海南省海南中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份海南省海南中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了 圆与圆的公切条数为等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共19小题，满分150分，考试时间为120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. ，分别为直线与上任意一点，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知、，则以AB为直径的圆的一般方程为（ ）
A B.
C. D.
4. 圆与圆的公切条数为（ ）
A. 2条B. 1条C. 3条D. 4条
5. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. 6D.
6. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（ ）
A. 双曲线的离心率为2B. 双曲线的渐近线方程为
C. D. 点到抛物线的焦点的距离为4
10. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与圆相切时，
B. 的最大值为
C. 圆心到直线距离最大为4
D. 的最大值为5
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（ ）
A. 若的周长为6，则
B. 若当时，的内切圆半径为，则
C. 若存在点，使得，则
D. 若的最大值为2b，则
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 动点P到两定点A(－4，0)、B(4，0)距离之和为10，则点P的轨迹方程为________．
13. 设为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为_______
14. 法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过圆：上任意一点作双曲线：的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆称作双曲线的蒙日圆.过双曲线：的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，若，则的周长为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 光线自点射到点后被轴反射．
（1）求反射光线所在的直线的方程；
（2）求过点且与入射光线垂直的直线方程．（请用直线的一般方程表达解题结果）.
16. 安庆市体育馆的屋盖网壳由两个大小不同的双层椭球壳相贯而成，其屋盖网壳长轴总尺寸约97米，短轴总尺寸约77米，短轴长与长轴长的平方比接近黄金比0.618．我们把短轴长与长轴长的平方比为的椭圆称为黄金椭圆．现有一黄金椭圆其中A，F分别为其左顶点和右焦点，B为上顶点．
（1）求黄金椭圆C离心率；
（2）某同学在研究黄金椭圆的性质时猜测可能为直角三角形，试判断该同学的猜测是否正确，并说明理由．
17. 已知圆与圆交于，两点，圆经过，两点，且圆心在直线上．
（1）求；
（2）求圆的方程．
18. 已知双曲线，，斜率为的直线过点.
（1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值；
（2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积.
19. 直线族是指具有某种共同性质直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（1）若圆是直线族包络曲线，求满足的关系式；
（2）若点Px0,y0不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线；
（3）在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点C0,1，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.海南中学2024－2025学年度第一学期期中考试
高二数学 试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共19小题，满分150分，考试时间为120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线方向向量写出斜率，结合斜率与倾斜角关系确定倾斜角大小即可.
【详解】由题设，则直线的斜率，
结合直线倾斜角的范围，易知直线的倾斜角为.
故选：B
2. ，分别为直线与上任意一点，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两平行线间的距离公式可求出的最小值.
【详解】由，可得两条直线相互平行，
所以最小值为平行线之间的距离，可化为，
所以，.
故选：A
3. 已知、，则以AB为直径的圆的一般方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出AB的中点和可得以AB为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解.
【详解】已知、，则AB中点坐标为即.
，
所以以AB为直径的圆的圆心为，半径为.
所以圆的标准方程为，展开可得，
整理得.
故选：B.
4. 圆与圆的公切条数为（ ）
A. 2条B. 1条C. 3条D. 4条
【答案】A
【解析】
【分析】首先把圆的一般式转换为标准式，进一步判断两圆的位置关系，最后得出两圆的公切线的条数.
【详解】由是以为圆心， 3为半径的圆.，
转换为，
即该圆是以为圆心，4为半径的圆.
所以圆心距，
所以
所以两圆相交，故公切线的条数为2，
故选：A
5. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用双曲线的定义转化，再结合图象，求的最小值，再联立方程求交点坐标.
【详解】由题意并结合双曲线的定义可得
，
当且仅当，，三点共线时等号成立.
而直线的方程为，由可得，所以，
所以点的坐标为32,12.
所以当且仅当点的坐标为32,12时，的最小值为.
故选：D.
6. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先得到直线过定点，作出直线与曲线C，由图求出直线过点时斜率和直线与曲线C相切时的斜率即可树形结合得解.
【详解】由可知直线过定点，
曲线两边平方得，
所以曲线C是以为圆心，半径为1且位于直线x轴上方的半圆，
当直线过点时，直线与曲线C有两个不同的交点，此时，
当直线与曲线C相切时，直线和圆有一个交点，圆心到直线的距离，两边平方解得，
所以结合图形可知直线与曲线C恰有两个交点，则.
