次关于轴对称后在第三象限，点第三次关于轴对称后在第二象限，点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，，经过第2020次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第一象限，坐标为．故答案为．16．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到△的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将△绕点顺时针旋转到△的位置，点在轴上，将△绕点顺时针旋转到△的位置，点在轴上，依次进行下去若点，，则点的坐标为　　．【解答】解：点，，，，，，的横坐标为：4，且，的横坐标为：，点的横坐标为：．点的纵坐标为：．故点的坐标为．故答案为：．17．一只跳蚤在第一象限及轴、轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到，然后接着按图中箭头所示方向跳动即，，，，，且每秒跳动一个单位，那么第2020秒时跳蚤所在位置的坐标是　　．【解答】解：由图可得，表示秒后跳蚤所在位置；表示秒后跳蚤所在位置；表示秒后跳蚤所在位置；表示秒后跳蚤所在位置；表示秒后跳蚤所在位置，则表示第2020秒后跳蚤所在位置．故答案为：．18．如图，等边的顶点，，规定把等边 “先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，顶点的坐标为　　A． B． C． D．【解答】解：是等边三角形，点到轴的距离为，横坐标为2，，第2021次变换后的三角形在轴下方，点的纵坐标为，横坐标为，所以，点的对应点的坐标是，故选：．19．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，根据这个规律探索可得第2021个点的坐标是　　．【解答】解：把第一个点作为第一列，和作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，第列有个数．则列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．因为，则第2021个数一定在第64列，由下到上是第5个数．因而第2021个点的坐标是．故答案为：．20．如图，点，点，点，点，按照这样的规律下去，点的坐标为　．　．【解答】解：观察图形可得，，，，，，，，，，，是奇数，且，，，故答案为．21．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边、分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的纵坐标为　　．【解答】解：正方形边长为1，，正方形是正方形的对角线为边，，点坐标为，同理可知，点坐标为，同理可知，点坐标为，点坐标为，点坐标为，，，，，由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，，的横纵坐标符号与点相同，横纵坐标相同，且都在第三象限，的纵坐标为．故答案为：．22．在平面直角坐标系中，若干个边长为2个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒运动到点为正整数），则点的坐标是　　．【解答】解：每6个点的纵坐标规律：，0，，0，，0，，点的纵坐标为0，点的横坐标规律：，1，，2，，3，，，点的横坐标为1010，点的坐标，故答案为．23．如图，在平面直角坐标系中，一动点沿箭头所示的方向，每次移动一个单位长度，依次得到点，，，，，，则的坐标是　　．【解答】解：由图可得，，，，，，，，即，，，，，，故答案为：．24．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形（记为第1个正方形）的顶点与原点重合，点在轴上，点在轴上，点在第一象限内，以为顶点作等边△，使得点落在轴上，轴，再以为边向右侧作正方形（记为第2个正方形），点在轴上，以为顶点作等边△，使得点落在轴上，轴，若按照上述的规律继续作正方形，则第2021个正方形的边长为　　．【解答】解：正方形（称为第1个正方形）的边长为1，，为等边三角形，，轴，，，同理得，，由上可知第个正方形的边长为：，第2021个正方形的边长为：．故答案为：．25．把自然数按如图的次序在直角坐标系中，每个点坐标就对应着一个自然数，例如点对应的自然数是1，点对应的自然数是14，那么点对应的自然数是　60　；点对应的自然数是　　【解答】解：观察图的结构，发现这些数是围成多层正方形，从内到外每条边数依次，所有正方形内自然数个数即（每边自然数个数的平方数）都在第四象限的角平分线上（正方形右下角）． 其规律为表示的数为，而且每条边上有个数，点在第四层正方形边上，该层每边有个数，右下角表示的数是81，所以点表示的是第四层从左下角开始顺时针（从81倒数）第21个数，即为，点在第层正方形边上，该层每边有个数，右下角表示的数是，点是正方形右上角的数，是从左下角开始顺时针（从倒数）第个数，即为．故答案为：60，．26．