故选：B.
7. 若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出与直线平行且到直线的距离为1的直线的方程为和，数形结合可知，圆与直线相交，与直线相离，利用点到直线的距离公式可求得的取值范围.
【详解】如图所示.
设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，
所以，即.
故选：C
8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答.
【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，
对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为，半焦距为，
由，得，，
在中，，则，，
由正弦定理得，，解得，则，
所以该椭圆的离心率.
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（ ）
A. 双曲线的离心率为2B. 双曲线的渐近线方程为
C. D. 点到抛物线的焦点的距离为4
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据双曲线方程求出离心率可判断A；求出双曲线的渐近线方程可判断B；由有相同的焦点求出可判断C；点坐标代入方程可判断D．
【详解】双曲线的焦点为2,0，，，
对于A，双曲线的离心率，故A正确；
对于B，双曲线的渐近线方程为，故B错误；
对于C，由有相同的焦点，得，解得，故C正确；
对于D，抛物线的焦点为2,0，点在上，
则，故或，
所以点到的焦点的距离为4，故D正确．
故选：ACD．
10. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与圆相切时，
B. 的最大值为
C. 圆心到直线的距离最大为4
D. 的最大值为5
【答案】AB
【解析】
【分析】根据直线和圆位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】圆的方程可化为，
所以圆的圆心为，半径.
直线，即，过定点，
若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为2，
即，解得，所以A选项正确.
如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，
此时，且，B选项正确.
圆心到直线的距离，
当时，，
当时，，所以C选项错误.
又，是圆上的点，
所以的最大值为，D选项错误.
故选：AB.
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（ ）
A. 若的周长为6，则
B. 若当时，的内切圆半径为，则
C. 若存在点，使得，则
D. 若的最大值为2b，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用焦点三角形的周长求得，可求判断A；利用余弦定理求得焦点三角形的面积，可得，求解可判断B；若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则，求解可判断C；，利用二次函数的最值可求得的范围判断D.
【详解】对于A,由椭圆，可得，
因为的周长为6，所以，解得，
因为，所以，解得，故A正确；
对于B，由，可得，
当时，由余弦定理可得
，
则，解得，
所以，
又的内切圆半径为，
所以，
所以，所以，解得（舍去）或，
所以，故B正确；
对于C，若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则，
所以，所以，解得，
所以存在点，使得，则，故C错误；
对于D，设，
，
又因为，因为下顶点到上顶点的距离为2b，又的最大值为2b，
故时取最大值，所以，解得，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论
（1）焦点三角形的周长为；
（2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 动点P到两定点A(－4，0)、B(4，0)距离之和为10，则点P的轨迹方程为________．
【答案】．
【解析】
【分析】利用定义法求点P的轨迹方程.
【详解】解：因为，
由椭圆的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为10的椭圆，
所以，，
所以点的轨迹方程是.
故答案为：
13. 设为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为_______
【答案】
【解析】
【分析】
先由抛物线方程，得到，得出直线的方程，由抛物线的焦点弦公式求出弦长，再由点到直线距离公式，即可得出结果.
【详解】因为为抛物线：的焦点，所以，
又直线过点且倾斜角为，
则直线的方程为：，即，
设，，
由消去可得，整理得，所以，
因此
又点到直线的距离为，
所以的面积为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：
求抛物线中三角形面积的一般步骤：
（1）设直线与抛物线交点坐标，联立直线与抛物线方程；
（2）根据抛物线的弦长公式求弦长，根据点到直线距离公式求距离；
（3）根据三角形面积公式，即可得出结果.
14. 法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过圆：上任意一点作双曲线：的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆称作双曲线的蒙日圆.过双曲线：的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，若，则的周长为________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据得到，再利用求出另外两直角边即可得到周长.
【详解】由题可知，的蒙日圆方程为，半径为，且，
所以为直径，所以.
又，所以，.
所以的周长为.
故答案为：.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 光线自点射到点后被轴反射．
（1）求反射光线所在的直线的方程；
（2）求过点且与入射光线垂直的直线方程．（请用直线的一般方程表达解题结果）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）反射光线过点 (2,0)，而由物理学知识知反射角与入射角相等，因此反射光线与入射光线的斜率相反（注意直线的倾斜角不是入射角、反射角）；
（2）根据垂直的直线的斜率乘积为－1可得所求直线的斜率，进而由点斜式可得方程.