如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置是　　A． B． C． D．【解答】解：由图可得，点第一次碰撞后的点的坐标为，第二次碰撞后的点的坐标为，第三次碰撞后的点的坐标为，第四次碰撞后的点的坐标为，第五次碰撞后的点的坐标为，第六次碰撞后的点的坐标为，，，小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置是，故选：．27．如图，在直角坐标系中，第一次将变换成△，第二次将△变换成△，第三次将△变换成△，已知，，，；，，．（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按次变化规律再将△变换成△，则的坐标是　　，的坐标是　 　．（2）若按第（1）题找到的规律将进行了次变换，得到△，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是　 　．的坐标是　 　．【解答】解：（1）因为，，，纵坐标不变为3，同时横坐标都和2有关，为，那么；因为，，，纵坐标不变，为0，同时横坐标都和2有关为，那么的坐标为；（2）由上题第一问规律可知的纵坐标总为3，横坐标为，的纵坐标总为0，横坐标为，的坐标是，，的坐标是，．故答案为（1），，（2），，，．28．如图所示，把多块大小不同的角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板的一条直角边与轴重合且点的坐标为，，第二块三角板的斜边与第一块三角板的斜边垂直且交轴于点，第三块三角板的斜边与第二块三角板的斜边垂直且交轴于点，第四块三角板斜边与第三块三角板的斜边垂直且交轴于点．按此规律继续下去，则线段的长为　　A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，，，，，，，，，，，，，线段的长为．故选：．题型三 等腰三角形存在性问题29．如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点共有　　个．A．3 B．4 C．5 D．8【解答】解：如上图：满足条件的点共有，，，，．故选：．30．如图，在平面直角坐标系中，分别平行、轴的两直线、相交于点．连接，若在直线上存在点，使是等腰三角形．那么所有满足条件的点的坐标是　或或或，　．【解答】解：，当为等腰三角形一条腰，则点的坐标是，，，；当为底边时，，直线的解析式为，过线段的中点且与直线垂直的直线解析式为：，点的坐标是，．故答案为：或或或，．31．如图，在平面直角直角坐标系中，、．点在轴上，若在线段（包括两个端点）上找点，使得点、、构成等腰三角形的点恰好只有1个，下列选项中满足上述条件的点的坐标不可能是　　A． B． C． D．【解答】解：、，，当点坐标为时，只能作以、为腰的等腰三角形，当点坐标为时，可以作以、为腰的等腰三角形也可以作、为腰的等腰三角形，当点坐标为时，只能作以、为腰的等腰三角形，当点坐标为时，只能作以、为腰的等腰三角形，故选：．32．如图，在平面直角坐标系中，、，在坐标轴上找一点，使为等腰三角形，则这样的点有　7　个．【解答】解：如图，使得是等腰三角形，这样的点可以找到7个．故答案为：7．33．如图，点的坐标为，点的坐标为，在轴上确定一点，使为一个等腰三角形，则点的坐标可以是　，或或或　．【解答】解：①以为底边时，作的垂直平分线交轴于点，则设点的坐标为则解得：，②当以为腰为顶点时，如图2，以为圆心，以的长为半径作圆，交轴于点，此时，故的坐标为③以为腰为顶点时，如图3，以为圆心以的长为半径作圆交轴于点和，此时，点的坐标为，点的坐标为故答案为：，或或或34．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，顶点、、、的坐标分别为，，，，点，点在边上运动，使为等腰三角形，则满足条件的点有　4　个．【解答】解：如图，使为等腰三角形的点有：，，，，，，点不在矩形的边上，满足条件的点有4个．故答案为：4．35．如图，矩形的顶点，分别在坐标轴上，，，点是边或边上的一点，连接，，当为等腰三角形时，点的坐标为　或，　．【解答】解：四边形是矩形，，，，，，点是边或边上的一点，当点在边时，，，，．当点在边上时，只有，此时，．综上所述，满足条件的点坐标为或，．故答案为或，．36．在平面直角坐标系中，已知点，线段轴于点，线段轴于点，且．（1）求，，三点的坐标．（2）若点是的中点，点是线段上一动点，记点的横坐标为，请用含的代数式表示的面积．（3）在（2）的条件下，当点运动到的中点处时，请在轴上确定一点，使得为等腰三角形，直接写出点坐标．【解答】解：（1），，，，，线段轴于点，线段轴于点，，，；（2）线段轴于点，线段轴于点，四边形是矩形，，，点是的中点，，，是等腰直角三角形，，平分，的横坐标为，的纵坐标为，设与的交点，当点在线段上时，如图1所示：当点在线段上时，如图2所示：；（3）作于，如图3所示：四边形是矩形，，，是的中点，，，是的中点，，，，，分三种情况：①时，点的坐标为或；②时，，，；③时，点在的垂直平分线上，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，即，，；综上所述，为等腰三角形时，点坐标为或或或．