【小问1详解】
设，则，所以，直线方程为，即．
【小问2详解】
设所求直线的斜率为，则，，直线方程为，即．
16. 安庆市体育馆的屋盖网壳由两个大小不同的双层椭球壳相贯而成，其屋盖网壳长轴总尺寸约97米，短轴总尺寸约77米，短轴长与长轴长的平方比接近黄金比0.618．我们把短轴长与长轴长的平方比为的椭圆称为黄金椭圆．现有一黄金椭圆其中A，F分别为其左顶点和右焦点，B为上顶点．
（1）求黄金椭圆C的离心率；
（2）某同学在研究黄金椭圆的性质时猜测可能为直角三角形，试判断该同学的猜测是否正确，并说明理由．
【答案】（1）
（2）正确，理由见解析
【解析】
【分析】(1)根据题目中黄金椭圆的定义，再根据离心率的计算公式可求得椭圆的离心率.(2)通过计算的值，可以判断出三角形的形状.
【小问1详解】
由题意，设椭圆C的焦距为2c，则，
又，得，即，
，所以．
【小问2详解】
正确．理由如下；
设椭圆中心为O，由
所以，即，
所以是直角三角形．
17. 已知圆与圆交于，两点，圆经过，两点，且圆心在直线上．
（1）求；
（2）求圆的方程．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）首先作差得两圆相交弦所在直线方程，然后根据弦长公式计算即可；
（2）求出直线的方程，再联立直线的方程得到圆的圆心坐标，再求出半径即可.
【小问1详解】
因为圆与交于，两点，
所以两圆方程作差得直线的方程为．
又圆，所以点到直线的距离，
所以；
【小问2详解】
，圆，
则，，则，
则直线的方程为，即，
由，解得，所以，
所以点到直线的距离，
设圆的半径为，所以，
所以圆的方程为．
18. 已知双曲线，，斜率为的直线过点.
（1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值；
（2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直线过点，写出点斜式，当直线与渐近线平行时，与双曲线有且只有一个交点，当直线与渐近线不平行时，联立直线与双曲线，根据判别式可得斜率的值；
（2）根据双曲线的定义及三角形余弦定理与面积公式可得解.
【小问1详解】
当时，，
则直线方程为，
又双曲线的渐近线为，
所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点；
当时，
联立方程组，
得，
，
解得；
综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或；
【小问2详解】
由双曲线，
则，，，
又点在双曲线上，即，即，
在中，
由余弦定理，
即，
解得，
所以面积.
19. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（1）若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；
（2）若点Px0,y0不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线；
（3）在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点C0,1，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）成立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据包络曲线的定义利用直线和圆相切即可得；
（2）易知方程无解，根据判别式可得，证明可得直线族的包络曲线为；
（3）法一：求出两点处曲线的切线的方程，解得，根据平面向量夹角的表达式即可得，即；
法二：过分别作准线的垂线，连接，由导数求得切线斜率并利用抛物线定义和三角形内角关系即可证明.
【小问1详解】
由定义可知，与相切，
则圆的圆心到直线的距离等于1，
则，.
【小问2详解】
点Px0,y0不在直线族的任意一条直线上，
所以无论取何值时，无解.
将整理成关于的一元二次方程，
即.
若该方程无解，则，即.
证明：在上任取一点在该点处的切线斜率为，
于是可以得到在点处的切线方程为：，
即.
今直线族中，
则直线为，
所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，
而对任意都是抛物线在点处的切线.
所以直线族的包络曲线为.
【小问3详解】
法一：已知C0,1，设Ax1,y1,Bx2,y2，
则，；
由（2）知在点Ax1,y1处的切线方程为；
同理在点Bx2,y2处的切线方程为；
联立可得，所以.
因此，
同理.
所以，，
即，可得，
所以成立.
法二：过分别作准线的垂线，连接，如图所示：
则，因为，显然.
又由抛物线定义得，故为线段的中垂线，得到，即.
同理可知，
所以，即.
则.
所以成立.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解包络曲线的定义，利用直线和曲线相切求出包络曲线的方程为并进行证明，再利用抛物线定义和性质即可得出结论.